Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 222 sgk đại số 10 nâng cao - Bài trang SGK Đại số Nâng cao
\(\left\{ \matrix{ {x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr {x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 < x < - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x < - 1 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \) Bài 13 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao Chứng minh rằng: a) \({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,(a \in R)\) b) \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a}\,\,\,(a,\,b,\,c\, \in R)\) Đáp án a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{({a^2} + 2) + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2} + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge \) \(2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}} = 4\) b) Ta có: \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}} = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}\) Tương tự ta có: \(\left\{ \matrix{ Từ đó suy ra: \(2({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}) \ge 2({a \over c} + {c \over b} + {b \over a})\) Bài 14 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) \(f(x) = x + {2 \over {x + 2}}\)trên khoảng \((-2; +)\) b) \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over x}\)trên khoảng \((0; +)\) Đáp án a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có: \(f(x) = x + 2{2 \over {x + 2}} - 2 \ge 2\sqrt {(x + 2){2 \over {x + 2}}} - 2 \) \(= 2\sqrt 2 - 2\) Dấu =xảy ra khi và chỉ khi: \(x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có: \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}} = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \) Vậy: \(\min \,g(x) = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \) Bài 15 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \(f(x) = (2 - x)(2x + 1)\) trên \((-0,5; 2)\) Đáp án Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: Dấu = xảy ra khi \(\Leftrightarrow 4 - 2x = 2x + 1 \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\) Vậy \(\max \,f(x) = {{25} \over 8} \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\) Bài 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao Giải các hệ bất phương trình a) \(\left\{ \matrix{ b) \(\left\{ \matrix{ Đáp án a) Ta giải từng bất phương trình trong hệ đã cho: \({x^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ Tập nghiệm là S1= \( (-; -2) (2, +)\) \(\eqalign{ Lập bảng xét dấu: Vậy \({S_2} = ( - 2; - \sqrt 2 {\rm{]}}\, \cup \,( - 1,0)\, \cup \,{\rm{[}}\sqrt 2 , + \infty )\) Từ đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là: S = S1 S2 = \((2, +)\) b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ \(\Leftrightarrow - 2 < x < 1\) Vậy \(S = (-2, -1)\)
|