Một người đến ngân hàng gửi 9000000₫ biết rằng lãi suất tiết kiệm một tháng là 0,5
 Show
Để tìm \(25\% \) của \(50\) ta làm như sau: Tìm \(18\% \) của \(235\). Điền số thích hợp vào ô trống: Điền số thích hợp vào ô trống: Điền số thích hợp vào ô trống:
CHỦ ĐỀ 1. BÀI TOÁN THỰC TẾ A. KIẾN THỨC CƠ BẢNI. Các dạng toán về lãi suất ngân hàng: 1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra. a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ b) Ví dụ: Chú Nam gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi đơn 5%/năm thì sau 5 năm số tiền chú Nam nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Giải: Số tiền cả gốc lẫn lãi chú Nam nhận được sau 5 năm là: 2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được: b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm. a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm. b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép Giải: a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là b) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép Vậy số tiền nhận được với lãi suất Ví dụ 2: a) Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ? b) Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tình lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất không kỳ hạn. Giải: a) Ta có b) Ta thấy 46 tháng là 15 kỳ hạn và thêm 1 tháng nên số tiền nhận được là Ví dụ 3: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng? Giải: Gọi Nhập vào máy tính Vậy bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong 3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định. a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền Ý tưởng hình thành công thức: + Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là + Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền + Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là + Từ đó ta có công thức tổng quát Chú ý: Từ công thức (1.6) ta có thể tính được: b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu? Giải: Ví dụ 2: Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi ngân hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất bao nhiêu? Giải: Ví dụ 3: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ( khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên? Giải: Vậy anh Thắng phải gửi ít nhất là 31 tháng mới được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên. Ví dụ 4: Đầu mỗi tháng bác Dinh gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng sau 1 năm bác Dinh nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 40 triệu. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng? Giải: Ta có Vậy lãi suất hàng tháng vào khoảng 4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng: a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là Ý tưởng hình thành công thức: Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là và sau khi rút số tiền còn lại là Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau Chú ý: Từ công thức (9) ta có thể tính được: b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng để chi tiêu. Hỏi sau 2 năm số tiền anh Chiến còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu? Giải: Ví dụ 2: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng anh Chiến rút là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết? Giải: Vì 5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau Để sau đúng và b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chị Năm vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong vòng 2 năm thì mỗi tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu? Giải: Số tiền chị Năm phải trả mỗi năm là: Ví dụ 2: a) Ạnh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng , mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ? b) Mỗi tháng anh Ba gửi vào ngân hàng số tiền 15 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng thì sau thời gian trả nợ ở câu a), số tiền cả gốc lẫn lãi anh Ba nhận được là bao nhiêu? Giải: a) Ta có b) Sau 40 tháng số tiền nhận được là 6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được tăng thêm Giải: II. Bài toán tăng trưởng dân số: Công thức tính tăng trưởng dân số Trong đó: Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là Ví dụ: Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người):
a) Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980, 1980-1990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai đoạn. b) Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu? c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt Giải: a)+ Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1976 – 1980 là + Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1980 – 1990 là + Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1990 – 2000 là + Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 2000 – 2010 là
b) Nếu duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì: Đến năm 2015 dân số nước ta sẽ là: Đến năm 2020 dân số nước ta sẽ là: c) Nếu thực hiện phương án giảm dân số đó thì đến năm 2015 dân số nước ta là: Ta có phương trình: giải phương trình ta được: III. Lãi kép liên tục: Gửi vào ngân hàng Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là Công thức (3.1) còn gọi là công thức tăng trưởng mũ. Ví dụ 1: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người. Khi đó dự đoán dân số thế giới năm 2020 sẽ là bao nhiêu? Giải: Theo công thức tăng trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2010 là Ví dụ 2: Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo công thức tăng trưởng mũ. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người? Giải: Ta có Vậy cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm 2018 dân số nước ta ở mức 100 triệu người. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Ông An gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền A. Câu 2. Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng Vietcombank số tiền A. Câu 3. Chị Hà gửi ngân hàng A. Câu 4. Tính theo phương thức lãi đơn, để sau A. Câu 5. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là A. C. Câu 6. Bạn Lan gửi A. Câu 7. Chị Thanh gửi ngân hàng A. Câu 8. Hãy cho biết lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu một năm nếu bạn gửi A. Câu 9. Một khách hàng gửi tiết kiệm A. Câu 10. Anh Thành trúng vé số giải thưởng A. Câu 11. Bà An gửi tiết kiệm A. Câu 12. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là A. Câu 13. Anh Bảo gửi A. Câu 14. Bà Tư gửi tiết kiệm A. Câu 15. Bạn muốn có A. Câu 16. Chị Vân muốn mua một chiếc xe máy Sirius giá 25 triệu đồng. Nếu sau A. Câu 17. Một sinh viên muốn có A. Câu 18. Ông Minh gửi vào ngân hàng A. C. Câu 19. Một khách hàng gửi ngân hàng A. Câu 20. Một người vay ngân hàng số tiền A. Câu 21. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905.300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Dân số tỉnh Bình Phước đến hết năm 2025 là A.1050761. B. 1110284. C.1095279. D.1078936. Câu 22. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905.300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh? ( Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có 2400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi không đáng kể) A.458. B.222. C. 459. D. 221. Câu 23. Tính đến đầu năm 2011, toàn tỉnh Bình Dương có 1.691.400 người, đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh Bình Dương sẽ là 1.802.500 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của tỉnh Bình Dương tăng bao nhiêu phần trăm? A. 1,6%. B.1,3%. C.1,2%. D.16,4%. Câu 24. Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng 1,5% mỗi năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số thế giới sẽ lên đến 10 tỉ người? A.29. B.23. C.28. D.24. Câu 25. Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng dân số 1,5% mỗi năm thì cuối năm 2020 dân số thế giới là bao nhiêu? A.8,12 tỉ người. B.8,05 tỉ người. C.8 tỉ người. D.8,10 tỉ người. Câu 26. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng Cục Thống Kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030, dân số của Việt Nam là: A. 106.118.331 người. B.198.049.810 người. C. 107.232.574 người. D. 108.358.516 người. Câu 27. Tới cuối năm 2013, dân số Nhật Bản đã giảm 0,17% xuống còn 127.298.000 người. Hỏi với tốc độ giảm dân số như vậy thì đến cuối năm 2023 dân số Nhật Bản còn bao nhiêu người? A. 125.150.414 người. B. 125.363.532 người. . C.125.154.031 người. D. 124.937.658 người. Câu 28. Một huyện A có 100 000 dân. Với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số sẽ vượt 130 000 dân. Hỏi n nhỏ nhất bao nhiêu? A. 17. B. 18. C. 19. D. 16. Câu 29. Một huyện A có 100 000 dân. Với mức tăng dân số bình quân 1,8% năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số sẽ vượt 150 000 dân. A. 23. B. 22. C. 27. D. 28. Câu 30. Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất 5%/năm. Tiền lãi năm trước được cộng dồn vào tiền gốc để tính tiền lãi năm sau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì chú Việt thu được gấp đôi số tiền đã gửi? A. 16. B. 14. C. 15. D. 20. Câu 31. Hàng tháng, một người gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền 2000000 đồng với lãi suất cố định 0.6%/tháng. Hỏi sau 5 năm, người đó có tổng số tiền (gồm tiền gốc đã gửi và tiền lãi) là bao nhiêu. Biết rằng trong quá trình gửi người đó không rút tiền lãi và lãi suất không thay đổi. A. C. Câu 32. Chú Tư gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Sau mỗi tháng, chú Tư đến ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì chú Tư rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chú Tư không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng chú Tư sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)? A. C. Câu 33. Ông Năm gửi A. C. Câu 34. Anh Bình vay ngân hàng A. Câu 35. Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng hiện nay là A. Câu 36. Theo chính sách tín dụng của chính phủ hỗ trợ sinh viên vay vốn trang trải học tập: mỗi sinh viên được vay tối đa A. Câu 37. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền cố định với lãi suất 0.6%/tháng và lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi sau bao lâu thì người đó thu được số tiền gấp hơn ba ban đầu? A. 184 tháng B. 183 tháng C. 186 tháng D. 185 tháng Câu 38. Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức: A. 178,8176855 B. 176,8176855 C. 177,8176855 D.175,8176855 Câu 39. Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức: A. 0.042842767 B. 0.052842767 C. 0.062842767 D. 0.032842767 Câu 40. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: A. Câu 41. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: A. 2400 năm B. 2300 năm C. 2387 năm D.2378 năm Câu 42. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức A. 25 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng D. 22 tháng Câu 43. Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản phẩm là A. 343 B. 333 C. 330 D. 323 Câu 44. Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng hạn sương mù, nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường và hằng số A. Câu 45. Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ A. 1giờ B. 2 giờ C. 0.5 giờ D. 1.5 giờ Câu 46. Giả sử một hàm chỉ mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là: A. 1440 B. 1340 C. 1240 D. 1540 Câu 47. Một tấm vải hình chữ nhật có chiều rộng là 1,2m; chiều dài là 350m và được cuộn chặt xung quanh một lõi gỗ hình trụ có đường kính 10cm liên tục cho đến hết, sao cho mép vải theo chiều rộng luôn song song với trục của hình trụ. Cho biết độ dày của cuộn vải đó sau khi đã cuộn hết tấm vải, biết rằng tấm vải có độ dày như nhau là 0,15mm (kết quả tính theo xăng-ti-mét và làm tròn đến 3 chữ số thập phân) A. 88.8 cm B. 88,65 cm C. 88,65cm hoặc 88.8cm D. 87,65 cm. Câu 48. Một hình vuông có cạnh bằng 100cm, người ta nối với nhau các trung điểm của 4 cạnh và lại được một hình vuông mới, lại làm như vậy đối với hình vuông mới và cứ tiếp tục làm như thế mãi. Tính tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên? A. C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMI – ĐÁP ÁN 6.1
