Giải bài 3.34, 3.35, 3.36 trang 160 sách bài tập toán hình học 10 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học
\(\left\{ \matrix{ M \in (E) \hfill \cr \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ M \in (E) \hfill \cr O{M^2} = {c^2} \hfill \cr} \right.\left\{ \matrix{ 9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr {x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right.\) Bài 3.34 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10 Cho elip (E) :\(9{x^2} + 25{y^2} = 225\) a) Tìm tọa độ hai điểm\({F_1}\),\({F_2}\) và các đỉnh của (E). b) Tìm\(M \in (E)\) sao cho M nhìn\({F_1}\),\({F_2}\) dưới một góc vuông. Gợi ý làm bài (E):\(9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) a) Ta có :\({a^2} = 25,{b^2} = 9\) \(\Rightarrow a = 5,b = 3\) Ta có :\({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\) \( \Rightarrow c = 4\) Vậy (E) có hai tiêu điểm là :\({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và\({F_2}\left( {4;0} \right)\) và có bốn đỉnh là\({A_1}\left( { - 5;0} \right)\),\({A_2}\left( {5;0} \right)\),\({B_1}\left( {0; - 3} \right)\),\({B_2}\left( {0;3} \right)\). b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, ta có : \(\left\{ \matrix{ \(\left\{ \matrix{ Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là : \(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\),\(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\),\(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\),\(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\) Bài 3.35 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10 Cho elip (E):\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)\).Tính tỉ số:\({c \over a}\) trong các trường hợp sau: a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ; b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ; c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự. Gợi ý làm bài a) Ta có :\(a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\) \( \Rightarrow {a^2} = 9\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\) \( \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\) \( \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\) Vậy\({c \over a} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\) b)\(\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\) \( \Rightarrow b = c\) \( \Rightarrow {b^2} = {c^2}\) \( \Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}\) \(\Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\) \( \Rightarrow a = c\sqrt 2 \) Vậy\({c \over a} = {1 \over {\sqrt 2 }}\) c)\({A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\) \( \Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}\) \(\Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\) \(\Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\) Vậy\({c \over a} = \sqrt {{2 \over 5}} \) Bài 3.36 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10 Cho elip (E) :\(4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. Gợi ý làm bài (E):\(4{x^2} + 9{y^2} = 36\,(1)\) Xét đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc k. Ta có phương trình của d:y - 1 = k(x - 1) hayy = k(x - 1) + 1 (2) Thay (2) vào (1) ta được \(4x + 9{\left[ {k(x - 1) + 1} \right]^2} = 36\) \( \Leftrightarrow \left( {9{k^2} + 4} \right){x^2} + 18k\left( {1 - k} \right)x + 9{\left( {1 - k} \right)^2} - 36 = 0\,(3)\) Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm\({x_A}\),\({x_B}\) sao cho: \({{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {x_M} \Leftrightarrow {{ - 18k(1 - k)} \over {2(9{k^2} + 4)}} = 1\) \( \Leftrightarrow 18{k^2} - 18k = 18{k^2} + 8 \Leftrightarrow k = - {4 \over 9}\) Vậy phương trình của d là : \(y = - {4 \over 9}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay4x + 9y - 13 = 0.
|