LG a - bài 4 trang 223 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao.

LG a

Tìm quỹ tích trọng tâmGvà trực tâmHcủa tam giácMBC.

Lời giải chi tiết:

Nếu gọiElà trung điểm củaBC(h.l08a) thì trọng tâmGcủa tam giácMBCxác định bởi \(\overrightarrow {EG} = {1 \over 3}\overrightarrow {EM} .\) Từ đó, khiMvạch đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mp(ABC) tạiA\(\left( {M \ne \;A} \right)\)thìGvạch đường thẳng \(\Delta \)' vuông góc với mp(ABC)tại trọng tâmDcủa tam giácABC(trừ điểmD).

Do AB = AC nên các tam giác vuôngMAB, MACbằng nhau, vậyMEvàAEcùng vuông góc vớiBC. Từ đó trực tâmHcủa tam giácMBCthuộcME(h.l08b)

Trong mặt phẳng (AME), đường thẳng vuông góc vớiMEtại trực tâmHcủa tam giácMBCcắtAEtạiOthì doBC\( \bot \) (AEM) nênBC\( \bot \)OH, từ đóOH\( \bot \) (MBC).

Ta cóBM\( \bot \)CHmàBM\( \bot \)OHnênBM \( \bot \) (OHC), do đóOC\( \bot \)BM, nhưngOC\( \bot \)AMnênOC\( \bot \) (ABM). VậyOC\( \bot \)AB.

ĐiểmOthuộc đường caoOCvà đường caoAEcủa tam giácABCnênOlà trực tâm của tam giácABC.

Như vậy, khi \(M{\rm{ }} \in {\rm{ }}\Delta{\rm{ }}(M \ne A)\) thìHlà trực tâm của tam giácMBCkhi và chỉ khiHlà hình chiếu của trực tâmOcủa tam giácABCtrênME.

Vậy quỹ tích củaHlà đường tròn đường kínhOE(bỏ hai điểmO,E) trong mặt phẳng trung trực củaBC.

LG b

GọiOlà trực tâm của tam giácABC,hãy xác định vị trí của điểmMđể thể tích khối tứ diệnOHBCđạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

(h.108b).

\({V_{OHBC}} = 2{V_{OHBE}} = {2 \over 3}{S_{OHE}}.BE\) (vì (OHE) là mặt phăng trung trực củaBC) nênVOHBClớn nhất khi và chỉ khiSOHElớn nhất.

Tam giác vuôngOHEcó cạnh huyềnOEcố định nên có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi tam giác đó vuông cân, tứcHEO= 45° hayAM=AE.

Vậy có hai vị trí củaMtrên \(\Delta \) đểVOHBCđạt cực đại, đó là các điểmMsao choAM=AE