II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Ông An gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền A. Hướng dẫn giải Đây là bài toán lãi đơn nên từ giả thiết ta có số tiền lãi là Đáp án: A. Câu 2. Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng Vietcombank số tiền A. Hướng dẫn giải Đây là bài toán lãi kép với chu kỳ là một tháng, ta áp dụng công thức Đáp án: A. Câu 3. Chị Hà gửi ngân hàng A. Hướng dẫn giải Gọi Đáp án: B. Câu 4. Tính theo phương thức lãi đơn, để sau A. Hướng dẫn giải Đây là bài toán lãi đơn với chu kỳ là một quý. Vậy Đáp án: A. Câu 5. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là A. C. Hướng dẫn giải Đầu tháng thứ nhất gửi Đầu tháng thứ hai gửi Đầu tháng thứ Hàng tháng gửi Đáp án: C. Câu 6. Bạn Lan gửi A. Hướng dẫn giải Đây là bài toán lãi đơn, chu kỳ là một quý. Áp dụng công thức, ta có: Đáp án: B. Câu 7. Chị Thanh gửi ngân hàng A. Hướng dẫn giải Số tiền lãi chính là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trừ đi số tiền gốc, nên ta có: tiền lại là Đáp án: D. Câu 8. Hãy cho biết lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu một năm nếu bạn gửi A. Hướng dẫn giải Gọi Đáp án: B. Câu 9. Một khách hàng gửi tiết kiệm A. Hướng dẫn giải Gọi Đáp án: B. Câu 10. Anh Thành trúng vé số giải thưởng A. Hướng dẫn giải Số tiền anh Thành gửi vào ngân hàng là Sau 10 năm là Đáp án: A. Câu 11. Bà An gửi tiết kiệm A. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Đáp án: C. Câu 12. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là A. Hướng dẫn giải Đây là bài toán gửi tiết kiệm hàng tháng một số tiền như nhau. Sau một năm số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là Ta có: Đáp án: D. Câu 13. Anh Bảo gửi A. Hướng dẫn giải Gọi Ta có: Đáp án: C. Câu 14. Bà Tư gửi tiết kiệm A. Hướng dẫn giải Đây là bài toán lãi kép, chu kỳ một quý, với lãi suất Sau Đáp án: A. Câu 15. Bạn muốn có A. Hướng dẫn giải Gọi Đáp án: D. Câu 16. Chị Vân muốn mua một chiếc xe máy Sirius giá 25 triệu đồng. Nếu sau A. Hướng dẫn giải Gọi Đáp án: D. Câu 17. Một sinh viên muốn có A. Hướng dẫn giải Gọi Đáp án: C. Câu 18. Ông Minh gửi vào ngân hàng A. C. Hướng dẫn giải Số tiền còn lại của ông M sau mỗi tháng định kỳ là như sau: Sau tháng thứ nhất là Sau tháng thứ hai là Sau tháng thứ ba là Theo giả thiết quy nạp, sau tháng thứ Đáp án: B. Câu 19. Một khách hàng gửi ngân hàng A. Hướng dẫn giải Lãi suất theo kỳ hạn Gọi Đáp án: D. Câu 20. Một người vay ngân hàng số tiền A. Hướng dẫn giải Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất nên đây là bài toán vay vốn trả góp cuối kỳ. Gọi Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kỳ như sau: + Đầu kỳ thứ nhất là + Cuối kỳ thứ nhất là + Cuối kỳ thứ hai là + Cuối kỳ thứ ba là …… + Theo giả thiết quy nạp, cuối kỳ thứ Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau Trở lại bài toán, gọi Khi đó, ta có: Tức là phải mất Cuối tháng thứ Kỳ trả nợ tiếp theo là cuối tháng thứ Đáp án: D. Câu 21. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905.300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Dân số tỉnh Bình Phước đến hết năm 2025 là A.1050761. B. 1110284. C.1095279. D.1078936. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Đáp án: B. Câu 22. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905.300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh? ( Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có 2400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi không đáng kể) A.458. B.222. C. 459. D. 221. Hướng dẫn giải Chỉ những em sinh năm 2018 mới đủ tuổi đi học ( 6 tuổi) vào lớp 1 năm học 2024-2025. Áp dụng công thức Trong đó: Dân số năm 2018 là: Dân số năm 2017 là: Số trẻ vào lớp 1 là: Số phòng học cần chuẩn bị là : Đáp án: C. Câu 23. Tính đến đầu năm 2011, toàn tỉnh Bình Dương có 1.691.400 người, đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh Bình Dương sẽ là 1.802.500 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của tỉnh Bình Dương tăng bao nhiêu phần trăm? A. 1,6%. B.1,3%. C.1,2%. D.16,4%. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Đáp án: A. Câu 24. Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng 1,5% mỗi năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số thế giới sẽ lên đến 10 tỉ người? A.29. B.23. C.28. D.24. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Ta được Đáp án: D. Câu 25. Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng dân số 1,5% mỗi năm thì cuối năm 2020 dân số thế giới là bao nhiêu? A.8,12 tỉ người. B.8,05 tỉ người. C.8 tỉ người. D.8,10 tỉ người. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Đáp án: A. Câu 26. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng Cục Thống Kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030, dân số của Việt Nam là: A. 106.118.331 người. B.198.049.810 người. C. 107.232.574 người. D. 108.358.516 người. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Đáp án: C. Câu 27. Tới cuối năm 2013, dân số Nhật Bản đã giảm 0,17% xuống còn 127.298.000 người. Hỏi với tốc độ giảm dân số như vậy thì đến cuối năm 2023 dân số Nhật Bản còn bao nhiêu người? A. 125.150.414 người. B. 125.363.532 người. . C.125.154.031 người. D. 124.937.658 người. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Đáp án: A. Câu 28. Một huyện A có 100 000 dân. Với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số sẽ vượt 130 000 dân. Hỏi n nhỏ nhất bao nhiêu? A. 17. B. 18. C. 19. D. 16. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Đáp án: B. Câu 29. Một huyện A có 100 000 dân. Với mức tăng dân số bình quân 1,8% năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số sẽ vượt 150 000 dân. A. 23. B. 22. C. 27. D. 28. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Đáp án: A. Câu 30. Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất 5%/năm. Tiền lãi năm trước được cộng dồn vào tiền gốc để tính tiền lãi năm sau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì chú Việt thu được gấp đôi số tiền đã gửi? A. 16. B. 14. C. 15. D. 20. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: Trong đó: Câu 31. Hàng tháng, một người gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền 2000000 đồng với lãi suất cố định 0.6%/tháng. Hỏi sau 5 năm, người đó có tổng số tiền (gồm tiền gốc đã gửi và tiền lãi) là bao nhiêu. Biết rằng trong quá trình gửi người đó không rút tiền lãi và lãi suất không thay đổi. A. C. Hướng dẫn giải Đáp án: A VẬN DỤNG (tối thiểu 10 câu) Câu 32. Chú Tư gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Sau mỗi tháng, chú Tư đến ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì chú Tư rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chú Tư không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng chú Tư sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)? A. C. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau Với Để rút hết số tiền thì ta tìm số nguyên dương Khi đó số tiền tháng cuối cùng mà chú Tư rút là [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập lên màn hình máy tính Từ đó tính được số tiền rút ra ở tháng cuối cùng là Câu 33. Ông Năm gửi A. C. Hướng dẫn giải Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là Gọi Ta được Đáp án: A. Câu 34. Anh Bình vay ngân hàng A. Hướng dẫn giải Kỳ trả nợ đầu tiên là sau khi nhận vốn nên đây là bài toán vay vốn trả góp đầu kỳ. Gọi Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kỳ như sau: + Đầu kỳ thứ nhất là + Đầu kỳ thứ hai là + Đầu kỳ thứ ba là …… + Theo giả thiết quy nạp, đầu kỳ thứ Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau Trở lại bài toán, để sau Vậy phải sau Đáp án: D. Câu 35. Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng hiện nay là A. Hướng dẫn giải Ta nhập vào MTCT như sau: Thiết lập: Phép lặp: Bấm CALC = = =…, đến khi Đáp án: C. Câu 36. Theo chính sách tín dụng của chính phủ hỗ trợ sinh viên vay vốn trang trải học tập: mỗi sinh viên được vay tối đa A. Hướng dẫn giải Sau Thiết lập: Phép lặp: Bấm CALC = = =…, đến khi Đáp án: A. Câu 37. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền cố định với lãi suất 0.6%/tháng và lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi sau bao lâu thì người đó thu được số tiền gấp hơn ba ban đầu? A. 184 tháng B. 183 tháng C. 186 tháng D. 185 tháng Hướng dẫn giải Đáp án: A. Câu 38. Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức: A. 178,8176855 B. 176,8176855 C. 177,8176855 D.175,8176855 Hướng dẫn giải Khi ở độ cao 1000m: Đáp án: D. Câu 39. Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức: A. 0.042842767 B. 0.052842767 C. 0.062842767 D. 0.032842767 Hướng dẫn giải Khi ở độ cao 12km: Đáp án: A. Câu 40. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: A. Hướng dẫn giải Theo công thức Đáp án: B. Câu 41. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: A. 2400 năm B. 2300 năm C. 2387 năm D.2378 năm Hướng dẫn giải Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là Đáp án: D. Câu 42. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức A. 25 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng D. 22 tháng Hướng dẫn giải Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn: Đáp án: A. Câu 43. Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản phẩm là A. 343 B. 333 C. 330 D. 323 Hướng dẫn giải Số quảng cáo phát ra tối thiểu để số người mua đạt hơn 75% Đáp án: B. Câu 44. Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng hạn sương mù, nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường và hằng số A. Hướng dẫn giải Cường độ ánh sáng thay đổi khi đi từ độ sâu Đáp án: A. Câu 45. Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ A. 1giờ B. 2 giờ C. 0.5 giờ D. 1.5 giờ Hướng dẫn giải Gọi Sau 3 giờ số nguyên tử còn lại trong chất phóng xạ là: Kể từ thời điểm này, trong khoảng thời gian Cho Đáp án: A. Câu 46. Giả sử một hàm chỉ mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là: A. 1440 B. 1340 C. 1240 D. 1540 Hướng dẫn giải Theo giả thiết, chi phí mỗi ngày là: Do hàm sản xuất mỗi ngày phải đạt chỉ tiêu 40 sản phẩm nên cần có: Mối quan hệ giữa số lượng nhân viên và chi phí kinh doanh là: Theo bất đẳng thức AM-GM thì: Do đó, chi phí thấp nhất cần tìm là: Đáp án: A. Câu 47. Một tấm vải hình chữ nhật có chiều rộng là 1,2m; chiều dài là 350m và được cuộn chặt xung quanh một lõi gỗ hình trụ có đường kính 10cm liên tục cho đến hết, sao cho mép vải theo chiều rộng luôn song song với trục của hình trụ. Cho biết độ dày của cuộn vải đó sau khi đã cuộn hết tấm vải, biết rằng tấm vải có độ dày như nhau là 0,15mm (kết quả tính theo xăng-ti-mét và làm tròn đến 3 chữ số thập phân) A. 88.8 cm B. 88,65 cm C. 88,65cm hoặc 88.8cm D. 87,65 cm. Hướng dẫn giải Gọi d = 10 cm = 100 mm là đường kính của lõi gỗ hình trụ; b = 0,15mm là độ dày của tấm vải. Vòng vải thứ nhất (quấn đủ vòng) có chiều dài: Vòng vải thứ hai (quấn đủ vòng) có chiều dài: Vòng vải thứ ba (quấn đủ vòng) có chiều dài: ... Vòng vải thứ n (quấn đủ vòng) có chiều dài: Do đó, nếu quấn đủ n vòng quanh lõi gỗ thì chiều dài tấm vải là: Theo giả thiết: Giải phương trình bậc hai trên ta được: Do đó khi quấn tấm vải trên quanh lõi gỗ ta được quá 591 vòng và thêm chưa đủ một vòng. Suy ra độ dày của cuộn vải là: 88,65 cm hoặc 88.8 cm Đáp án: C. Câu 48. Một hình vuông có cạnh bằng 100cm, người ta nối với nhau các trung điểm của 4 cạnh và lại được một hình vuông mới, lại làm như vậy đối với hình vuông mới và cứ tiếp tục làm như thế mãi. Tính tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên? A.
Tổng diện tích cách hình vuông: Page 2
ch¬ng 4 - sè phøc I. Sè phøc 1. kh¸i niÖm sè phøc§Þnh nghÜa 1 i ®îc gäi lµ ®¬n vÞ ¶o, a ®îc gäi lµ phÇn thùc vµ b ®îc gäi lµ phÇn ¶o cña sè phøc z = a + bi. TËp hîp c¸c sè phøc ®îc kÝ hiÖu lµ F Chó ý: 1. Sè phøc z = a + 0i cã phÇn ¶o b»ng 0 ®îc coi lµ sè thùc vµ viÕt lµ: a + 0i = a, a Î 2. Sè phøc cã phÇn thùc b»ng 0 ®îc gäi lµ sè ¶o (cßn gäi lµ thuÇn ¶o): z = 0 + bi = bi (bÎ 3. Sè 0 = 0 + 0i = 0i võa lµ sè thùc võa lµ sè ¶o. §Þnh nghÜa 2 a = a', b = b'. Khi ®ã, ta viÕt z = z'. 2. biÓu diÔn h×nh häc sè phøcMçi sè phøc z = a + bi (a, bÎ MÆt ph¼ng täa ®é víi viÖc biÓu diÔn sè phøc ®îc gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. § Trôc Ox gäi lµ trôc thùc. § Trôc Oy gäi lµ trôc ¶o. 3. phÐp céng vµ phÐp trõ sè phøc§Þnh nghÜa 3 z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. Nh vËy, ®Ó céng hai sè phøc, ta c«ng c¸c phÇn thùc víi nhau, céng c¸c phÇn ¶o víi nhau. TÝnh chÊt cña phÐp céng sè phøc 1. TÝnh chÊt kÕt hîp: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) víi mäi z1, z2, z3 Î 2. TÝnh chÊt giao ho¸n: z1 + z2 = z2 + z1 víi mäi z1, z2 Î 3. Céng víi 0: z + 0 = 0 + z = z víi mäi z Î 4. Víi mçi sè phøc z = a + bi (a, bÎ z + (-z) = -z + z = 0. Sè -z ®îc gäi lµ sè ®èi cña sè phøc z. §Þnh nghÜa 4 z1 - z2 = z1 + (-z2) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i. ý nghÜa h×nh häc cña phÐp céng vµ phÐp trõ sè phøc Mçi sè phøc z = a + bi (a, bÎ Khi ®ã, nÕu § § 4. phÐp nh©n sè phøc§Þnh nghÜa 5 z1.z2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 - a2b1)i. F NhËn xÐt: Tõ ®Þnh nghÜa, ta cã: § Víi mäi sè thùc k, vµ mäi sè phøc a + bi (a, bÎ § 0z = 0 víi mäi sè phøc z. TÝnh chÊt cña phÐp nh©n sè phøc 1. TÝnh chÊt giao ho¸n: z1z2 = z2z1 víi mäi z1, z2 Î 2. TÝnh chÊt kÕt hîp: (z1z2)z3 = z1(z2z3) víi mäi z1, z2, z3 Î 3. Nh©n víi 1: 1.z = z.1 = z víi mäi z Î 4. TÝnh chÊt ph©n phèi (cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng): z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 víi mäi z1, z2, z3 Î 5. sè phøc liªn hîp vµ m«dun cña sè phøc§Þnh nghÜa 6 Nh vËy, ta cã: F NhËn xÐt: Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy: 1. Sè phøc liªn hîp cña 2. Sè phøc liªn hîp khi vµ chØ khi c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña chóng ®èi xøng nhau qua trôc Ox. TÝnh chÊt 1. Víi mäi z1, z2 Î 2. Víi mäi sè phøc z, sè z. z. §Þnh nghÜa 7 Nh vËy, nÕu z = a + bi (a, bÎ |z| = F NhËn xÐt: 1. NÕu z lµ sè thùc th× m«®un cña z lµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc ®ã. 2. z = 0 khi vµ chØ khi |z| = 0. 6. phÐp chia cho sè phøc kh¸c 0§Þnh nghÜa 8 Th¬ng F NhËn xÐt: Nh vËy, nÕu z ≠ 0 th× F Chó ý: Cã thÓ viÕt F NhËn xÐt: 1. Víi z ≠ 0, ta cã 2. Th¬ng II. C¨n bËc hai cña sè phøc - ph¬ng tr×nh bËc hai 1. c¨n bËc hai cña sè phøc§Þnh nghÜa 1 Níi c¸ch kh¸c, mçi c¨n bËc hai cña w lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: z2 - w = 0 (víi Èn z). F Chó ý 1: §Ó t×m c¨n bËc hai cña sè phøc w, ta cã hai trêng hîp: Trêng hîp 1: NÕu w lµ sè thùc (tøc lµ w = a): § Víi a > 0 th× w cã hai c¨n bËc hai lµ ± § Víi a < 0 th× w cã hai c¨n bËc hai lµ ±i Trêng hîp 2: NÕu w = a + bi (a, bÎ z2 = w Û (x + yi)2 = a + bi Û (x2 - y2) + 2xyi = a + bi Û Ghi nhí vÒ c¨n bËc hai cña sè phøc w: §Æc biÖt: 2. ph¬ng tr×nh bËc haiCho ph¬ng tr×nh: Ax2 + Bx + C = 0, víi A, B, C lµ nh÷ng sè phøc vµ A ≠ 0. XÐt biÖt thøc D = B2 - 4AC, ta cã c¸c trêng hîp: Trêng hîp 1: NÕu D ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: z1 = trong ®ã d lµ mét c¨n bËc hai cña D. §Æc biÖt: § NÕu D lµ sè thùc d¬ng th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: z1 = § NÕu D lµ sè thùc ©m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: z1 = Trêng hîp 2: NÕu D = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp z1 = z2 = F Chó ý 2: 1. Mäi ph¬ng tr×nh bËc hai (víi hÖ sè phøc) cã hai nghiÖm phøc (cã thÓ trïng nhau). 2. Mäi ph¬ng tr×nh bËc n: A0zn + A1zn - 1 + ... + An - 1z + An = 0 trong ®ã A0, A1, ..., An lµ n + 1 sè phøc cho tríc, A0 ≠ 0 vµ n lµ mét sè nguyªn d¬ng lu«n cã n nghiÖm phøc (kh«ng nhÊt thiÕt ph©n biÖt). III. d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc - øng dông 1. sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c§Þnh nghÜa 1 F Chó ý: 1. NÕu j lµ mét acgumen cña z th× mäi acgumen cña z cã d¹ng j + 2kp, kÎ 2. Hai sè phøc z vµ lz (víi z ≠ 0 vµ l lµ sè thùc d¬ng) cã cïng acgumen. §Þnh nghÜa 2 F NhËn xÐt: §Ó t×m d¹ng lîng gi¸c r(cosj + i.sinj) cña sè phøc z = a + bi (a, bÎ Bíc 1: T×m r: ®ã lµ m«dun cña z, r = Bíc 2: T×m j: ®ã lµ acgumen cña z, j lµ sè thùc sao cho cosj = Chóng ta tæng kÕt hai bíc thùc hiÖn trªn b»ng phÐp biÕn ®æi: F Chó ý: 1. |z| = 1 khi vµ chØ khi z = cosj + i.sinj (jÎ 2. Khi z = 0 th× |z| = r = 0 nhng acgumen cña z kh«ng x¸c ®Þnh (®«i khi coi acgumen cña 0 lµ sè thùc tïy ý vµ vÉn viÕt 0 = 0(cosj + i.sinj)). 3. CÇn ®Ó ý ®ßi hái r > 0 trong d¹ng lîng gi¸c r(cosj + i.sinj) cña sè phøc z ≠ 0. 2. nh©n vµ chia sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c§Þnh lÝ: NÕu z = r(cosj + i.sinj) vµ z' = r'(cosj' + i.sinj') víi r, r' ≥ 0 th× : zz' = rr'[cos(j + j') + i.sin(j + j')] F Chó ý: NÕu c¸c ®iÓm M, M' biÓu diÔn theo thø tù c¸c sè phøc z, z' kh¸c 0 th× acgumen cña 3. c«ng thøc moa-vr¬ (moivre) vµ øng dôngC«ng thøc moa-vr¬: Víi mäi sè nguyªn d¬ng n, ta cã: [r(cosj + i.sinj)]n = rn(cosnj + i.sinnj). Khi r = 1, ta ®îc: (cosj + i.sinj)n = cosnj + i.sinnj. øng dông vµo lîng gi¸c: Ta cã: (cosj + i.sinj)3 = cos3j + i.sin3j. MÆt kh¸c, sö dông khai triÓn lòy thõa bËc ba ta ®îc: (cosj + i.sinj)3 = cos3j + 3cos2j.(i.sinj) + 3cosj.(i.sinj)2 + sin3j. Tõ ®ã, suy ra: cos3j = cos3j - 3cosj.sin2j = 4cos3j - 3cosj, sin3j = 3cos2j.sinj - sin3j = 3sinj - 4sin3j. C¨n bËc hai cña sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c: Sè phøc z = r(cosj + i.sinj), r > 0 cã hai c¨n bËc hai lµ: vµ - §1. Sè phøc D¹ng to¸n 1: Sè phøc vµ thuéc tÝnh cña nã Ph¬ng ph¸p Víi sè phøc z = a + bi, c¸c d¹ng c©u hái thêng ®îc ®Æt ra lµ: D¹ng 1: X¸c ®Þnh phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña sè phøc z. Khi ®ã, ta cã ngay: § PhÇn thùc b»ng a. § PhÇn ¶o b»ng b. F Chó ý: Mét c©u hái ngîc lµ "Khi nµo sè phøc a + bi lµ sè thùc, sè ¶o hoÆc b»ng 0", khi ®ã ta sö dông kÕt qu¶ trong phÇn chó ý sau ®Þnh nghÜa 1. D¹ng 2: H·y biÓu diÔn h×nh häc sè phøc z Khi ®ã, ta sö dông ®iÓm M(a; b) ®Ó biÓu diÔn sè phøc z trªn mÆt ph¼ng täa ®é. F Chó ý: Mét c©u hái ngîc lµ "X¸c ®Þnh sè phøc ®îc biÓu diÔn bíi ®iÓm M(a; b)", khi ®ã ta cã ngay sè z = a + bi. D¹ng 3: TÝnh m«®un cña sè phøc z, khi ®ã, ta cã ngay D¹ng 4: T×m sè ®èi cña sè phøc z, khi ®ã, ta cã ngay -z = -a - bi. D¹ng 5: T×m sè phøc liªn hîp cña z, khi ®ã, ta cã ngay D¹ng 6: T×m sè phøc nghÞch ®¶o cña z, khi ®ã, ta cã ngay z-1 = ThÝ dô 1. X¸c ®Þnh c¸c sè phøc biÓu diÔn bëi c¸c ®Ønh cña mét tam gi¸c ®Òu cã t©m lµ gèc to¹ ®é O trong mÆt ph¼ng phøc, biÕt r»ng mét ®Ønh biÓu diÔn sè -i. ? Gi¶i Gi¶ sö tam gi¸c ®Òu ABC ( nh trong h×nh vÏ) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi, khi ®ã gi¶ sö ®Ønh A(0; -1) biÓu diÔn sè phøc -i. Gäi a lµ ®é dµi c¹nh DABC, ta cã § §Ønh B § §Ønh C D¹ng to¸n 2: C¸c phÐp to¸n vÒ sè phøc Ph¬ng ph¸p Sö dông ®Þnh nghÜa cïng víi tÝnh chÊt cña c¸c phÐp to¸n (céng, trõ nh©n, chia) trªn tËp sè phøc. Chóng ta cã c¸c h»ng ®¼ng thøc: a2 + b2 = a2 - (bi)2 = (a + bi)2 = a2 - b2 + 2abi; (a - bi)2 = a2 - b2 - 2abi. (a + bi)3= a3 - 3a + (3a2b - b3)i; (a - bi)3= a3 + 3a - (3a2b + b3)i. ThÝ dô 1. T×m phÇn thùc phÇn ¶o cña sè phøc z = (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (víi x, y Î ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi: z = (x2 + 2xyi - y2) – (2x + 2yi) + 5 = x2 - y2 - 2x + 5 + 2y(x - 1)i. VËy nã cã phÇn thùc b»ng x2 - y2 - 2x + 5 vµ phÇn ¶o b»ng 2y(x - 1). b. Sè phøc ®· cho lµ sè thùc ®iÒu kiÖn lµ: 2y(x - 1) = 0 Û x = 1 hoÆc y = 0. ThÝ dô 2. T×m phÇn thùc phÇn ¶o vµ m«®un cña sè phøc ? Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta biÕn ®æi: z = VËy nã cã phÇn thùc b»ng C¸ch 2: Ta biÕn ®æi: z = = VËy nã cã phÇn thùc b»ng ThÝ dô 3. T×m ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè phøc sau: a. z = ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta biÕn ®æi: z = VËy, ®iÓm M(2; 0) biÓu diÔn sè phøc z. C¸ch 2: Ta biÕn ®æi: z = = 8 - 2(2 - i2) = 2. VËy, ®iÓm M(2; 0) biÓu diÔn sè phøc z. C¸ch 3: Ta biÕn ®æi: z = = 4i2 + 2(2 - i2) = 2. VËy, ®iÓm M(2; 0) biÓu diÔn sè phøc z. b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta biÕn ®æi: z = = 12i + 2i3 = 12i - 2i = 10i. VËy, ®iÓm N(0; 10) biÓu diÔn sè phøc z. C¸ch 2: Ta biÕn ®æi: z = = ( = 8i3 + 6i(2 - i2) = -8i + 18i = 10i. VËy, ®iÓm N(0; 10) biÓu diÔn sè phøc z. D¹ng to¸n 3: Chøng minh tich chÊt cña sè phøc Ph¬ng ph¸p Sö dông c¸c phÐp to¸n trªn tËp sè phøc cïng nh÷ng tÝnh chÊt cña chóng. ThÝ dô 1. Chøng minh r»ng phÇn thùc cña sè phøc z b»ng ? Gi¶i Víi sè phøc z = a + bi (a, bÎ ThÝ dô 2. Gäi A, B theo thø tù lµ c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè z ¹ 0 vµ z' = ? Gi¶i Ta lÇn lît cã: OA = AB = Tõ ®ã, suy ra OB = AB vµ: OB2 + AB2 = D¹ng to¸n 4: TËp hîp ®iÓm Ph¬ng ph¸p C©u hái thêng ®îc ®Æt ra lµ "X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc z tháa m·n ®iÒu kiÖn K". Khi ®ã: D¹ng 1: Sè phøc z tháa m·n biÓu thøc vÒ ®é dµi (m«®un). Khi ®ã, ta sö dông c«ng thøc D¹ng 2: Sè phøc z lµ sè thùc (thùc ©m hoÆc thùc d¬ng), sè ¶o. Khi ®ã, ta sö dông kÕt qu¶: a. §Ó z lµ sè thùc ®iÒu kiÖn lµ b = 0. b. §Ó z lµ sè thùc ©m ®iÒu kiÖn lµ: c. §Ó z lµ sè thùc d¬ng ®iÒu kiÖn lµ: d. §Ó z lµ sè ¶o ®iÒu kiÖn lµ a = 0. F Chó ý: §Ó t¨ng ®é khã cho yªu cÇu vÒ tËp hîp ®iÓm, bµi to¸n thêng ®îc cho díi d¹ng mét biÓu thøc phøc. ThÝ dô 1. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc z sao cho z2: a. Lµ sè ¶o. b. Lµ sè thùc ©m. c. Lµ sè thùc d¬ng. d. Cã m«®un b»ng 1. ? Gi¶i Víi sè phøc z = x + yi (x, yÎ z2 = (x + yi)2 = x2 - y2 + 2xyi. a. §Ó z2 lµ sè ¶o ®iÒu kiÖn lµ: x2 - y2 = 0 Û (x - y)(x + y) = 0 Û VËy, tËp hîp ®iÓm c¸c ®iÓm M thuéc hai ®êng ph©n gi¸c cña gãc gi÷a trôc thùc, trôc ¶o. b. §Ó z2 lµ sè thùc d¬ng ®iÒu kiÖn lµ: VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc trôc Ox (trôc thùc) trõ gèc O. c. §Ó z2 lµ sè thùc ©m ®iÒu kiÖn lµ: VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc trôc Oy (trôc ¶o) trõ gèc O. d. §Ó z2 cã m«®un b»ng 1 ®iÒu kiÖn lµ: VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc ®êng trßn ®¬n vÞ. ThÝ dô 2. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc tháa m·n (1 + i ? Gi¶i Ta biÕn ®æi: (1 + i Khi ®ã: ½z – 1½ = = ½z – 1½ £ 2 Û Û Û VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc h×nh trßn t©m I(3; D¹ng to¸n 5: Ph¬ng tr×nh phøc Ph¬ng ph¸p Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè vµ c¸c phÐp to¸n vÒ sè phøc. C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gi¶ sö sè phøc cÇn t×m lµ z = a + bi (x, yÎ Bíc 2: Thay z vµo ph¬ng tr×nh vµ sö dông sö dông b»ng nhau cña hai sè phøc ®Ó t×m a, b. Bíc 3: KÕt luËn vÒ sè phøc z cÇn t×m. ThÝ dô 1. T×m nghiÖm phøc cña ph¬ng tr×nh: a. ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm z = b. Ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Ta lÇn lît: § Víi ph¬ng tr×nh (1), ta biÕn ®æi iz = -1 Û § Víi ph¬ng tr×nh (2), ta biÕn ®æi: § Víi ph¬ng tr×nh (3), ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta biÕn ®æi (3) vÒ d¹ng: (1 + i)z = –1 Û z = C¸ch 2: Gi¶ sö z = a + bi (a, bÎ (3) Û (2 + i)(a + bi) - (a + bi) + 1 = 0 Û 2a - b + (a + 2b)i - (a + bi) + 1 = 0 Û a - b + 1 + (a + b)i = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm z = i, z = 2 + i vµ z = - §2. c¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph¬ng tr×nh b¹c hai D¹ng to¸n 1: C¨n bËc hai cña sè phøc Ph¬ng ph¸p Sö dông kiÕn thøc trong phÇn c¨n bËc hai cña sè phøc vµ lu ý tíi c¸c trêng hîp ®Æc biÖt. ThÝ dô 1. T×m c¸c c¨n bËc hai cña mçi sè phøc sau: a. ? Gi¶i a. Sè b. Gi¶ sö sè z = x + yi (x, yÎ i = (x + yi)2 = x2 - y2 + 2xyi Û VËy, sè i cã hai c¨n bËc hai lµ F NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó t×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc trªn: § C©u a) chóng ta sö dông ngay kÕt qu¶ cña trêng hîp 1 trong chó ý cña phÇn c¨n bËc hai. § C©u b) chóng ta sö dông thuËt to¸n ®· ®îc tr×nh bµy trong trêng hîp 2 cña chó ý cña phÇn c¨n bËc hai. Víi sè ¶o d¹ng z = bi nÕu chóng ta sö dông ®¸nh gi¸ vÒ dÊu cña x vµ y th× sÏ nhanh chãng t×m ®îc nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh. Cô thÓ hÖ trong c©u b) sÏ ®îc thùc hiÖn nh sau: Û ThÝ dô 2. T×m c¸c c¨n bËc hai cña mçi sè phøc sau: a. 3 + 4i. b. ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö sè z = x + yi (x, yÎ 3 + 4i = (x + yi)2 = x2 - y2 + 2xyi Û Û VËy, sè 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ ±(2 + i). C¸ch 2: Ta cã ph©n tÝch: 3 + 4i = 3 + 2.2i = 3 + 2.2.i = (2 + i)2. VËy, sè 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ ±(2 + i). b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö sè z = x + yi (x, yÎ Û Û VËy, sè C¸ch 2: Ta cã ph©n tÝch: VËy, sè F NhËn xÐt: ý tëng cho c¸ch gi¶i 2 trong thÝ dô trªn víi mçi sè phøc d¹ng a + bi (a, b thùc kh¸c 0) cã thÓ ®îc gi¶i thÝch nh sau: Ta viÕt §èi víi c¸c em häc sinh ®· biÕt vËn dông ®Þnh lÝ ViÐt ®Ó nhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai th× ®©y lµ c«ng viÖc ®¬n gi¶n. D¹ng to¸n 2: Ph¬ng tr×nh bËc hai Ph¬ng ph¸p Sö dông kiÕn thøc trong phÇn ph¬ng tr×nh bËc hai. ThÝ dô 1. T×m nghiÖm phøc cña c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. z2 - 2z + 2 = 0. b. z2 - 2iz + 1 = 0. ? Gi¶i a. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh cã D' = 12 - 2 = –1 nªn nã cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: z1, 2 = 1 ±i. C¸ch 2: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (z - 1)2 = -1 = i2 Û z - 1 = ±i Û z1, 2 = 1 ±i. VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm z1, 2 = 1 ± i. b. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh cã D = (–2i)2 - 4 = –8 Þ D cã hai c¨n bËc hai lµ Nªn ph¬ng tr×nh ®ã cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: z1, 2 = C¸ch 2: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: z2 - 2iz - 1 = -2 Û (z - i)2 = -2 Û z - i = ±i VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm z1, 2 = (1 ± F Chó ý: a. Víi ph¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè D lµ sè phøc chóng ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: TÝnh biÖt sè D = a + bi. Bíc 2: T×m hai c¨n bËc hai cña D (gi¶ sö ±d) theo thuËt to¸n ®· biÕt trong d¹ng to¸n 1. Bíc 3: KÕt luËn, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: z1, 2 = b. Tõ ®ã, ta thÊy c«ng thøc Vi-Ðt vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè thùc vÉn ®óng cho ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè phøc kh«ng, v×: ThÝ dô 2. T×m nghiÖm phøc cña c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. z2 + (2 - i)z - 2i = 0. b. 4z2 - 2z - ? Gi¶i a. Ph¬ng tr×nh cã: D = (2 - i)2 + 8i = 3 + 4i = (2 + i)2 nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm z1 = -2 vµ z2 = i. b. Ph¬ng tr×nh cã Gi¶ sö sè d = x + yi (x, yÎ 1 + 4 Û Û Tøc lµ, biÖt sè D' cã hai c¨n bËc hai lµ ±(2 + i VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm F NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh trªn: § ë c©u a) b»ng viÖc nhËn xÐt ®îc ngay r»ng 3 + 4i = (2 + i)2 chóng ta ®· gi¶m thiÓu ®îc c¸c bíc t×m c¨n b©c hai cña D. § C©u b) chóng ta cÇn sö dông thuËt to¸n ®Ó t×m c¨n bËc hai cña D'. Tuy nhiªn, víi nh÷ng ngêi cã kinh nghiÖm hä cã thÓ nhÈm ®îc. ThÝ dô 3. T×m hai sè phøc, biÕt tæng cña chóng b»ng 4 – i vµ tÝch cña chóng b»ng 5(1 – i). ? Gi¶i Víi hai sè phøc z1, z2 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi, ta cã: suy ra z1, z2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: z2 - (4 - i)z + 5(1 - i) = 0 ph¬ng tr×nh cã D = (4 - i)2 - 20(1 - i) = -5 + 12i. Gi¶ sö sè d = x + yi (x, yÎ -5 + 12i = (x + yi)2 = x2 - y2 + 2xyi Û Û Tøc lµ, biÖt sè D cã hai c¨n bËc hai lµ ±(2 + 3i). Nªn ph¬ng tr×nh ®ã cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: z1 = VËy, hai sè cÇn t×m lµ 3 + i vµ 1 - 2i. D¹ng to¸n 3: Sö dông ph¬ng tr×nh bËc hai gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao Ph¬ng ph¸p a. §èi víi ph¬ng tr×nh bËc ba th× chóng ta cÇn thùc hiÖn phÐp nhÈm nghiÖm ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (tøc nhËn ®îc mét ph¬ng tr×nh tÝch). b. §èi víi ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng ®Æc biÖt chóng ta sö dông ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô. ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau vµ biÓu diÔn h×nh häc tËp hîp c¸c nghiÖm cña mçi ph¬ng tr×nh (trong mÆt ph¼ng phøc): a. z3 - 1 = 0. b. z3 – 3z2 + 4z – 2 = 0. ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (z - 1)(z2 + z + 1) = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm z1, z2, z3 vµ chóng theo thø tù ®îc biÓu diÔn b»ng c¸c ®iÓm M1(1; 0), b. V× tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 1 nªn ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (z - 1)(z2 - 2z + 2) = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm z1, z2, z3 vµ chóng theo thø tù ®îc biÓu diÔn b»ng c¸c ®iÓm M1(1; 0), F Chó ý: a. RÊt nhiÒu häc sinh khi thùc hiÖn c©u a) do thãi quen t×m nghiÖm thùc nªn ®· chØ ra nghiÖm duy nhÊt x = 1. C¸c em häc sinh cÇn ghi nhí néi dung chó ý 2 trong phÇn lÝ thuyÕt, nªn sö dông h»ng ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ban ®Çu vÒ d¹ng tÝch. b. ë c©u b) chóng ta sö dông kÕt qu¶ a + b + c + d = 0 th× ph¬ng tr×nh az3 + bz2 + cz + d = 0 (víi a, b, c, d lµ nh÷ng sè thùc) cã nghiÖm b»ng 1, do ®ã nã ®îc ph©n tÝch thµnh: (z - 1)(Az2 + Bz + C) = 0. T¬ng tù, nÕu ph¬ng tr×nh az3 + bz2 + cz + d = 0 cã: a - b + c - d = 0 th× nã cã nghiÖm b»ng -1, do ®ã nã ®îc ph©n tÝch thµnh: (z + 1)(Az2 + Bz + C) = 0. c. C¸c em häc sinh h·y chøng minh r»ng "KÕt qu¶ trªn vÉn ®óng víi ph¬ng tr×nh bËc ba cã hÖ sè phøc". ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. z4 - 1 = 0. b. z4 + 1 = 0. ? Gi¶i a. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (z2 – 1)(z2 + 1) = 0 Û z = ±1 vµ z = ±i. b. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: z4 - i2 = 0 Û (z2 - i)(z2 + i) = 0 Û Ta lÇn lît: § Víi ph¬ng tr×nh (1), gi¶ sö sè z = x + yi (x, yÎ i = (x + yi)2 = x2 - y2 + 2xyi Û Û Suy ra, ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ § Víi ph¬ng tr×nh (2), gi¶ sö sè z = x + yi (x, yÎ -i = (x + yi)2 = x2 - y2 + 2xyi Û Û Suy ra, ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ VËy, ph¬ng tr×nh ®· cho cã bèn nghiÖm lµ F NhËn xÐt: 1. Nh vËy, qua vÝ dô trªn: a. ë c©u a) chóng ta sö dông h»ng ®¼ng thøc ®Ó chuyÓn ph¬ng tr×nh ban ®Çu vÒ tÝch cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai. b. ë c©u b) chóng ta sö dông tÝnh chÊt i2 = -1 ®Ó lµm xuÊt hiÖn d¹ng A2 - B2 = (A - B)(A + B). 2. Chóng ta ®Òu biÕt r»ng c¸c ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng d¹ng: az4 + bz2 + c = 0 ®îc gi¶i b»ng viÖc sö dông Èn phô t = z2. §3. d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc vµ øng dông D¹ng to¸n 1: D¹ng lîng gi¸c cña cña sè phøc Ph¬ng ph¸p Sö dông kiÕn thøc ®îc tr×nh bµy trong nhËn xÐt cña phÇn 1. ThÝ dô 1. T×m d¹ng lîng gi¸c cña c¸c sè phøc a. z = 1 + i ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Víi z = 1 + i M«dun r = Acgumen j tháa m·n cosj = Tõ ®ã, suy ra z = 2 –z = kz = C¸ch 2: Chóng ta thêng sö dông ngay phÐp biÕn ®æi: z = 1 + i –z = -1 - i b. Ta lÇn lît cã: § Sè phøc § Sè phøc -z cã m«dun r vµ acgumen b»ng j + p nªn cã d¹ng: -z = r[cos(j + p) + i.sin(j + p)]. § Sè phøc § Sè phøc kz cã m«dun |kz| = |k|r vµ acgumen b»ng j nÕu k > 0 vµ lµ j + p nÕu k < 0 nªn cã d¹ng: kz = ThÝ dô 2. Cho hai sè phøc z1 = 1 + i vµ a. T×m d¹ng lîng gi¸c cña z1, z2. b. Sö dông kÕt qu¶ trong a) tÝnh ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: z1 = 1 + i b. Ta lÇn lît cã: F Chó ý: NÕu thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n trªn díi d¹ng ®¹i sè: a. Ta cã: tõ ®ã, suy ra b. Ta cã: tõ ®ã, suy ra D¹ng to¸n 2: C¸c øng dông Ph¬ng ph¸p Sö dông d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n. Sö dông c«ng thøc moa-vr¬ (moivre) vµ øng dông. ThÝ dô 1. T×m d¹ng lîng gi¸c cña c¸c c¨n bËc hai cña sè phøc: z = cosj - i.sinj. ? Gi¶i ViÕt l¹i sè phøc z d¬ng d¹ng chuÈn: z = cos(-j) - i.sin(-j) tõ ®ã, suy ra nã cã hai c¨n bËc hai lµ: ThÝ dô 2. TÝnh ? Gi¶i Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta lÇn lît cã d¹ng lîng gi¸c cña c¸c sè phøc: Þ = C¸ch 2: Ta cã: Þ = VÝ dô 1: T×m ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè phøc sau: a. z = ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta biÕn ®æi: z = VËy, ®iÓm M(2; 0) biÓu diÔn sè phøc z. C¸ch 2: Ta biÕn ®æi: z = = 8 - 2(2 - i2) = 2. VËy, ®iÓm M(2; 0) biÓu diÔn sè phøc z. C¸ch 3: Ta biÕn ®æi: z = = 4i2 + 2(2 - i2) = 2. VËy, ®iÓm M(2; 0) biÓu diÔn sè phøc z. b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta biÕn ®æi: z = = 12i + 2i3 = 12i - 2i = 10i. VËy, ®iÓm N(0; 10) biÓu diÔn sè phøc z. C¸ch 2: Ta biÕn ®æi: z = + 3( = 8i3 + 6i(2 - i2) = -8i + 18i = 10i. VËy, ®iÓm N(0; 10) biÓu diÔn sè phøc z. VÝ dô 2: T×m m«®un cña c¸c sè phøc sau: a. z = b. z = 1 + (1 - i) + (1 - i)2 + (1 - i)3 + ... + (1 - i)19. ? Gi¶i a. Ta cã: z = Þ b. XÐt cÊp sè nh©n (un) cã u1 = 1 vµ q = 1 - i, ta cã: un = u1.qn - 1, z = S20 = u1 + u2 + ... + u20 = = [(-2i)10 - 1]i = (210 - 1)i tøc lµ z cã phÇn thùc b»ng 0 vµ phÇn ¶o b»ng 210 - 1 nªn VÝ dô 3: Chøng minh r»ng: a. Sè phøc z lµ sè ¶o khi vµ chØ khi z = – b. Víi mäi sè phøc z, z' ta cã ? Gi¶i a. Tõ gi¶ thiÕt: z = – b. Víi hai sè phøc z = a + bi, z' = a' + b'i (a, b, a', b'Î = (a - bi) + (a' - b'i) = (aa’ - bb') - (ab' + a’b)i = (a - bi)(a' - b'i) = VÝ dô 4: X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè tho¶ m·n mçi ®iÒu kiÖn sau: a. ½z + c. 2½z – i½ = ½z – ? Gi¶i Víi sè phøc z = x + yi (x, yÎ a. Ta cã: 4 = ½x + iy + x - yi + 3½ = ½2x + 3½ Û 2x + 3 = ±4 Û x = VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc hai ®êng th¼ng x = b. Ta cã: w = (2 – z)(i + §Ó w lµ sè thùc ®iÒu kiÖn lµ: 2 - x - 2y = 0 Û x + 2y - 2 = 0. VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc ®êng th¼ng x + 2y - 2 = 0. c. Ta cã: 2½z – i½ = ½z – Û 2½x + (y – 1)i½ = ½2(y + 1)i½ Û 2 Û 1 + (y - 1)2 = (y + 1)2 Û y = VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc parabol (P): y = d. Ta cã: 4 = ½z2 – ( Û VËy, tËp hîp ®iÓm M thuéc hai hypebol cã ph¬ng tr×nh y = ± VÝ dô 5: T×m sè phøc z tháa m·n: a. ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: §Æt z = x + iy (x, y Î 1 = Û êx + (y - 1)iê = êx - 1 + iyê Û x2 + (y - 1)2 = (x - 1)2 + y2 Û x = y. 1 = Û êx + (y + 1)iê = êx + (y - 3)ê Û x2 + (y + 1)2 = x2 + (y - 3)2 Û 8y = 8 Û y = 1 Þ x = 1. VËy, sè phøc cÇn t×m lµ z = 1 + i. C¸ch 2: §Æt z = x + iy (x, y Î § TËp hîp c¸c ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tháa m·n § §iÒu kiÖn VËy, sè phøc cÇn t×m lµ z = 1 + i. b. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 0 = = Û VËy, sè phøc cÇn t×m lµ z = 0, z = ±1. VÝ dô 6: T×m nghiÖm phøc cña mçi ph¬ng tr×nh sau: a. z2 + ? Gi¶i a. §Æt z = x + iy (x, y Î (x + iy)2 + x - yi = 0 Û x2 - y2 + 2xyi + x - yi = 0 Û x2 - y2 + x + (2xy - y)i = 0 Û Û Û VËy, ph¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm z = 0, z = -1, z = b. §Æt z = x + iy (x, y Î (x + iy)2 + ½x + iy½ = 0 Û x2 - y2 + Û Û VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm z = 0, z = i vµ z = -i. VÝ dô 7: T×m c¸c c¨n bËc hai cña sè phøc ? Gi¶i Gi¶ sö sè z = x + yi (x, yÎ Û Û VËy, sè 1 + 4 VÝ dô 8: Hái khi sè thùc a thay ®æi tuú ý th× c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c c¨n bËc hai cña a + 2i v¹ch nªn ®êng nµo ? ? Gi¶i Gi¶ sö sè z = x + yi (x, yÎ a + 2i = (x + yi)2 = x2 - y2 + 2xyi Û Tõ ph¬ng tr×nh 2xy = 2 chøng tá ®iÓm M biÓu diÔn z ph¶i thuéc hypebol y = VÝ dô 9: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. Ph¬ng tr×nh cã: D' = nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm z1 = -2 vµ z2 = i. b. §Æt t = z2 + z, ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn vÒ d¹ng: t2 + 4t - 12 = 0 Û t = 2 hoÆc t = -6. Ta lÇn lît: § Víi t = 2, ta ®îc: z2 + z = 2 Û z2 + z - 2 = 0 Û z1 = 1 vµ z2 = -2. § Víi t = -6, ta ®îc: z2 + z = -6 Û z2 + z + 6 = 0. Ph¬ng tr×nh nµy cã D = 1 - 24 = -23 nªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ VËy, ph¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm z1 = 1, z2 = -2 vµ VÝ dô 10: Cho ph¬ng tr×nh a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã tæng b×nh ph¬ng hai nghiÖm b»ng 5. ? Gi¶i a. Víi Ph¬ng tr×nh cã: D' = nªn nã cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm z1 = -2 vµ z2 = i. b. Gi¶ sö hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ z1, z2, suy ra: Khi ®ã: Û m = ±(3 - 2i). VËy, víi m = ±(3 - 2i) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. VÝ dô 11: T×m sè thùc a, b ®Ó cã ph©n tÝch: 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = (2z – 1)(z2 + az + b) råi gi¶i ph¬ng tr×nh 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = 0. ? Gi¶i Ta cã: 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = 2z3 – (1 - a)z2 + (2b - a)z – b. Sö dông ®ång nhÊt thøc, ta ®îc: Tõ ph©n tÝch trªn, ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm z = 2 ± i vµ VÝ dô 12: T×m sè thùc a, b ®Ó cã ph©n tÝch: z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b) råi gi¶i ph¬ng tr×nh z4 – 4z2 – 16z – 16 = 0. ? Gi¶i Ta cã: z4 – 4z2 – 16z – 16 = z4 - (2 - a)z3 - (2a - b + 4)z2 - (4a + 2b)z – 4b. Sö dông ®ång nhÊt thøc, ta ®îc: Tõ ph©n tÝch trªn, ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: VËy, ph¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm VÝ dô 13: Cho ph¬ng tr×nh z4 + pz2 + q = 0 víi p, q lµ c¸c sè thùc. T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ vÒ c¸c sè p, q ®Ó ph¬ng tr×nh: a. ChØ cã nghiÖm thùc. b. Kh«ng cã nghiÖm thùc. ? Gi¶i §Æt t = z2, ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng t2 + pt + q = 0. (*) a. Ph¬ng tr×nh ban ®Çu chØ cã nghiÖm thùc khi vµ chØ khi: (*) cã hai nghiÖm kh«ng ©m (0 ≤ t1 ≤ t2) Û b. Ph¬ng tr×nh ban ®Çu chØ kh«ng cã nghiÖm thùc khi vµ chØ khi: (*) v« nghiÖm hoÆc cã hai nghiÖm ©m (t1 ≤ t2 < 0) Û F Yªu cÇu: C¸c em häc sinh h·y thùc hiÖn "T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã c¶ nghiÖm thùc vµ nghiÖm kh«ng thùc". VÝ dô 14: Cho c¸c sè phøc z1 = a. ViÕt z1, z2, z3 díi d¹ng lîng gi¸c. b. Tõ c©u a) h·y tÝnh cos ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi: z1 = z2 = –2 – 2i = z3 = b. Ta cã: z3 = Tõ ®ã, suy ra: cos VÝ dô 15: TÝnh ? Gi¶i Ta cã: Tõ ®ã, suy ra: = VÝ dô 16: ViÕt d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc z vµ c¸c c¨n bËc hai cña z cho mçi trêng hîp sau: a. ½z½ = 3 vµ mét acgument cña iz lµ b. ½z½ = ? Gi¶i a. Gi¶ sö z = a + bi víi m«dun r vµ acgument j, ta cã: ½z½ = iz = i(a + bi) = -b + ai Þ cosj = Tõ ®ã, suy ra z = 3 b. Gi¶ sö z = a + bi víi m«dun r vµ acgument j, ta cã: ½z½ = Tõ ®ã, suy ra z = Page 3
Nhóm trường: THPT Nguyễn Văn Huyên THPT Tháng 10 THPT Thượng Lâm CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (12 tiết) Tiết 1, 2, 3 DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC A. Kiến thức cơ bản. 1. Khái niệm số phức · Số phức (dạng đại số) : (a, b · z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. · Tập hợp số phức: · Hai số phức bằng nhau: Chú ý: 2. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là · · z là số thực Û 3. Môđun của số phức : z = a + bi · · · 4. Các phép toán trên số phức. * Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: * Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số z-1= · Chia hai số phức: B. Kĩ năng cơ bản. Tìm phần thực và phần ảo , mô đun, số phức liên hợp của số phức Phương pháp giải Biến đổi số phức về dạng đại số, áp dụng công thức tính. Thực hiện các phép toán trên tập số phức Phương pháp giải Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. C. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo , mô đun, số phức liên hợp của số phức Giải: a) Phần thực: 1, phần ảo 2, số phức liên hợp Phần thực: 5, phần ảo : 5, số phức liên hợp Phần thực: -5, phần ảo : 4, số phức liên hợp
Bài 2: Tìm số phức liên hợp của: Giải: Ta có Suy ra số phức liên hợp của z là:
Bài 3: Tìm phần ảo của số phức z biết Giải: Phần ảo của số phức
Bài 4: Tìm mô đun của số phức Giải: Ta có: Vậy mô đun của z bằng:
Bài 5: Cho số phức z = Giải: *Vì z = *Ta có z2 = Þ ( ( Ta có: 1 + z + z2 =
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn Giải: Ta có: * Hai số phức bằng nhau:
Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Û (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i Û b) Theo giả thiết ta có: c) Ta có Suy ra * Tính · i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; " n Î N*Vậy in Î {-1;1;-i;i}, " n Î N* ·
Bài 8: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
Giải: a) Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. b) Ta có: Þ
Giải: Vậy phần thực là * Tìm số phức dựa vào dạng đại số của số phức. Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau:
Bài 11: Tìm số phức z biết Giải: Giả sử z= a+ bi (a,b Vậy z = 2 – i
Bài 12(TH) Cho số phức z thỏa mãn: Giải: Do đó
Bài 13: (TH)Tính mô đun của số phức z biết rằng: Giải: Gọi z= a+ bi (a, b Ta có Suy ra mô đun:
Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn: Giải Gọi z = x + iy (x, y Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i
Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn Giải: Gọi z= a+ bi (a, b Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Bài 16: (Vận dụng) Trên mặt phẳng tọa độ Hướng dẫn giải Gọi Gọi Gọi Ta có: Ta có Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
Bài 17: (Vận dụng)Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: Giải Đặt z= x+ yi (x,y Số phức w là một số ảo khi và chỉ khi Vậy
Bài 18: (Vận dụng)Tìm số phức z biết Giải: Gọi z= a+ bi (a, b Vậy D. Bài tập TNKQ. Câu 1. (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017)Cho hai số phức A. Câu 2. ((Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Cho số phức A. Giải : Đáp án B Ta có: Với Vậy Câu 3. (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2 Giải: Đáp án C Đặt Ta có hệ: Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn Câu 4. (Vận dụng)Trong các số phức thỏa mãn điều kiện A. Hướng dẫn giải Chọn C. Phương pháp tự luận Giả sử Suy ra Vậy Phương pháp trắc nghiệm Giả sử Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức Phương án A: Phương án B: Phương án C: Phương án D: Do đó phương án C thỏa mãn Câu 5. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)Cho số phức A. Hướng dẫn giải Đặt Mà Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức Câu 6. Cho số phức A. Hướng dẫn giải: Gọi Ta có: Suy ra tập hợp điểm Dễ thấy Suy ra Mà Câu 7. Phần thực và phần ảo của số phức A. 1 và 2. B. 2 và 1. C. 1 và Câu 8. Cho số phức A. -8. B. 10. C. 8 + 6i. D. -8 + 6i. Câu 9. Phần thực của số phức A. Câu 10. Phần ảo của số phức A. Câu 11. Tìm A. Câu 12. Cho A. Câu 13. Cho số phức A. C. Mô đun của Câu 14. Cho số phức A. Câu 15. Cho số phức A. C. Câu 16. Cho số phức A. Câu 17. Cho số phức z thỏa mản A. Câu 18. Tính A. Câu 19. Trên tập số phức, tính A. Câu 20. Tổng A. Câu 21. Phần thực và phần ảo của số phức A. Câu 22. Số phức A. -6. B. Câu 23. Cho số phức A. Câu 24. Phần thực của số phức A. -6. B. -3. C. 2. D. -1. Câu 25. Cho số phức A. Tiết 4, 5, 6 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC A. Kiến thức cơ bản. Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau: Giả sử z = x+yi (x, y Î R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M. B. Kĩ năng cơ bản. Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: + Số phức z = a + bi (a, b + Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo + Số phức z = a + bi (a, b Ta có: Nếu k C. Bài tập luyện tập. Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết: a) Điểm biểu diễn số phức b) Điểm biểu diễn số phức c) Cho số phức d) Điểm biểu diễn của số phức e) Cho số phức f) Cho số phức g) Điểm biểu diễn số phức h) Trong mặt phẳng 0xy, điểm biểu diễn của số phức Điểm biểu diễn của số phức
Bài 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.
a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3) Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1) b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi P(3;4 z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi Q(1;-2).
Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i Þ A biểu diễn số −i. Dễ thấy điểm E có tọa độ C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức F biểu diễn số phức
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) z2 là số thực âm b) z2 là số ảo c) z2 = ( Giải: a) z2 là số thực âm Û z là số ảo. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên trục ảo (Oy), trừ điểm O b) Gọi z = a + bi Þ z2 = a2 – b2 + 2abi là số ảo Û a2 – b2 = 0 Û b = ±a. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên hai đường phân giác của các gốc tọa độ. c) z2 = ( Û d) Û x = 0 và y ≠ 1. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn nằm trên trục Oy (trừ điểm có tung độ bằng 1).
Giải: Đặt z = x +yi (x, y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: Đặt z = x +yi (x, y Î R) Þ z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i. Khi đó (1) Û Û (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Þ Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2. b) Xét hệ thức Û (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 Û 4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0. Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là đường trung trực của đoạn AB. c) Xét hệ thức: Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F1 (0;4) và F2 =(0;-4). Do đó: Ta có F1F2 = 8 Þ Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F1 và F2 và có độ dài trục lớn bằng 10. Phương trình của (E) là:
Bài 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho Giải Đặt z= x+ yi (x, y u là số thuần ảo khi và chỉ khi Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính
Giải: Đặt z= x+ yi (x,y Ta có: Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình
Bài 8: (Vận dụng)Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y). Ta có Hay Do đó
Bài 9: (Vận dụng) Biết rằng số phức z thỏa mãn Giải Đặt z= x+ yi (x, y Ta có: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất
Bài 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Giải Gọi Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy Gọi d là đường thẳng đi qua O và I Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C) Ta thấy D. Bài tập TNKQ. Câu 1. ( Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Cho số phức A. Giải : Câu 2. (Vận dụng)Cho số phức Hướng dẫn giải Giả sử Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức Câu 3. Điểm biểu diễn hình học của số phức A. Câu 4. Gọi A. Hai điểm B. Hai điểm C. Hai điểm D. Hai điểm Câu 5. Gọi A. Hai điểm B. Hai điểm C. Hai điểm D. Hai điểm Câu 6. Điểm M biểu diễn số phức A. Câu 7. Trong mặt phẳng phức, gọi A. Câu 8. Gọi A. Câu 9. Gọi A. đường thẳng có phương trình B. là đường tròn có phương trình C. là đường tròn có phương trình D. là đường tròn có phương trình Câu 10. Biết A. C. Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ A. Đường tròn có tâm B. Đường tròn có tâm C. Đường tròn có tâm D. Đường tròn có tâm Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ A. Đường thẳng có phương trình B. Đường thẳng có phương trình C. Đường thẳng có phương trình D. Đường thẳng có phương trình Câu 13. Gọi A. là hình vuông. B. là hình thoi. C. là hình chữ nhật. D. là hình bình hành. Câu 14. Gọi A. Tam giác C. Tam giác Câu 15. Tập hợp các điểm A. C. Câu 16. Cho thỏa mãn A. C. Hướng dẫn giải Đặt Lại có Gọi Khi đó Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó Thử Câu 17. Số phức
A. B. C. Hướng dẫn giải Gọi Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức Ta có Do Câu 18. Trong các số phức A. Không tồn tại số phức C. Hướng dẫn giải. Cách 1: Đặt Suy ra biểu diễn hình học của số phức
Vậy Cách 2: Đặt Câu 19. Tính A. Hướng dẫn giải Ta có Cách khác: Đặt Mặt khác: Thay Câu 20. Cho số phức A. Hướng dẫn giải Đặt Đặt Vậy Tiết 7, 8, 9 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A. Kiến thức cơ bản. Phương trình bậc hai với hệ số thực Az2 + Bz + C = 0 (*) ( A · · · Chú ý: Nếu z0 Î C là một nghiệm của (*) thì B. Kĩ năng cơ bản. Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực. Biết giải phương trình qui về phương trình bậc hai với hệ số thực. C. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau : a) iz + 2 – i = 0 b) (2 + 3i)z = z – 1 c) (2 – i) d) (iz – 1)(z + 3i)( Giải: a) z = c) e) z = ±2i.
Giải: Phương trình có nghiệm: Phương trình có nghiệm: Phương trình trở thành: Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1,
Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + 5 = 0 Ta có: D = -4 = 4i2 Þ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i. b) Ta có: D = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i là một căn bậc hai của số phức 2i Þ Phương trình có hai nghiệm là: z1 =
Bài 4: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình Giải: Ta có Vậy
Bài 5: Cho
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn Giải: Với Với
Bài 7: Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. Giải: Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0 Û b + c + (2 + b)i = 0 Û b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2
Bài 8: Giải phương trình trên tập hợp các số phức: Giải Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với Phương trình có biệt thức Phương trình có hai nghiệm là: * Phương trình quy về bậc hai
Bài 9: Giải các phương trình: z3 – 27 = 0 Giải: z3 – 27 = 0 Û (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0 Û Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Bài 10: Giải phương trình trên tập hợp số phức: Giải: Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2 Phương trình đã cho tương đương với Giải ra ta được bốn nghiệm:
Bài 11: (Đặt ẩn phụ) Giải phương trình sau trên tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0 Giải: Đặt t = z2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng: t2 + 4t – 12 = 0 Û Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 12: Giải phương trình: Giải: PT Đặt Đặt Vậy phương trình có các nghiệm:
Bài 13:Gọi số phức tính tổng: Giải: PT: Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là Thay và biểu thức ta có: D. Bài tập TNKQ. Câu 1. Trong A. Câu 2. Trong A. Câu 3. Cho số phức A. 4. B. Câu 4. Trong A. Câu 5. Trong A. Câu 6. Cho số phức thỏa mãn A. Câu 7. Trong A. C. Câu 8. Gọi A. Câu 9. Gọi A. 6. B. 8. C. 10. D. Câu 10. Gọi A. Câu 11. Gọi A. Câu 12. Nghiệm của phương trình A. Câu 13. Cho số phức A. C. Câu 14. Trong A. Câu 15. Trong A. Câu 16. Trong A. 0. B. 1. C. Câu 17. Tìm số phức A. C. Câu 18. Phương trình A. Câu 19. Các căn bậc hai của số phức A. Câu 20. Phương trình A. Câu 21. Phương trình A. C. Câu 22. Phương trình A. Câu 23. Các căn bậc hai của số phức A. Câu 24. Phương trình A. Câu 25. Phương trình A. C. Tiết 10, 11, 12 LUYỆN TẬP – KIỂM TRA CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM- LUYỆN TẬP Câu 1: Tìm số phức z –1 biết rằng
Câu 2 : Tìm số phức z + 2 biết
Câu 3:Cho số phức
Câu 4:Tìm phần thực a và phần ảo b của các số phức
Câu 5:Tìm phần thực a và phần ảo b của các số phức
Câu 6: Tìm phần ảo a của số phức z, biết
Câu 7:Cho số phức z thỏa mãn
Câu 8:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:
Câu 9:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện çz – (3 – 4i)ç= 2 là:
Câu 11 : Tìm số phức z thỏa mãn phương trình:
Câu 12:Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình
Câu 13:Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn hai điều kiện |z + i – 1 | =
Câu 14:Tìm tất cả các số phức z thoả mãn :
Câu 15: Tìm số phức z = x + yi, biết rằng hai số thực x, y thỏa mãn phương trình phức sau: x(2 – 3i) + y(1 + 2i)3 = (2 – i)2
Câu 16:Trên tập số phức, tìm x biết : 5 – 2ix = (3 + 4i) (1 – 3i)
Câu 17:Trên tập số phức, tìm x biết: (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i)
Câu 18:Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z2 – z + 5 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 + |z1+ z2|2.
