Giải bài 49, 50, 51 trang 215, 216 sgk đại số 10 nâng cao - Bài trang SGK Đại số Nâng cao

Bài 49 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a)\(co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right);\)

b) \(sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2}\left( {\alpha + x} \right) + co{s^2}x - 2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha + x} \right) \cr
& = \cos (\alpha + x){\rm{[}}\cos (\alpha + x) - 2\cos \alpha \cos x {\rm{] + co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = \cos (\alpha + x)( - \cos \alpha \cos x- \sin \alpha \sin x ) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = - \cos (\alpha + x)cos(\alpha - x) + {\cos ^2}x \cr
& = - {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2x) + {\cos ^2}x \cr
& = - {1 \over 2}\cos 2\alpha - {{\cos 2x} \over 2} + {\cos ^2}x = - {1 \over 2}\cos 2\alpha + {1 \over 2} \cr
& = {\sin ^2}\alpha \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx \cr
& = {1 \over 2}(cos6x - \cos 14x) - {1 \over 2}(cos8x - \cos 14x) \cr&- {1 \over 2}(cos6x - \cos 8x) \cr
& = 0 \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

Bài 50 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) \(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông

b) \(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} - \cos {{B - C} \over 2}) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2}\;(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr} \)

Nhưng: \(0 < {A \over 2} < {\pi \over 2};|{{B - C} \over 2}|\, < {\pi \over 2}\), nên:

\(\cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B - C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B - C|\)

+ Nếu B > C thì A = B C. Suy ra: \(S = {\pi \over 2}\)

+ Nếu B < C thì A = C B. Suy ra:\(C = {\pi \over 2}\)

b) \(sinA = 2sinB.cosC \)

\( sin A = sin (B + C) + sin (B C)\)

\( sin A = sin(π A) + sin(B C) \)

\( sin(B C) = 0\)

Vì \(0 |B C| π\), nên \(B C = 0\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

---

Bài 51 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu \( + β + γ = π\) thì

a) \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2}\)

b) \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2}\)

c) \(sin2 + sin2β + sin2γ = 4sin sinβ sin γ\)

d) \(co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }}= 1 2cos cosβ cosγ\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma\cr& = \sin \alpha + 2\sin {{\beta + \gamma } \over 2}\cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr
& = \sin \alpha + 2\sin {{\pi - \alpha } \over 2}\cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr&= 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2} + 2\cos {\alpha \over 2} \cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(\sin {\alpha \over 2} + \cos {{\beta - \gamma } \over 2})\cr& = 2\cos {\alpha \over 2}{\rm{[sin}}{{\pi - (\beta + \gamma )} \over 2} + \cos{{\beta - \gamma } \over 2}{\rm{]}} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(cos{{\beta + \gamma } \over 2} + \cos {{\beta - \gamma } \over 2}) \cr
& =4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2} \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \cr&= 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha - \beta } \over 2} + 1 - 2\sin {{2\gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos ({\pi \over 2} - {\gamma \over 2})cos{{\alpha - \beta } \over 2} + 1 - 2{\sin ^2}{\gamma \over 2} \cr&= 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha - \beta } \over 2} - \sin {\gamma \over 2}) \cr
& = 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha - \beta } \over 2} - cos{{\alpha + \beta } \over 2}) \cr
& = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2} \cr} \)

c) \(sin2 + sin2β + sin2γ\)

\(= 2sin ( + β)cos( - β ) + 2sinγcosγ\)

\(= 2sinγ (cos( - β ) - cos( + β)) \)

\(= 4sin sinβ sin γ\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }} \cr
& {\rm{ = }}{{1 + \cos 2\alpha } \over 2} + {{1\cos 2\beta } \over 2} + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2\beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos (\alpha + \beta )cos(\alpha - \beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos \gamma (\cos \gamma - \cos (\alpha - \beta )) \cr&= 1 - \cos \gamma {\rm{[cos(}}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{) + cos(}}\alpha {\rm{ - }}\beta ){\rm{]}} \cr
& = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2cos \propto {\rm{ }}cos\beta {\rm{ }}cos\gamma \cr} \)