Giải bài 20, 21, 22 trang 82 sgk giải tích 12 nâng cao - Bài trang SGK Đại số và Giải tích Nâng cao

Bài 20 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1\,\,\left( {a > 0} \right);\)

b) \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27.\)

Giải

a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{a^{{\alpha \over 2}}} - {a^{ - {\alpha \over 2}}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {a^{{\alpha \over 2}}} = {a^{ - {\alpha \over 2}}}\)(*)

- Nếu \(a \ne \,1\) thì (*) \(\Leftrightarrow {\alpha \over 2} = - {\alpha \over 2} \Leftrightarrow \alpha = 0\)

- Nếu \(a = 1\) thì (*) \(\Leftrightarrow \alpha \) là số thực tùy ý.

b) \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \Leftrightarrow - 3 < \alpha < 3.\)

Bài 21 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \root 4 \of x \):

a) \(\sqrt x + \root 4 \of x = 2;\)

b) \(\sqrt x - 3\root 4 \of x + 2 = 0\).

Giải

a) Điều kiện \(x \ge 0\)
Đặt \(t = \root 4 \of x \left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình \({t^2} + t = 2\).

Ta có

\({t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2\text{ loại } \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \root 4 \of x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S =\(\left\{ 1 \right\}\)

b) Điều kiện \(x \ge 0\). Đặt \(t = \root 4 \of x \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình

\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\root 4 \of x = 1 \hfill \cr
\root 4 \of x = 2 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 16 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {1;16} \right\}\)

Bài 22 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các bất phương trình sau:

\(a){x^4} < 3;\) \(b){x^{11}} \ge 7;\)

\(c){x^{10}} > 2;\) \(d){x^3} \le 5;\)

Giải

\(a)\,\,{x^4} < 3 \Leftrightarrow \left| x \right| < \root 4 \of 3 \Leftrightarrow - \root 4 \of 3 < x < \root 4 \of 3 \).

Tập nghiệm \(S = \left( { - \root 4 \of 3 ;\root 4 \of 3 } \right)\)

\(b)\,\,{x^{11}} \ge 7 \Leftrightarrow x \ge \root {11} \of 7 ;\)

Vậy \(S = \left[ {\root {11} \of 7 ; + \infty } \right)\)

\(c)\,\,{x^{10}} > 2 \Leftrightarrow \left| x \right| > \root {10} \of 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - \root {10} \of 2 \hfill \cr
x > \root {10} \of 2 \hfill \cr} \right..\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - \root {10} \of 2 } \right) \cup \left( {\root {10} \of 2 ; + \infty } \right)\)

\(d)\,\,{x^3} \le 5 \Leftrightarrow x \le \root 3 \of 5 \,\,\,\text{ Vậy } S = \left( { - \infty ;\root 3 \of 5 } \right)\)