Câu 19:Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức (khác số thực) của phương trình z3 + 8 = 0. Tính giá trị biểu thức: A =
Câu 20: Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức M = ½z1½2 + ½z2½2.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
KIỂM TRA 1 TIẾT: Chuyên đề số phức I. MỤC TIÊU Kiểm tra mức độ đạt chuẩn KTKN trong chương trình môn Toán lớp 12 sau khi học xong chương số phức. 1. Kiến thức. Củng cố định nghĩa số phức. Phần thực, phần ảo, môđun của số phức. Số phức liên hợp. Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ. 2. Kĩ năng. Tìm được phần thực, phần ảo, môđun của số phức. Điểm biểu diện của số phức Thực hiện được các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức. Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức 3. Thái độ. Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Độc lập khi làm bài kiểm tra II. HÌNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA Hình thức kiểm tra: TNKQ. Học sinh làm bài trên lớp. III. MA TRẬN ĐỀ
IV. CÁC CHUẨN ĐÁNH GIÁ
V. ĐỀ KIỂM TRA Câu 1: Số phức z = 3 - 4i có phần thực bằng? A. 3 B. -3 C. -4 D. 4i Câu 2: Số phức z = 2 + 3i được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ là: A. (2;-3) B. (2;3) C. (2 ; 3i) D.(2 ; i) Câu 3: Số phức liên hợp của số phức z = a + bi A. Câu 4: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn tô đậm trong hình vẽ. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức A. đường tròn tâm I(1;2), bán kính R=2 B. đường tròn tâm I(2;2), bán kính R=2 C. đường tròn tâm I(-3;-2), bán kính R=2 D. đường tròn tâm I(2;-2), bán kính R=2 Câu 5: Cho số phức z = 3 + 4i, khi đó A. 5 B. -5 C. 25 D. 3 Câu 6: Điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b Î R, nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. x = 3 B. y = 3 C. y = x D. y = x + 3 Câu 7: Điểm biểu diễn của các số phức z = a + ai với a Î R, nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y = x B. y = 2x C. y = 3x D. y = 4x Câu 8: Cho số phức z = a + bi ; A. a + b = 4 B. a2 + b2 > 4 C. a2 + b2 = 4 D. a2 + b2 < 4 Câu 9: Cho số phức z = a + bi A. a B. -2a C. 2b D. 2a Câu 10: Cho số phức z = a + bi A. a2 B. b2 C. a2 + b2 D. a2 . b2 Câu 11: Thu gọn z = i(2 - i)(3 + i) ta được: A. z = 2 + 5i B. z = 1 + 7i C. z = 6 D. z = 5i Câu 12: Nếu z = 2 - 3i thì z3 bằng: A. -46 - 9i B. 46 + 9i C. 54 - 27i D. 27 + 24i Câu 13: Số phức z = A. Câu 14: Cho số phức z = A. Câu 15: Cho số phức z = x + yi ¹ 1. (x, y Î R). Phần ảo của số A. Câu 16: Căn bậc hai của -5 là: A. Câu 17: Căn bậc hai của số thực a âm là: A. Câu 18: Cho phương trình bậc hai A. Câu 19: Trong A. Câu 20: Trong C, phương trình z2 + 4 = 0 có nghiệm là: A. Câu 21: Trong C, phương trình A. z = 2 - i B. z = 3 + 2i C. z = 5 - 3i D. z = 1 + 2i Câu 22: Gọi A. 6 B. 5 C.4 D.7 Câu 23: Gọi A. 2 B. -7 C. 8 D. 4 Câu 24: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn A. Câu 25: Gọi A. VI. ĐÁP ÁN Mỗi câu 04, điểm
--------------------Hết ------------------------- Page 4
ch¬ng 2 - hµm sè luü thõa, hµm sè mò vµ hµm sè l«garit I. luü thõa §Þnh nghÜa 1: (Luü thõa víi sè mò nguyªn): Víi a ¹ 0, n = 0 hoÆc n lµ mét sè nguyªn ©m, luü thõa bËc n cña a lµ sè an x¸c ®Þnh bëi: a0 = 1, an = §Þnh nghÜa 2: (C¨n bËc n): Víi n nguyªn d¬ng c¨n bËc n cña sè thùc a lµ sè thùc b (nÕu cã) sao cho bn = a. Ta thõa nhËn hai kh¼ng ®Þnh sau ®©y: § Khi n lµ sè lÎ, mçi sè thùc a chØ cã mét c¨n bËc n, kÝ hiÖu § Khi n lµ sè ch½n, mçi sè thùc d¬ng a cã ®óng hai c¨n bËc n lµ hai sè ®èi nhau. C¨n cã gi¸ trÞ d¬ng kÝ hiÖu lµ §Þnh nghÜa 3: (Luü thõa víi sè mò h÷u tØ): Cho a lµ sè thùc d¬ng vµ r lµ mét sè h÷u tØ. Gi¶ sö r = ar = Tõ ®ã TÝnh chÊt cña luü thõa: Víi a > 0, b > 0, ta cã:
§Þnh lÝ 1: Cho m, n lµ nh÷ng sè nguyªn. Khi ®ã: 1. Víi a > 1 th× am > an khi vµ chØ khi m > n. 2. Víi 0 < a < 1 th× am > an khi vµ chØ khi m < n. II. l«garit §Þnh nghÜa1: Cho 0 < a ¹ 1, b > 0, ta ®Þnh nghÜa a = logab Û b = aa, a = lgb Û b = 10a, a = lnb Û b = ea, tõ ®Þnh nghÜa ta ®îc: loga1 = 0, logaaa = a; logaab = b, víi mäi b; So s¸nh hai l«garit cïng c¬ sè §Þnh lÝ 1: Cho c¸c sè d¬ng b vµ c. (1). Khi a > 1 th× logab > logac Û b > c. HÖ qu¶: Khi a > 1 th× logab > 0 Û b > 1. (2). Khi 0 < a < 1 th× logab > logac Û b < c. HÖ qu¶: Khi 0 < a < 1 th× logab > 0 Û b < 1. (3). logab = logac Û b = c. C¸c quy t¾c tÝnh l«garit §Þnh lÝ 2: Víi a d¬ng kh¸c 1 vµ c¸c sè d¬ng b, c, ta cã: (1). logab + logac = loga(bc), Trêng hîp chØ cã bc > 0 th× loga(xy) = loga½b½ + loga½c½. (2). logab - logac = loga trêng hîp chØ cã bc > 0 th× loga (3). logaba = alogab, Trêng hîp b Î HÖ qu¶: Víi n nguyªn d¬ng th× loga §æi c¬ sè cña l«garit §Þnh lÝ 3: Víi a, b d¬ng kh¸c 1 vµ sè d¬ng c, ta cã: logbc = HÖ qu¶: Ta cã: § Víi a, b d¬ng kh¸c 1 th× logab = § Víi a d¬ng kh¸c 1, c lµ sè d¬ng vµ a ¹ 0, ta cã Trêng hîp a Î III. Hµm sè mò §Þnh nghÜa: Hµm sè mò c¬ sè a (0 < a ¹ 1) cã d¹ng y = ax. §¹o hµm cña hµm sè mò: Ta ghi nhËn c¸c kÕt qu¶ sau: a. b. Víi mäi x Î c. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm trªn J th× víi mäi x Î J, ta cã (eu)' = u'.eu vµ (au) = u'.au.lna. XÐt hµm sè y = ax, 0 < a ¹ 1, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. Liªn tôc trªn 2. Sù biÕn thiªn: Hµm sè ®¬n ®iÖu víi mäi x. § Víi a > 1 th× § Víi 0 < a < 1 th× 3. §å thÞ cña hµm sè cã 2 d¹ng vµ: § Lu«n c¾t trôc Oy t¹i A(0; 1). § N»m ë phÝa trªn trôc hoµnh. § NhËn trôc hoµnh lµm tiÖm c©n ngang. IV. Hµm sè l«garit §Þnh nghÜa: Hµm sè logarit c¬ sè a (0 < a ¹ 1) cã d¹ng y = logax. §¹o hµm cña hµm sè mò: Ta ghi nhËn c¸c kÕt qu¶ sau: a. b. Víi mäi x Î (0; +¥), ta cã (lnx)' = c. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm trªn J th× víi mäi x Î J, ta cã (lnu)' = XÐt hµm sè y = logax, víi 0 < a ¹ 1, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. Hµm sè liªn tôc trªn D = (0, + ¥) vµ tËp gi¸ trÞ I = 2. Sù biÕn thiªn: Hµm sè ®¬n ®iÖu víi mäi x. § Víi a > 1 th× logax1 > logax2 Û x1 > x2, tøc lµ hµm sè ®ång biÕn. § Víi 0 < a < 1 th× logax1 > logax2 Û x1 < x2, tøc lµ hµm sè nghÞch biÕn. 3. §å thÞ cña hµm sè cã 2 d¹ng vµ: § Lu«n c¾t trôc Oy t¹i A(1; 0). § N»m ë bªn ph¶i trôc tung. § NhËn trôc tung lµm tiÖm c©n ®øng. V. Hµm sè luü thõa §Þnh nghÜa: Hµm sè lòy thõa lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc y = xa, víi a lµ h»ng sè tïy ý. TËp x¸c ®Þnh lµ (0; +¥), trõ c¸c trêng hîp sau: § NÕu a nguyªn d¬ng th× hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ § NÕu a nguyªn ©m hoÆc a = 0 th× hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ §¹o hµm cña hµm sè lòy thõa: Ta ghi nhËn c¸c kÕt qu¶ sau: a. Hµm sè y = xa cã cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x > 0 vµ: (xa)' = a.xa - 1. b. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm vµ u(x) > 0 trªn J th×: (ua)' = a.u'.ua - 1, víi mäi x Î J. F Chó ý: 1. Víi n lµ sè nguyªn tïy ý, ta cã (xn)' = n.xn - 1 víi mäi x ¹ 0; vµ nÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm vµ u(x) ¹ 0 trªn J th× (un)' = n.u'.un - 1, víi mäi x Î J. 2. Ta cã: ( víi mäi x > 0 nÕu n ch½n, víi mäi x ¹ 0 nÕu n lÎ. 3. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm trªn J vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn u(x) > 0 víi mäi x thuéc J khi n ch½n, u(x) ¹ 0 víi mäi x thuéc J khi n lÎ th×: ( VI. C¸c d¹ng c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit 1. Ph¬ng tr×nh mò c¬ b¶n cã d¹ng ax = m, trong ®ã a > 0 vµ m lµ sè ®· cho. Khi ®ã: § NÕu m £ 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. § NÕu m > 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = logam. Ta cã c¸c kÕt qu¶: af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x). Víi a > 1 th× af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x). Víi 0 < a < 1 th× af(x) > ag(x) Û f(x) < g(x). 2. Ph¬ng tr×nh l«garit c¬ b¶n cã d¹ng logax = m, trong ®ã m lµ sè ®· cho. Ta ph¶i cã ®iÒu kiÖn x > 0 vµ 0 < a ¹ 1. Víi mäi m ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm duy nhÊt x = am. Ta cã c¸c kÕt qu¶: logaf(x) = logag(x) Û f(x) = g(x) > 0. Víi a > 1 th× logaf(x) > logag(x) Û f(x) > g(x) > 0. Víi 0 < a < 1 th× logaf(x) > logag(x) Û 0 < f(x) < g(x). mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garita. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ cïng c¬ sè b. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô c. Ph¬ng ph¸p l«garit hãa: Ta cã thÓ gi¶i mét ph¬ng tr×nh cã hai vÕ lu«n d¬ng b»ng c¸ch lÊy l«garit hai vÕ theo cïng mét c¬ sè thÝch hîp. d. Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt ®ång biÕn hay nghÞch biÕn cña hµm sè §1. hµm sè mò vµ hµm sè l«garit D¹ng to¸n 1: Giíi h¹n cña hµm sè mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p Chóng ta cã c¸c d¹ng giíi h¹n ®Æc biÖt sau:
F Më réng:: Ta cã: F Quy t¾c L«pitan: NÕu f(x), g(x) kh¶ vi ë l©n cËn x0 trõ t¹i ®iÓm x0, th×: ®ång thêi: Quy t¾c vÉn ®óng víi x® ¥. ThÝ dô 1. T×m c¸c giíi h¹n sau: a. ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi: b. Ta biÕn ®æi: = 2 - 3 = -1. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn: § ë c©u a), ®Ó lµm xuÊt hiÖn d¹ng giíi h¹n § ë c©u b), chóng ta t¸ch giíi h¹n ban ®Çu thµnh hai giíi h¹n c¬ b¶n b»ng viÖc thªm bít 1. § Víi quy t¾c L«pitan, ta cã: ThÝ dô 2. T×m c¸c giíi h¹n sau: a. ? Gi¶i a. Ta cã: b. Ta cã: ThÝ dô 3. T×m giíi h¹n ? Gi¶i Ta biÕn ®æi: = ThÝ dô 4. T×m c¸c giíi h¹n sau: a. ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi: b. Ta biÕn ®æi: ThÝ dô 5. T×m c¸c giíi h¹n sau: a. ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi: = b. Ta biÕn ®æi: = D¹ng to¸n 2: TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè mò vµ l«garit ThÝ dô 1. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè: ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn: VËy, ta ®îc tËp x¸c ®Þnh D = (-1; +∞)\{0}. b. §iÒu kiÖn: VËy, ta ®îc tËp x¸c ®Þnh D = (1; +∞). ThÝ dô 2. T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = lg ? Gi¶i Hµm sè g(x) = 21 - x - 2x + 1 nghÞch biÕn, cã g(1) = 0, nªn: § g(x) > 0 Û g(x) > g(1) Û x < 1. § g(x) < 0 Û g(x) < g(1) Û x > 1. Hµm sè cã nghÜa khi: VËy, ta ®îc tËp x¸c ®Þnh D = (0; 1). D¹ng to¸n 3: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p Ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Kh¼ng ®Þnh r»ng hµm sè x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm x0, tÝnh f(x0). Bíc 2: X¸c ®Þnh Bíc 3: KiÓm nghiÖm f(x0) = Bíc 4: KÕt luËn. ThÝ dô 1. X¸c ®Þnh a ®Ó hµm sè sau liªn tôc trªn f(x) = ? Gi¶i §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ nã liªn tôc trªn f(0) = Ta cã: f(0) = a - 1. Khi ®ã, ®iÒu kiÖn (*) trë thµnh: a = 1 = 0 Û a = 1. VËy, víi a = 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. D¹ng to¸n 4: TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè luü thõa, mò, l«garit vµ hµm sè hîp cña chóng Ph¬ng ph¸p Sö dông c¸c kÕt qu¶ trong phÇn kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn nhí. ThÝ dô 1. Chøng minh r»ng hµm sè y = ln ? Gi¶i Tríc tiªn, ta cã: y = ln Khi ®ã: xy' + 1 = - ThÝ dô 2. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau: a. ? Gi¶i a. Ta cã: b. Ta cã: D¹ng to¸n 5: øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè mò vµ l«garit. C¸c bµi to¸n liªn quan ThÝ dô 3. Cho hµm sè (Cm): y = xemx. 1. Víi m = -2: a. T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m vµ cùc trÞ cña hµm sè (C). b. BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh xe-2x = a. c. T×m b ®Ó ph¬ng tr×nh sinx.e-2sinx = b cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt thuéc kho¶ng [0; p]. d. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm cã hßanh ®é x = 1. 2. T×m m ®Ó: a. Hµm sè ®ång biÕn trªn c. Hµm sè cã cùc tiÓu. ? Gi¶i 1. Víi m = -2 hµm sè cã d¹ng (C): y = xe-2x. a. Ta lÇn lît cã: (1). Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = (2). Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc § B¶ng biÕn thiªn: y' = e-2x - 2xe-2x = e-2x(1 - 2x), y' = 0 Û e-2x(1 - 2x) = 0 Û x =
KÕt luËn: § Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng § §å thÞ hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm b. Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh xe-2x = a lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) víi ®êng th¼ng y = a. Ta cã: § Víi a ≤ 0, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. § Víi 0 < a < § Víi a = § Víi a > c. §Æt t = sinx, 0 £ t £ 1, ph¬ng tr×nh cã d¹ng te-2t = b. (1) d. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm cã hßanh ®é x = 1 lµ: (d): y - y(1) = y’(1)(x - 1) Û (d): y = - 2. Tríc tiªn, ta cã: (1). Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = (2). §¹o hµm: y' = emx + mxemx = emx(1 + mx), y' = 0 Û emx(1 + mx) = 0 Û mx + 1 = 0. (2) a. Hµm sè ®ång biÕn trªn y' ≥ 0 víi mäi xÎ b. Hµm sè cã cùc trÞ khi: Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt Û m ¹ 0. c. Hµm sè cã cùc tiÓu khi (1) cã nghiÖm duy nhÊt vµ qua ®ã y' ®æi dÊu tõ - sang +, tøc m > 0. §2. Ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit D¹ng to¸n 1: Ph¬ng ph¸p ®a vÒ cïng c¬ sè gi¶i ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh: af(x) = ag(x) Û logaf(x) = logag(x) Û Chó ý: ViÖc lùa chän ®iÒu kiÖn f(x) > 0 hoÆc g(x) > 0 tuú thuéc vµo ®é phøc t¹p cña f(x) vµ g(x). D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh: af(x) = b Û ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: Û 3x3 - 14x2 + 5x + 2 = 0 Û (3x - 2)(x2 - 4x - 1) = 0 Û x = VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm ph©n biÖt x = b. V× 0,125 = 2-3.22(2x - 3) = Û 8x - 18 = 5x Û 3x = 18 Û x = 6. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 6. F NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn: § Víi ph¬ng tr×nh af(x) = bg(x) ta cÇn chän phÇn tö trung gian c ®Ó biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (ca)f(x) = (cb)g(x) Û caf(x) = cbg(x) Û af(x) = bg(x), § Víi ph¬ng tr×nh ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta sö dông kÕt qu¶ “NÕu a, b, c, d nguyªn vµ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tû (3x - 2)(x2 - 2x - 2) = 0. ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. log2(3x + 2) = log2(x3 - 4x2 + 2x + 6). b. log3x - log9x = ? Gi¶i a. Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: 3x + 2 = x3 - 4x2 + 2x + 6 > 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 1, x = 4. b. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: log3x - VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = c. