Giải bài 9, 10, 11, 12 trang 110 sgk đại số 10 nâng cao - Câu trang SGK Đại số nâng cao

Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a 0 và b > 0 thì: \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr
& \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - b)({a^2} - {b^2}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}(a + b) \ge 0 \cr} \)

Điều suy ra luôn đúng.

Vậy \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)

Câu 10 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

a) Chứng minh rằng, nếu \(x y 0\) thì \({x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}}\)

b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \({{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {b \over {1 + |b|}}\)

Giải

a) Với \(x y 0\) , ta có:

\(\eqalign{
& {x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}} \Leftrightarrow x(1 + y) \ge y(1 + x) \cr
& \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy \Leftrightarrow x \ge y \cr} \)

Điều này đúng với giả thiết.

Vậy ta được điều cần phải chứng minh.

b) Vì \(|a b| |a| + |b|\) nên theo câu a ta có:

\({{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a| + |b|} \over {1 + |a| + |b|}} = {{|a|} \over {1 + |a| + |b|}} + {{|b|} \over {1 + |a| + |b|}} \le\)

\({{|a|} \over {1 + |a|}} + {{|b|} \over {1 + |b|}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = 0\)

---

Câu 11 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)

b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \le - 2\)

Giải

a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b}\,;\,{b \over a}\)là hai số dương nên:

\({a \over b} + {b \over a} \ge 2\sqrt {{a \over b}.{b \over a}} = 2\)(theo bất đẳng thức Cô-si)

b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì:

\( - {a \over b} + ( - {b \over a}) \ge 2 \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \le - 2\)

---

Câu 12 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = (x + 3)(5 x)\) với \(-3 x 5\)

Giải

Vì \(-3 x 5\) nên \(x + 3 0\) và \(5 x 0\)

Hai số không âm nên \(x + 3\) và \(5 x\) có tổng là: \((x + 3) + (5 x) = 8\) không đổi

Do đó: f(x) đạt giá trị lớn nhất khi \(x + 3 = 5 x x = 1\)

Vậy với x = 1, f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16.

Vì \(f(x) 0\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f(x) = 0\) khi \(x = -3\) hoặc \(x = 5\)