Giải bài 21, 22, 23 trang 90 sgk hình học 12 nâng cao - Bài trang SGK Hình học Nâng cao
Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn.b) Mp(ABC) có phương trình \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{1 \over a};{1 \over b};{1 \over c}} \right)\).Mp(OBC) \(\equiv \)Mp(Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).Gọi \(\alpha \) là góc giữa mp(ABC) và mp(OBC) thì: Bài 21 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau : Giải a) Giả sử \(M\left( {0;0;c} \right)\) thuộc trục Oz. \(MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {14} }}\) \(\Leftrightarrow 13 + {\left( {4 - c} \right)^2} = {{{{\left( {c - 17} \right)}^2}} \over {14}} \Leftrightarrow c = 3.\) Vậy \(M\left( {0,0,3} \right)\). \({{\left| { - c + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {c + 5} \right|} \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c = - 2 \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)\) Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \)lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh : a) Tam giác ABC có ba góc nhọn. b) \({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\) Giải
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. \(\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0 \Rightarrow \cos A = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} > 0\) \( \Rightarrow \) A là góc nhọn. Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn. \({\cos ^2}\alpha = {\left( {{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = {{{1 \over {{a^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) Tương tự \({\cos ^2}\beta = {{{1 \over {{b^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) và \({\cos ^2}\gamma = {{{1 \over {{c^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) Từ đó suy ra \({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\) Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \(4x + 3y - 12z + 1 = 0\)và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) Giải Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\). \(d = {{\left| {4 + 6 - 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 \) \(\Leftrightarrow {{\left| { - 26 + D} \right|} \over {13}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: \(4x + 3y - 12z + 78 = 0\,\,;\,\,4x + 3y - 12z - 26 = 0\)
|