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 4. F NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn ë c©u a), chóng ta ®· sö dông kÕt qu¶ trong chó ý ë cuèi d¹ng 1 ®Ó tr¸nh ph¶i kiÓm tra ®iÒu kiÖn x3 - 4x2 + 2x + 6 > 0. ThÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 6x - 3x - 2x + 1 + 2 = 0. b. log4{2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = ? Gi¶i a. Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: (2.3)x - 3x - 2.2x + 2 = 0 Û 3x(2x - 1) - 2(2x - 1) = 0 Û (2x - 1)(3x - 2) = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0, x = log32. b. Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: 2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = 2 Û log3[1 + log2(1 + 3log2x)] = 1 Û 1 + log2(1 + 3log2x) = 3 Û log2(1 + 3log2x) = 2 Û 1 + 3log2x = 4 Û log2x = 1 Û x = 2. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. F NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn: § ë c©u a), chóng ta ®· sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö ®Ó chuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. Vµ tõ ®ã, nhËn ®îc hai ph¬ng tr×nh mò d¹ng 2. § ë c©u b), chóng ta ®· sö dông ph¬ng ph¸p biÕn ®æi dÇn ®Ó lo¹i bá ®îc l«garit. C¸ch thùc hiÖn nµy gióp chóng ta tr¸nh ®îc ph¶i ®Æt ®iÓu kiÖn cã nghÜa cho ph¬ng tr×nh. D¹ng to¸n 2: Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô gi¶i ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p Ph¬ng ph¸p dïng Èn phô lµ viÖc sö dông mét (hoÆc nhiÒu) Èn phô ®Ó chuyÓn ph¬ng tr×nh ban ®Çu thµnh mét ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh víi mét (hoÆc nhiÒu) Èn phô. 1. C¸c phÐp ®Æt Èn phô thêng gÆp sau ®èi víi ph¬ng tr×nh mò: D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh akakx + ak - 1a(k - 1)x...a1ax + a0 = 0, khi ®ã ®Æt t = ax, ®iÒu kiÖn t > 0, ta ®îc: aktk + ak - 1tk - 1...a1t + a0 = 0. Më réng: NÕu ®Æt t = af(x), ®iÒu kiÖn hÑp t > 0. Khi ®ã: a2f(x) = t2, a3f(x) = t3, ..., akf(x) = tk vµ a-f(x) = D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh a1ax + a2bx + a3 = 0, víi a.b = 1 khi ®ã ®Æt t = ax, ®iÒu kiÖn t > 0, suy ra bx = a1t + Më réng: Víi a.b = 1 th× khi ®Æt t = af(x), ®iÒu kiÖn hÑp t > 0, suy ra bf(x) = D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh a1a2x + a2(ab)x + a3b2x = 0, khi ®ã chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho b2x > 0 (hoÆc a2x, (a.b)x), ta ®îc: a1 §Æt t = Më réng: Víi ph¬ng tr×nh mò cã chøa c¸c nh©n tö a2f, b2f, (a.b)f , ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: - Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho b2f > 0 (hoÆc a2f, (a.b)f). - §Æt t = F Chó ý: Ta sö dông ng«n tõ ®iÒu kiÖn hÑp t > 0 cho trêng hîp ®Æt t = af(x) v×: § NÕu ®Æt t = ax th× t > 0 lµ ®iÒu kiÖn ®óng. § NÕu ®Æt t = 2. C¸c phÐp ®Æt Èn phô thêng gÆp sau ®èi víi ph¬ng tr×nh l«garit: D¹ng 1: NÕu ®Æt t = logax víi x > 0 th× D¹ng 2: Ta biÕt r»ng Tuy nhiªn, trong nhiÒu bµi to¸n cã chøa ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 4x + 3.2x + 1 - 16 = 0. b. ? Gi¶i a. §Æt t = 2x (®iÒu kiÖn t > 0). Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: 22x + 6.2x - 16 = 0 Û t2 + 6t - 16 = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1. b. NhËn xÐt r»ng: Do ®ã, nÕu ®Æt t = Khi ®ã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi: t + Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = ±2. F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thÝ dô trªn chóng ta ®· ®îc lµm quen víi hai d¹ng ®Æt Èn phô c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh mò. Vµ ë ®ã: § Víi c©u a) chóng ta cÇn tíi phÐp biÕn ®æi 4x = 22x vµ 2x + 1 = 2.2x ®Ó ®Þnh híng cho Èn phô t = 2x. § Víi c©u b) c¸c em häc sinh cÇn biÕt c¸ch më réng ph¬ng ph¸p cho d¹ng ph¬ng tr×nh: a1ax + a2bx + a3cx = 0, víi a.b = c2. Råi thùc tËp b»ng c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh: (3 + ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 3x + 1 + 18.3-x = 29. b. 5.4x - 2.6x = 32x + 1. ? Gi¶i a. §Æt t = 3x, ®iÒu kiÖn t > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 3.3x + 18. Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 2 hoÆc x = log32 - 1. b. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: 5.22x - 2.(2.3)x = 3.32x. Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho 32z > 0, ta ®îc: §Æt t = 5t2 - 2t - 3 = 0 VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0. ThÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (3log3x)2 - 20. §Æt t = log3x, ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 9t2 -10t + 1 = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 3 hoÆc x = b. §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 3log9x3 - log3x3 + Û §Æt t = log33x, ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 3-0,8 hoÆc x = 3-3. F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thÝ dô trªn chóng ta ®· ®îc lµm quen víi d¹ng ®Æt Èn phô c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh l«garit. Vµ ë ®ã: § Víi c©u a), c¸c em häc sinh dÔ nhËn thÊy Èn phô t = log3x. Tuy nhiªn, rÊt nhiÒu em biÕn ®æi nhÇm § Víi c©u b), chóng ta cÇn sö dông c«ng thøc ®æi c¬ sè ®Ó lµm xuÊt hiÖn Èn phô. ThÝ dô 4. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: §Æt t = log2x, ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 2 hoÆc x = b. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: §Æt t = log3x, ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: §Æt u3 + u - 2 = 0 Û (u - 1)(u2 + u + 2) = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 1. F NhËn xÐt: Víi c©u b) c¸c em häc sinh cã thÓ gi¶m bít mét lÇn ®Æt Èn phô b»ng c¸ch chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) cho ThÝ dô 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh lg2x - lgx.log2(4x) + 2log2x = 0. ? Gi¶i §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: lg2x - (2 + log2x)lgx + 2log2x = 0. §Æt t = lgx, khi ®ã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi: t2 - (2 + log2x).t + 2log2x = 0 ta cã: D = (2 + log2x)2 - 8log2x = (2 - log2x)2 suy ra ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 100 vµ x = 1. F Chó ý: Mét më réng kh¸ tù nhiªn cña ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô kiÓu nµy lµ chóng ta cã thÓ sö dông ngay c¸c h»ng sè hoÆc c¸c tham sè trong ph¬ng tr×nh ®Ó lµm Èn phô, ph¬ng ph¸p nµy cã tªn gäi lµ "Ph¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn". D¹ng to¸n 3: Ph¬ng ph¸p l«garit hãa gi¶i ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p Ta cã thÓ gi¶i mét ph¬ng tr×nh cã hai vÕ lu«n d¬ng b»ng c¸ch lÊy l«garit hai vÕ theo cïng mét c¬ sè thÝch hîp. Cô thÓ: af(x) = bg(x) Û logaaf(x) = logabg(x) Û f(x) = g(x).loga b hoÆc logbaf(x) = logbbg(x) Û f(x).logba = g(x). hoÆc logcaf(x) = logcbg(x) Û f(x).logca = g(x).logcb. F Chó ý: Ph¬ng ph¸p logarit ho¸ tá ra rÊt hiÖu lùc khi hai vÕ ph¬ng tr×nh cã d¹ng tÝch c¸c luü thõa. ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. Ta tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: LÊy logarit c¬ sè 3 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = C¸ch 2: LÊy logarit c¬ sè 2 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = C¸ch 3: LÊy logarit c¬ sè 10 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: lg VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = b. §iÒu kiÖn x ¹ 0. Tíi ®©y, ta tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: LÊy logarit c¬ sè 5 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: Û Û ta cã D = x = VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 3, x = -log52. C¸ch 2: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 5x. LÊy logarit c¬ sè 2 hai vÕ, ta ®îc: Û (x - 3)(log25 + VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 3, x = -log52. F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thÝ dô trªn chóng ta ®· ®îc lµm quen víi ph¬ng ph¸p l«garit hãa. Vµ ë ®ã: § Víi c©u a) ®· tr×nh bµy c¸c c¸ch lÊy l«garit hãa hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh. § Víi c©u b) c¸c em häc sinh sÏ nhËn thÊy tÝnh linh ho¹t trong viÖc sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè tríc khi thùc hiÖn phÐp l«garit hãa hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh ®Ó gi¶m thiÓu tÝnh phøc t¹p. ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x > 0. LÊy l«garit c¬ sè 3 c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: log3 VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 3-1. b. §iÒu kiÖn 0 < x ¹ 1. LÊy l«garit c¬ sè 5 c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: log5(x6. Û 6log5x - logx5 = -5 . §Æt t = log5x, ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 6t - VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 5-1 hoÆc x = D¹ng to¸n 4: Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt cña hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p Ta sö dông c¸c tÝnh chÊt sau: TÝnh chÊt 1. NÕu hµm f t¨ng (hoÆc gi¶m) trong kho¶ng (a, b) th× ph¬ng tr×nh f(x) = k cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm trong kho¶ng (a, b). Ph¬ng ph¸p ¸p dông: ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = k. Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x). Dïng lËp luËn kh¼ng ®Þnh hµm sè lµ ®¬n ®iÖu ( gi¶ sö ®ång biÕn). Bíc 3: NhËn xÐt: § Víi x = x0 Û f(x) = f(x0) = k, do ®ã x = x0 lµ nghiÖm § Víi x > x0 Û f(x) > f(x0) Û f(x) > k, do ®ã ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. § Víi x < x0 Û f(x) < f(x0) Û f(x) < k, do ®ã ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Bíc 4: VËy x = x0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. TÝnh chÊt 2. NÕu hµm f t¨ng trong kho¶ng (a; b) vµ hµm g lµ hµm h»ng hoÆc lµ mét hµm gi¶m trong kho¶ng (a; b) th× ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nhiÒu nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (a; b) (do ®ã nÕu tån t¹i x0Î(a; b): f(x0) = g(x0) th× ®ã lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh f(x) = g(x)). ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 2x + 3x = 5. b. log2(x + 2) + log3(x + 3) = 2. ? Gi¶i a. NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm ®ång biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm h»ng. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng x = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v× 21 + 31 = 5, ®óng. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. b. §iÒu kiÖn x ≥ -2. NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm ®ång biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm h»ng. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng x = 0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v× log22 + log33 = 2, ®óng. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 0. ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: b. 3x = 4 - x. b. log3x = 4 - x. ? Gi¶i a. NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm ®ång biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng x = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v×: 31 = 4 - 1 Û 3 = 3, ®óng. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. b. NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm ®ång biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng x = 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v×: log33 = 4 - 3 Û 1 = 1, ®óng. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3. ThÝ dô 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh 31 - x - log2x - 1 = 0. ? Gi¶i §iÒu kiÖn x > 0. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm ®ång biÕn. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng x = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v×: VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. F Chó ý: 1. §èi víi ph¬ng tr×nh logarit cã mét d¹ng rÊt ®Æc biÖt, ®ã lµ: sax + b = clogs(dx + e) + ax + b víi d = ac + a vµ e = bc + b. (*) Víi d¹ng ph¬ng tr×nh nµy, ta thùc hiÖn nh sau: §iÒu kiÖn: §Æt ay + b = logs(dx + e). Khi ®ã, ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn thµnh hÖ: Trõ theo vÕ hai ph¬ng tr×nh cña (I), ta ®îc: sax + b + acx = say + b + acy. (3) XÐt hµm sè f(t) = sat + b + act lµ hµm ®¬n ®iÖu trªn R. Khi ®ã (3) ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: f(x) = f(y) Û x = y. Khi ®ã (2) cã d¹ng: sax + b - dx - e = 0. (4) Dïng ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó x¸c ®Þnh nghiÖm cña (4). 2. §Ó sö dông ®îc ph¬ng ph¸p trªn cÇn ph¶i khÐo lÐo biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ban ®Çu vÒ d¹ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*). ThÝ dô 4. