Giải bài 1.55, 1.56, 1.57 trang 45, 46 sách bài tập (sbt) toán hình học 10 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Toán Hình học

Bài 1.55 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện\(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\).Chứng minh rằng:\(OM = {1 \over 2}AB\), trong đó O là trung điểm của AB.

Gợi ý làm bài

(h.1.68)

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MO} = > \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MO\)

\(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} = > \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = AB\)

Vậy 2MO = AB hay\(OM = {1 \over 2}AB.\)

Chú ý:Tập hợp các điểm M có tính chất\(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) là đường tròn đường kính AB.

---

Bài 1.56 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vec tơ\(\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy xác định điểm D sao cho\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v \).

Gợi ý làm bài

\(\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC}\)

\( = 2\overrightarrow {ME} - 2\overrightarrow {MC} \) (E là trung điểm cạnh AB)

\( = 2(\overrightarrow {ME} - \overrightarrow {MC} ) = 2\overrightarrow {EC} \)

Vậy\(\overrightarrow v \) không phụ thuộc vị trí của điểm M.

\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v = 2\overrightarrow {CE} \) thì E là trung điểm của CD. Vậy ta xác định được điểm D.

---

Bài 1.57 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau:

\(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \)

a) Chứng minh\(2\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm O.

b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.69)

a)$\(3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = 3(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} ) - (\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} )\)

\(= 3(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} ) + (3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} ) = 2\overrightarrow {OM} \)

b) Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.

\(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} = > \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \)

\(\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} = > \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CQ} \)

\(\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} = > \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {RB} = \overrightarrow {QS} \)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \cr
& = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \cr} \)

\(\overrightarrow { = (GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CQ} + \overrightarrow {QS} )\)

\( = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 \)

Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP.