Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 năng suất
Các bài toán năng suất cùng vớicác bài toán liên quan tới diện tích, tam giác, tứ giác nằm trong chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.Dưới đây là phương pháp giải cùng các ví dụ mẫu, bài tập tự luyện. Show
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢII. Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là $ x$ (giờ), ĐK$ x>\frac{12}{5}$ Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là $ x+2$ (giờ) Mỗi giờ người thứ nhất làm được $ \frac{1}{x}$(cv), người thứ hai làm được $ \frac{1}{x+2}$(cv) Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong $ \frac{12}{5}$giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được $ \frac{5}{12}$(cv) Do đó ta có phương trình: $ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{5}{12}$⇔$ \frac{x+2+x}{x(x+2)}=\frac{5}{12}$⇔$ 5{{x}^{2}}-14x-24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=-\frac{6}{5}\end{array} \right.$ Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong $ 4$ giờ, người thứ hai làm xong công việc trong $ 4+2=6$ giờ.
HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi $ x$ (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ sản xuất theo kế hoạch$ \left( x\in {{N}^{*}} \right)$ Số ngày mà tổ sản xuất theo kế hoạch là: $ \frac{x}{50}$(ngày) Số sản phẩm thực tế tổ sản xuất được là: $ x+13$(sản phẩm) Số ngày mà tổ sản xuất theo thực tế là $ \frac{x+13}{57}$. Ta có phương trình:$ \frac{x}{50}-\frac{x+13}{57}=1$ $ \Leftrightarrow 57x-50\left( x+13 \right)=2850\Leftrightarrow x=500$ (nhận) Vậy theo kế hoạch tổ sản xuất $ 500$ sản phẩm. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài 1. (Lâm Đồng, 2011 – 2012). Hai đội công nhân cùng đào một con mương . Nếu họ cùng làm thì trong 8 giờ xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội A hoàn thành công việc nhanh hơn đội B 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ mới xong việc. Bài 2.(Chuyên Hà Giang, 2015 – 2016). Hai người thợ làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được $ \frac{1}{4}$công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình trong mấy giờ thì xong? Bài 3.(Phổ Thông Năng Khiếu, 2015 – 2016). Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 sẽ giải mỗi ngày 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch được một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An chỉ giải được 16 bài; sau đó, An cố gắng giải bài 4 mỗi ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày? Bài 4.(Quảng Ninh, 2015– 2016). Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm ? Bài 5.(Bình Định, 2014– 2015). Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc là bao nhiêu? Bài 6.(Đồng Nai, 2013 – 2014). Một xưởng có kế hoạch in xong 6000 quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 300 quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong 6000 quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch. Bài 7. (Hà Nội, 2014 – 2015). Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài 8. (Hải Phòng, 2015 – 2016). Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên cuối cùng đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng? Bài 9. (Kiên Giang, 2015 – 2016). Một tổ công nhân phải may xong 420 bộ đồng phục trong khoảng thời gian nhất định. Nếu thêm 3 công nhân vào tổ thì mỗi người sẽ may ít hơn lúc ban đầu là 7 bộ đồng phục. Tính số công nhân có trong tổ lúc đầu. Bài 10. (Quãng Ngãi, 2013 – 2014). Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?
Bài viết sẽ cung cấp cho bạn cách giải toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất, hãy lấy giấy bút và note lại nhé! Xem thêm: Hướng dẫn Giải toán bằng cách lập phương trình đầy đủ các dạng
Trước hết, ta nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập phương trình
Bước 2: Giải phương trình (có thể bấm máy giải tại đây ) Bước 3: Kiểm tra và kết luận
Khi giải toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất, ta cần phải nhớ :Năng suất là gì? Năng suất được tính như thế nào? >>> Năng suất chính là khối lượng công việc làm trong một thời gian nhất định. >>> Năng suất được tính bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành.
Bài tập: giải toán bằng cách lập phương trình dạng năng suấtSau đây ta hãy nghiên cứu ví dụ các bài giải toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất sau: Bài toán năng suất làm chung, làm riêngBài 1.Giải toán bằng cách lập phương trình: Hai tổ sản xuất cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ? Hướng dẫn giải: Gọi thời gian đội 1 hoàn thành công việc nếu làm 1 mình là x (giờ) ( x > 0) Thời gian đội 2 hoàn thành công việc nếu làm 1 mình sẽ là x + 3 (giờ) <<< vì khi làm riêng tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ Trong 1 giờ, tổ 1 làm được 1/x (công việc) Trong 1 giờ, tổ 2 làm được 1/(x+3) (công việc) Vì trong 1 giờ hai tổ làm được 1/2 công việc nên ta có phương trình: ⇔ 2(2x + 3) = x² + 3x ⇔ 4x + 6 = x² + 3x ⇔ x² − x − 6 = 0. Để giải phương trình bậc hai trên ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử: x² − x − 6 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = −2 (loại) Vậy thời gian tổ 1 hoàn thành công việc 1 mình là 3 giờ, thời gian tổ 2 hoàn thành công việc 1 mình là 6 giờ. Bài 2.Giải toán bằng cách lập phương trình: Hai người cùng làm chung một công việc trong 24 giờ thì xong. Năng suất người thứ nhất bằng 3/2 năng suất người thứ hai. Hỏi nếu mỗi người làm công việc đó một mình thì hoàn thành sau bao lâu? Hướng dẫn giải: Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc đó khi làm một mình là x (giờ) (x > 24) Một giờ người thứ nhất làm được 1/x công việc. Mà năng suất người thứ nhất bằng 3/2 năng suất người thứ hai, tức là năng suất người thứ hai = 2/3 năng suất người thứ nhất. Vậy một giờ người thứ hai làm được 2/(3x) công việc. Hai người làm chung thì mỗi giờ làm được 1/24 công việc mà Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung, nên ta có phương trình: Giải phương trình ta được nghiệm x = 40. Tức là thời gian người thứ nhất làm hết công việc 1 mình là 40 giờ. Một giờ người thứ hai làm được 2/(3x) công việc nên thời gian người thứ hai làm hết công việc là 3x/2 = 3.40/2=60 giờ. Bài 3.Giải toán bằng cách lập phương trình: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong công việc. Nếu đội một làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc? Hướng dẫn giải: Gọi thời gian đội 1 hoàn thành nửa công việc một mình trong x (ngày) (25 >x > 6 ). Một ngày đội 1 làm được 1/(2x) phần công việc. Số ngày đội 2 làm xong nửa phần công việc là 25 − x (ngày) Một ngày đội 2 làm được 1/[2.(25 − x)] công việc. Mà một ngày cả hai đội làm được 1/12 công việc mà Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung. Do đó ta có phương trình: Giải phương trình ta được x = 15 hoặc x = 10. Nếu x = 15 thì đội 2 làm xong công việc trong 2(25 − 15) = 20 ngày. Nếu x = 10 thì đội 2 làm xong công việc trong 2(25 − 10) = 30 ngày. Vậy đội 1 làm một mình hết 30 ngày thì đội 2 làm 1 mình hết 20 ngày thì xong công việc. Nếu đội 1 làm hết công việc một mình trong 20 ngày thì đội 2 làm hết công việc một mình trong 30 ngày. Bài 4.Giải toán bằng cách lập phương trình: Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Biết rằng thời gian vòi I chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể? Hướng dẫn giải: Bài toán này là một bài toán về công việc đồng thời. Để giải loại bài toán này ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị thì suy ra năng suất = 1/ thời gian. Ta lập phương trình theo mẫu: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung Đầu tiên ta phải đổi tất cả đơn