Giải bài 5, 6, 7 trang 12 sách giáo khoa hình học 10 - Bài trang sgk hình học lớp
Nếu coi hình bình hành \(ABCD\) có\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{a}\)và\(\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}\)thì\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\)là độ dài đường chéo \(AC\) và\(\left | \overrightarrow{a} \right |= AB\);\(\left | \overrightarrow{b} \right |= BC\). Bài 5 trang 12 sgk hình học lớp 10 Cho tam giác \(ABC\) cạnh \(a\). Tính độ dài của các vectơ\(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\)và\(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\) Giải Ta có\(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\) \(\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a\) Ta có:\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}\). Trên tia \(CB\), ta dựng\(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}\) \( \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}\) Tam giác \(EAC\) vuông tại \(A\) (vì có đường trung tuyến \(AB\) bằng nửa cạnh \(CE\)) có : \(AC = a, CE = 2a\) , suy ra \(AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \) Vậy\(\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3\) Bài 6 trang 12 sgk hình học lớp 10 Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Chứng minh rằng: a)\(\overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\); b)\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}\); c)\(\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\); d)\(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\). Giải a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ: \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OB}\) (1) Mặt khác, \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB}\). b) Ta có :\(\overrightarrow{DB}= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\) (1) \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) (2) Từ (1) và (2) cho ta: \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\). c) Ta có : \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BA}\) (1) \(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}\) (2) \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra \(\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\) đpcm. d)\(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{DC}\) \(= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{0}\) ( vì\(\overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AB}) \). Bài 7 trang 12 sgk hình học lớp 10 Cho\(\overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\)là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức a)\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\)+\(\left | \overrightarrow{b} \right |\); b)\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\). Giải a) Ta có\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\)+\(\left | \overrightarrow{b} \right |\) Nếu coi hình bình hành \(ABCD\) có\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{a}\)và\(\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}\)thì\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\)là độ dài đường chéo \(AC\) và\(\left | \overrightarrow{a} \right |= AB\);\(\left | \overrightarrow{b} \right |= BC\). Ta lại có: \(AC = AB + BC\) Đẳng thức xảy ra khi điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A, C\). Vậy\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\)khi hai vectơ\(\overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\)cùng hướng. b) Tương tự,\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\)là độ dài đường chéo \(AC\) \(\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\)là độ dài đường chéo \(BD\) \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | =\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\) \(\Rightarrow AC = BD\). Hình bình hành \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có \(AD \perp AB\) hay\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\).
|