Giải bài 17, 18, 19 trang 195, 196 sgk giải tích 12 nâng cao - Bài trang SGK Đại số và Giải tích Nâng cao
|
\(\eqalign{& \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {a^2} \hfill \cr4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \) Bài 17 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:\( - i\);\(4i\);\( - 4\);\(1 + 4\sqrt 3 i\). Giải * Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(-i\), ta có: \({\left( {x + yi} \right)^2} = - i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - i\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 2xy = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\) Từ (2) suy ra \(y = - {1 \over {2x}}\) thế vào (1) ta được: \({x^2} - {1 \over {4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {1 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 2 }}\) +) Với \(x = {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\) +) Với \(x = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\) Hệ có hai nghiệm là: \(\left( { - {1 \over {\sqrt 2 }},{1 \over {\sqrt 2 }}} \right),\left( {{1 \over {\sqrt 2 }}, - {1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\) Vậy \(i\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i\),\({z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 }}i\) * Giả sử\(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(4i\), ta có: \({\left( {x + yi} \right)^2} = 4i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\) Thay \(y = {2 \over x}\)vào phương trình thứ nhất ta được: \({x^2} - {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \) +) Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = {2 \over x} = \sqrt 2 \); +) Với \(x = - \sqrt 2 \) ta có \(y = - \sqrt 2 \) Hệ có hai nghiệm \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\),\(\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\) Vậy \(4i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i\); \({z_2} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 i\) * Ta có \( - 4 = 4{i^2} = {\left( {2i} \right)^2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \( \pm 2i\) * Giả sử\(z=x+yi\) là căn bậc hai của\(1 + 4\sqrt 3 i\). \({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr \,2xy = 4\sqrt 3 \, \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} - {{12} \over {{x^2}}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)hoặc \(\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\) Hệ có hai nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { - 2; - \sqrt 3 } \right)\) Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = 2 + \sqrt 3 i\),\({z_2} = - 2 - \sqrt 3 i\) Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \({\rm{w}}\) thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \). Giải Giả sử \(z=x+yi\) và \(\rm{w}=a+bi\) \(z\) là một căn bậc hai của số phức w thì \({z^2} = {\rm{w}}\) \(\eqalign{ \( \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}} = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \) Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau: a) \({z^2} = z + 1\); b) \({z^2} + 2z + 5 = 0\) c) \({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\). Giải a) Ta có \({z^2} = z + 1 \Leftrightarrow {z^2} - z = 1 \Leftrightarrow {z^2} - z + {1 \over 4} = {5 \over 4}\) \( \Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow z - {1 \over 2} = \pm {{\sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow z = {1 \over 2} \pm {{\sqrt 5 } \over 2}\) b) \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = - 4 = {\left( {2i} \right)^2} \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 1 = 2i \hfill \cr z + 1 = - 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = - 1 + 2i \hfill \cr z = - 1 - 2i \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = \left\{ { - 1 + 2i; - 1 - 2i} \right\}\) c) \({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\)có biệt thức \(\Delta = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right) = 1 - 9 - 6i + 8 + 8i \) \(= 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}\) Do đó phương trình có hai nghiệm là: \({z_1} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i + \left( {1 + i} \right)} \right] = 2i\) \({z_2} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i - \left( {1 + i} \right)} \right] = - 1 + i\) Vậy \(S = \left\{ {2i; - 1 + i} \right\}\)
|
