LG a - câu 8 trang 212 sgk giải tích 12 nâng cao

LG a

Tính đạo hàm của hàm số y = cosx.e2tanxvà y = log2(sinx)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\begin{array}{l}
\left( {{e^u}} \right)' = u'{e^u}\\
\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}
\end{array}\)

Kết hợp với các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& y' = (\cos x.{e^{2\tan x}})' \cr & = \left( {\cos x} \right)'{e^{2\tan x}} + \cos x\left( {{e^{2\tan x}}} \right)'\cr &= - \sin x{.e^{2\tan x}} + \cos x.{2 \over {{{\cos }^2}x}}.{e^{2\tan x}} \cr
& = {e^{2\tan x}}({2 \over {\cos x}} - \sin x) \cr
& y' = ({\log _2}(\sin x))' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x\ln 2}}\cr &= {{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \over {\sin x}}.{1 \over {\ln 2}} = {{\cot x} \over {\ln 2}} \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng hàm số y = e4x+ 2e-xthỏa mãn hệ thức y' 13y 12y = 0

Phương pháp giải:

Tính y', y'', y''' thay vào đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

y = (e4x+ 2e-x)' = 4.e4x 2e-x

y= (4.e4x 2e-x)'=16.e4x+ 2e-x

y = (16.e4x+ 2e-x)' =64.e4x 2e-x

Suy ra: y 13y 12y

= 64e4x 2e-x 13(4e4x- 2e-x) 12(e4x+ 2e-x)

= 64e4x 2e-x 42e4x+26e-x 12e4x- 24e-x

= 0