vị thời gian trong bài về một loại (đổi hết thành giờ). Ta có: 4 giờ 48 phút = 24/5 giờ. Gọi thời gian để vòi I chảy một mình đầy bể là x giờ (đk: x > 24/5). Vì thời gian để vòi II chảy một mình đầy bể nhiều hơn vòi I là 4 giờ nên ta suy ra thời gian để vòi II chảy một mình đầy bể là x + 4 (giờ) Vậy ta rút ra : Trong 1 giờ vòi I chảy được 1/x (bể) Trong 1 giờ, vòi II chảy được 1/(x+4) (bể) Mà trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1 : 24/5 = 5/24 (bể) và Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung Do đó, ta có phương trình sau: suy ra 5x² − 28x − 96 = 0. Giải phương trình trên ta được nghiệm x1 = 8 (thỏa mãn đk >24/5) và x2 = -12/5 (loại). Vậy x = 8 và x + 4 = 8 + 4 = 12. Kết luận: Vòi I chảy một mình đầy bể trong 8 giờ. Vòi II chảy một mình đầy bể trong 12 giờ. Bài toán Giải toán bằng bằng cách lập phương trình dạng năng suất lao động theo kế hoạch và thực tế.Bài 5Giải toán bằng cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu, họ đã thực hiện được đúng kế hoạch, những ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm, nên đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu tấm? Hướng dẫn giải: Gọi số tấm thảm phân xưởng phải dệt mỗi ngày theo kế hoạch là x (tấm thảm) (đk x nguyên dương). Thời gian dự định phân xưởng dệt 3000 tấm thảm là 3000/x (ngày) Nhưng 8 ngày đầu, họ thực hiện đúng kế hoạch, tức là họ dệt được 8x tấm thảm. Sau đó, họ dệt x + 10 tấm thảm mỗi ngày. Tức là họ dệt 3000 − 8x tấm trong những ngày còn lại với năng suất x + 10. Ta có số ngày thực tế để dệt 3000 tấm thảm là: Và do thời gian thực tế ngắn hơn thời gian dự định là 2 ngày, nên ta có phương trình: Ta biến đổi phương trình thu được phương trình bậc hai sau: 2x² +100x − 30000 = 0 Giải phương trình trên ta thu được hai nghiệm: x1= 100 (thỏa mãn) và x2= -150 (loại). Kết luận: Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng dệt 100 tấm thảm. Bài 6.Giải toán bằng cách lập phương trình: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuát được 280 sản phấm với năng suất định trước. Do mỗi ngày tổ đó đã sản xuất vượt mức 10 sản phẩm nên tổ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 1 ngày và còn sản xuất thêm được 20 sản phẩm. Tính năng suất định trước. Hướng dẫn giải: Gọi năng suất định trước là x (sản phẩm/ngày) (đk x nguyên dương) Vì mỗi ngày tổ đó sản xuất vượt mức 10 sản phầm nên ta suy ra năng suất thực tế là x + 10 (sản phẩm/ngày). Vậy thời gian dự định = khối lượng công việc / năng suất = 280/x (ngày) Thời gian thực tế = khối lượng công việc thực tế/ năng suất thực tế Thực tế tổ đó sản xuất được thêm 20 sản phẩm tức là sản xuất được: 280 + 20 = 300 sản phẩm và năng suất thực tế là x + 10 sản phẩm/ngày. Do vậy ta có thời gian thực tế tổ đó đã làm là: 300/(x+10) (ngày). Theo đề bài, tổ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn được 1 ngày, tức là thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 1 ngày. Do vậy ta có phương trình: ⇔x² + 30x – 2800 = 0. Giải phương trình bậc hai trên ta được hai nghiệm x1= 40 (thỏa mãn đk) và x2 = -70 (loại). Kết luận: Vậy năng suất định trước là 40 sản phẩm/ ngày. Như vậy chúng ta đã cùng tìm hiểu dạng bài giải toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất với các bài toán ví dụ cụ thể. Bạn hãy like và chia sẻ nếu thấy bài viết có ích nhé! Chúc bạn học tốt! Xem thêm: Hướng dẫn Giải toán bằng cách lập phương trình đầy đủ các dạng
Các bài viết khác tại Học toán 9 |
