Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 7 sách bài tập toán 8 tập 1 - Câu trang Sách bài tập (SBT) Toán tập
\(\eqalign{ & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2} \cr & = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \cr & = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \) Câu 15 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \({a^2}\) chia cho 5 dư 1. Giải: Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 ⟹a=5k+4 (kN) Ta có: \(\eqalign{ & {a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 = 25{k^2} + 40k + 15 + 1 \cr & \cr} \) \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1\) \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1 \vdots 5\) . Vậy \({a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2}\) chia cho 5 dư 1 Câu 16 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Tính giá trị của các biểu thức sau: a. \({x^2} - {y^2}\) tại \(x = 87\) và \(y = 13\) b. \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) tại \(x = 101\) c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại \(x = 97\) Giải: a. \({x^2} - {y^2}\)\(= \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\) . Thay \(x = 87;y = 13\) Ta có: \({x^2} - {y^2}\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\) \( = \left( {87 + 13} \right)\left( {87 - 13} \right) = 100.74 = 7400\) b. \({x^3} - 3{x^2} + 3x 1\) \( = {\left( {x - 1} \right)^3}\) Thay \(x = 101\) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {101 - 1} \right)^3} = {100^3} = 1000000\) c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) \( = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3} = {\left( {x + 3} \right)^3}\) Thay \(x = 97\) ta có: \({\left( {x + 3} \right)^3} = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000\) Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Chứng minh rằng: a. \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\) b. \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] = {a^3} + {b^3}\) c. \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\) Giải: a. Biến đổi vế trái: \(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \cr & = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} \cr} \) Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh. b. Biến đổi vế phải: \(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] \cr & = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \cr} \) Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh. c. Biến đổi vế phải: \(\eqalign{ & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2} \cr & = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \cr & = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \) Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh. Câu 18 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Chứng tỏ rằng: a. \({x^2} - 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\) b. \(4x - {x^2} - 5 < 0\) với mọi \(x\) Giải: a. \({x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 2.x.3 + 9 + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 1\) Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + 1 > 0\) mọi \(x\) Vậy \({x^2} - 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\) b. \(4x - {x^2} - 5 = - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 1 = - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\) Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \( - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\) mọi \(x\) \( - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1 < 0\) với mọi \(x\) Vậy \(4x - {x^2} - 5 < 0\)với mọi \(x\)
|