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6x = 3log 6 (5x + 1) + 2x + 1. ? Gi¶i §iÒu kiÖn: 5x + 1 > 0 Û x > - §Æt y = log6(5x + 1). Khi ®ã, ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn thµnh hÖ: Trõ theo vÕ hai ph¬ng tr×nh cña (I), ta ®îc: 6x + 3x = 6y + 3y. (3) XÐt hµm sè f(t) = 6t + 3t lµ hµm ®¬n ®iÖu trªn R. Khi ®ã (3) ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: f(x) = f(y) Û x = y. Khi ®ã (2) cã d¹ng: 6x - 5x - 1 = 0. (4) C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bernouli (4) Û 6x + (1 - 6)x = 1 VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0 vµ x = 1. C¸ch 2: (Sö dông ®Þnh lý R«n): XÐt hµm sè g(x) = 6x - 5x - 1. § MiÒn x¸c ®Þnh: D = (- § §¹o hµm: g'(x) = 6x.ln6 - 5, g''(x) = 6x.ln26 > 0, "xÎD Þ g'(x) lµ hµm ®ång biÕn trªn D. VËy theo ®Þnh lý R«n ph¬ng tr×nh g(x) = 0 cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm trªn D. NhËn xÐt r»ng g(0) = g(1) = 0. VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0 vµ x = 1. F Chó ý: Ta xÐt d¹ng ph¬ng tr×nh lÆp: f[f(x)] = x, trong ®ã f(x) lµ hµm ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh D. Khi ®ã ta thùc hiÖn: §Æt y = f(x), khi ®ã ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn thµnh hÖ: Céng theo vÕ hai ph¬ng tr×nh cña (I), ta ®îc: f(y) + y = f(x) + x. (3) XÐt hµm sè A(t) = f(t) + t lµ hµm ®ång biÕn trªn D (bëi f(t) lµ hµm ®ång biÕn). Khi ®ã (3) ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: A(x) = A(y) Û x = y. Khi ®ã (1) cã d¹ng: f(x) = x. (4) Dïng ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó x¸c ®Þnh nghiÖm cña (4). VÝ dô sau sÏ minh ho¹ cô thÓ d¹ng ph¬ng tr×nh kiÓu nµy. ThÝ dô 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh log2[3log2(3x - 1) - 1] = x. ? Gi¶i §iÒu kiÖn §Æt y = log2(3x - 1). Khi ®ã, ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn thµnh hÖ: Céng theo vÕ hai ph¬ng tr×nh cña (I), ta ®îc: log2(3y - 1) + y = log2(3x - 1) + x. (3) XÐt hµm sè f(t) = log2(3t - 1) + t, ta cã: § MiÒn x¸c ®Þnh D = ( § §¹o hµm: f'(t) = Suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn D. Khi ®ã (3) ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: f(x) = f(y) Û x = y. Khi ®ã (1) cã d¹ng: log2(3x - 1) = x Û 3x - 1 = 2x Û 2x - 3x + 1 = 0. (4) XÐt hµm sè g(x) = 2x - 3x + 1, ta cã: § MiÒn x¸c ®Þnh: D = ( § §¹o hµm: g'(x) = 2x.ln2 - 3, g''(x) = 2x.ln22 > 0, "x Î D Þ g'(x) lµ hµm ®ång biÕn trªn D. VËy theo ®Þnh lý R«n ph¬ng tr×nh g(x) = 0 cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm trªn D. NhËn xÐt r»ng g(1) = g(3) = 0. VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 3. §3. HÖ ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Khi gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit, ta còng dïng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®· häc nh ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè, ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô, ... D¹ng to¸n 1: Ph¬ng ph¸p thÕ ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: a. (§HKT - 1999): ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x, y > 0. (*) ThÕ ph¬ng tr×nh thø hai vµo ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ, ta ®îc: Khi ®ã: § Víi x = 1 suy ra y = 1-3 = 1. § Víi x = 2 Þ y = VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã hai cÆp nghiÖm (1; 1) vµ (2; b. §iÒu kiÖn x > 0. ViÕt l¹i hÖ ph¬ng tr×nh díi d¹ng: VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã mét cÆp nghiÖm (1; 3). F NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn: § ë c©u a), chóng ta sö dông ngay phÐp thÕ y = x-3 vµo ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ ®Ó nhËn ®îc mét ph¬ng tr×nh mò d¹ng: [u(x)]f(x) = [u(x)]g(x) Û § ë c©u b), ®Ó têng minh chóng ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸ch: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ vÒ d¹ng: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ vÒ d¹ng: Thay (2) vµo (1), ta ®îc: D¹ng to¸n 2: Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: a. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x > 0, y > 0. BiÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: suy ra x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 - 20t + 36 = 0 Û VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (2; 18) hoÆc (18; 2). b. BiÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: suy ra 4-2x, 4-2y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 - VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = y = F NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn: § ë c©u a), b»ng viÖc sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tæng cña hai logarit cïng c¬ sè (trong ®ã 1 = log44) chóng ta nhËn ®îc d¹ng Vi-Ðt cho hai Èn x, y. Ngoµi ra, còng cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p thÕ nh sau: Rót y = 20 - x tõ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ thay vµo ph¬ng tr×nh thø hai, ta ®îc: log4x + log4(20 - x) = 1 + log49 Û log4[x(20 - x)] = log436 Û x(20 - x) = 36 Û x2 - 20x + 36 = 0 § ë c©u b), chóng ta ®· sö dông phÐp mò ho¸ ®Ó nhËn ®îc tÝch cña hai to¸n tö 4-2x vµ 4-2y, tõ ®ã sö dông hÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Vi-Ðt. §©y chÝnh lµ sù kh¸c biÖt mµ c¸c em häc sinh cÇn lu ý cho hai d¹ng hÖ ph¬ng tr×nh ë a) vµ b). Ngoµi ra, còng cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p thÕ nh sau: Rót y = 1 - x tõ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ thay vµo ph¬ng tr×nh thø hai, ta ®îc: 4-2x + 4-2(1 - x) = 0,5 Û 4-2x + §Æt t = 42x, ®iÒu kiÖn t > 0. Ta ®îc: t-1 + Û 2x = 1 Nh vËy, tõ ®©y c¸c em häc sinh cã thÓ thÊy ®îc tÝnh tèi u cña viÖc sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. Vµ ¸p dông nã ®Ó gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (HVNH Hµ Néi - 1999):: ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: a. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x, y > 0. BiÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (2; 5). b. §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng hÖ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (6; 2). D¹ng to¸n 3: Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. §Æt: Khi ®ã, hÖ (I) ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: VËy, hÖ cã cÆp nghiÖm (-1; 1). b. BiÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: §Æt: Khi ®ã, hÖ cã d¹ng: suy ra u, v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 - 2t - 2 = 0 Û t = 1 ± Û VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm. ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x, y > 0. BiÕn ®æi hÖ vÒ d¹ng: §Æt: Khi ®ã hÖ (I) ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: Û VËy, hÖ cã hai cÆp nghiÖm (1; b. §iÒu kiÖn x, y > 0. BiÕn ®æi hÖ vÒ d¹ng: §Æt: Khi ®ã, hÖ (I) ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: Trõ tõng vÕ hÖ ph¬ng tr×nh, ta ®îc: u - v = - (u2 - v2) + (u - v) Û u2 - v2 = 0 Û Ta lÇn lît: § Víi u = v, ta ®îc: v = v2 - v + 1 Û v2 - 2v + 1 = 0 Û v = 1 Þ u = v = 1 Û lgx = lgy = 1 Û x = y = 10. § Víi u = -v, ta ®îc: -v = v2 - v + 1 Û v2 + 1 = 0, v« nghiÖm. VËy, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (10; 10). F Chó ý: Víi c¸c em häc sinh ®· cã kinh nghiÖm trong viÖc gi¶i to¸n th×: § ë c©u a), chóng ta cã thÓ tr×nh bµy (víi ®iÒu kiÖn x > 0, y > 0) theo c¸ch: § ë c©u b), chóng ta cã thÓ tr×nh bµy (víi ®iÒu kiÖn x > 0, y > 0) theo c¸ch suy ra: ln2x + 1 = ln2y + 1 Û ln2x = ln2y Û lnx = lny Û x = y. Tõ ®ã, ta ®îc: lnx2 = ln2x + 1 Û ln2x - 2lnx + 1 = 0 Û lnx = 1 Û x = 10 Þ y = 10. D¹ng to¸n 4: Ph¬ng ph¸p hµm sè ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: a. Gi¶i a. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ díi d¹ng: 3x + x = 3y + y. (*) XÐt hµm sè f(t) = 3t + t ®ång biÕn trªn VËy, ph¬ng tr×nh (*) ®îc viÕt díi d¹ng: f(x) = f(y) Û x = y. Khi ®ã hÖ cã d¹ng: VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã 2 cÆp nghiÖm (2; 2) vµ (-2; -2). b. §iÒu kiÖn x, y > 0. Tõ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ: lnx + x = lny + y. (**) XÐt hµm sè f(t) = lnt + t lµ hµm ®ång biÕn, khi ®ã (**) t¬ng ®¬ng: f(x) = f(y) Û x = y. Khi ®ã, hÖ ®îc chuyÓn vÒ d¹ng: VËy, hÖ cã hai cÆp nghiÖm (1; 1) vµ (3; 3). ThÝ dô 2. (§HQG Hµ Néi - 1995): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i Thay (2) vµo (1) ta ®îc: 2x - 2y = (y - x)(x2 + y2 + xy) Û 2x - 2y = y3 - x3 Û 2x - x3 = 2y - y3 (3) XÐt hµm sè f(t) = 2t + t3 ®ång biÕn trªn VËy, ph¬ng tr×nh (3) ®îc viÕt díi d¹ng: f(x) = f(y) Û x = y. Khi ®ã, hÖ cã d¹ng: VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã 2 cÆp nghiÖm (1; 1) vµ (-1; -1). ThÝ dô 3. (§HQG Hµ Néi - 1995): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i §iÒu kiÖn: Tõ hÖ suy ra: log2(x + 1) + x = log2y + y - 1 Û log2(x + 1) + x + 1 = log2y + y. XÐt hµm sè f(t) = log2t + t lµ hµm ®ång biÕn víi t > 0, do ®ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng: f(x + 1) = f(y) Û x + 1 = y. Khi ®ã hÖ ®îc chuyÓn thµnh: VËy, hÖ cã hai cÆp nghiÖm (0; 1) vµ (1; 2). §4. BÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit D¹ng to¸n 1: Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cho bÊt ph¬ng tr×nh mò Ph¬ng ph¸p D¹ng 1: Víi bÊt ph¬ng tr×nh: af(x) £ ag(x) Û D¹ng 2: Víi bÊt ph¬ng tr×nh: af(x) < b (víi b > 0) Û D¹ng 3: Víi bÊt ph¬ng tr×nh: af(x) > b Û ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. c. ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: BÊt ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ C¸ch 2: BÊt ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ F NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó thùc hiÖn bµi to¸n trªn ë c¶ hai c¸ch chóng ta ®Òu thùc hiÖn mét c«ng viÖc lµ ®a bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng cã cïng c¬ sè, tuy nhiªn: § Trong c¸ch 1, víi viÖc sö dông c¬ sè a < 1 nªn dÊu bÊt ®¼ng thøc ph¶i ®æi chiÒu vµ ®©y lµ ®iÓm thêng g©y ra lçi ®èi víi mét vµi häc sinh. § Trong c¸ch 2, víi viÖc sö dông c¬ sè a > 1 nªn dÊu bÊt ®¼ng thøc kh«ng ®æi chiÒu. Trong nh÷ng trêng hîp t¬ng tù c¸c em häc h·y lùa chän theo híng nµy. b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: NhËn xÐt r»ng: Do ®ã, bÊt ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: Û x2 + 4x + 3 < 0 Û -3 < x < -1. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (-3; -1). C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng: Do ®ã, bÊt ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: Û -3 < x < -1. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (-3; -1). F NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó thùc hiÖn bµi to¸n trªn ë c¶ hai c¸ch chóng ta ®Òu thùc hiÖn mét c«ng viÖc lµ ®a bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng cã cïng c¬ sè, tuy nhiªn: § Trong c¸ch 1, chóng ta ®· t×m c¸ch biÕn ®æi § Trong c¸ch 2, chóng ta ®· sö dông ý tëng vÒ c¬ sè trung gian ®· biÕt trong phÇn ph¬ng tr×nh mò. c. BÊt ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: x2 - 1 < log32 Û x2 < 1 + log32 tham sè x2 < log36 Û VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ D¹ng to¸n 2: Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cho bÊt ph¬ng tr×nh l«garit Ph¬ng ph¸p D¹ng 1: Víi bÊt ph¬ng tr×nh: logaf(x) < logag(x) Û D¹ng 2: Víi bÊt ph¬ng tr×nh: logaf(x) < b Û D¹ng 3: Víi bÊt ph¬ng tr×nh: logaf(x) > b Û ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. b. ? Gi¶i a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û x2 - 1 < 5(x - 1) Û x2 - 5x + 4 < 0 Û 1 < x < 4. KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta nhËn ®îc tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (1; 4). C¸ch 2: BÊt ph¬ng tr×nh biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vÒ d¹ng: Û 0 < x2 - 1 < 5(x - 1) Û VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (1; 4). F Yªu cÇu: C¸c em häc sinh h·y so s¸nh hai c¸ch gi¶i trªn vµ h·y tr¶ lêi c©u hái "Cã thÓ sö dông c¸ch 2 cho bÊt ph¬ng tr×nh trong c©u b) hay kh«ng ?". b. §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: -log5(x2 - 6x + 18) + 2log5(x - 4) < 0 Û log5(x - 4)2 < log5(x2 - 6x + 18) Û x2 - 8x + 16 < x2 - 6x + 18 Û 2x > -2 Û x > -1. (**) KÕt hîp (*) vµ (**) ta ®îc nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ x > 4. D¹ng to¸n 3: Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p C¸c d¹ng ®Æt Èn phô trong trêng hîp nµy còng gièng nh víi ph¬ng tr×nh mò vµ ph¬ng tr×nh logarit. ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. 9x + 2.3x + 1 - 16 ≥ 0. b. (5 + c. 4lnx + 1 - 6lnx - 2. ? Gi¶i a. §Æt t = 3x (®iÒu kiÖn t > 0), ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: 32x + 6.3x - 16 ≥ 0 Û t2 + 6t - 16 ≥ 0 Û Û 3x ³ 2 Û x ³ log32. VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ (log32; +¥). b. Chia hai vÕ bÊt ph¬ng tr×nh cho 2x > 0, ta ®îc: NhËn xÐt r»ng Khi ®ã, bÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng: t + Û VËy, nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ [-1; 1]. c. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 4.4lnx - 6lnx - 18. Chia c¶ hai vÕ cña (1) cho §Æt t = 4t2 -t -18 £ 0 Û -2 £ t £ Û lnx ≥ -2 Û x ≥ e-2. VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ [e-2; +¥). F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thÝ dô trªn chóng ta ®· ®îc lµm quen víi ba d¹ng ®Æt Èn phô c¬ b¶n ®· ®îc biÕt trong phÇn ph¬ng tr×nh mò. Vµ ë ®©y: § Víi c©u a) chóng ta cÇn tíi phÐp biÕn ®æi 9x = 32x vµ 3x + 1 = 3.3x ®Ó ®Þnh híng cho Èn phô t = 3x. Vµ víi ®iÒu kiÖn t > 0 nªn kÕt qu¶ t ≤ -8 bÞ lo¹i. § Víi c©u b) chóng ta ®· sö dông d¹ng më réng ®· biÕt cho ph¬ng tr×nh a1ax + a2bx + a3cx = 0, víi a.b = c2. Vµ víi ®iÒu kiÖn t > 0 chóng ta lo¹i bá lu«n mÉu sè sau phÐp quy ®ång. § Víi c©u c) chóng ta cÇn sö dông mét vµi phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®Ó nhËn d¹ng ®îc lo¹i Èn phô cho bÊt ph¬ng tr×nh. Vµ ë ®ã viÖc chia c¶ hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh cho mét sè d¬ng nªn dÊu bÊt ®¼ng thøc kh«ng ®æi chiÒu. ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. lg2x3 - 20lg ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (3lgx)2 - 20. §Æt t = lgx, ta biÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 9t2 -10t + 1 ≤ 0 Û VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ b. §iÒu kiÖn 0 < x -1 ¹ 1 Û 1 < x ¹ 2. (*) BiÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2logx - 12 ≥ 1 + log2(x - 1) Û §Æt t = log2(x - 1), ta biÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thÝ dô trªn chóng ta ®· ®îc lµm quen víi hai d¹ng ®Æt Èn phô c¬ b¶n ®· ®îc biÕt trong phÇn ph¬ng tr×nh l«garit. Vµ ë ®©y: § Víi c©u a) c¸c em häc sinh dÔ nhËn thÊy Èn phô t = lgx. Tuy nhiªn, rÊt nhiÒu em biÕn ®æi nhÇm § Víi c©u b) c¸c em häc sinh cã thÓ bÞ m¾c lçi khi thùc hiÖn quy ®ång mÉu sè råi bá mÉu hoÆc kh«ng kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) cña bÊt ph¬ng tr×nh. D¹ng to¸n 4: Ph¬ng ph¸p l«garit hãa gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Ph¬ng ph¸p Víi bÊt ph¬ng tr×nh: af(x) > bg(x) Û lgaf(x) > lgbg(x) Û f(x).lga > g(x).lgb hoÆc cã thÓ sö dông logarit theo c¬ sè a hay b. F Chó ý: Ph¬ng ph¸p logarit ho¸ tá ra rÊt hiÖu lùc khi hai vÕ bÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng tÝch c¸c luü thõa. ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. ? Gi¶i a. Ta tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: LÊy logarit c¬ sè 4 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ C¸ch 2: LÊy logarit c¬ sè 3 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ C¸ch 3: LÊy logarit c¬ sè 10 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ta ®îc: VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ b. §iÒu kiÖn 0 < x ¹ 1. (*) LÊy l«garit c¬ sè 5 c¶ hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh, ta ®îc: log5(x6. §Æt t = log5x, ta biÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 6t - VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thÝ dô trªn chóng ta ®· ®îc lµm quen víi ph¬ng ph¸p l«garit hãa. Vµ ë ®ã: § Víi c©u a) ®· tr×nh bµy c¸c c¸ch lÊy l«garit hãa hai vÕ cña mét bÊt ph¬ng tr×nh. § Víi c©u b) c¸c em häc sinh ®· nhËn thÊy tÝnh linh ho¹t trong viÖc thùc hiÖn phÐp l«garit hãa hai vÕ cña mét bÊt ph¬ng tr×nh ®Ó gi¶m thiÓu tÝnh phøc t¹p. Vµ ë ®©y cÇn lu ý tíi viÖc kÕt hîp ®iÒu kiÖn (*) víi gi¸ trÞ t×m ®îc. ThÝ dô 2. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. log3x > log4x. b. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: log3x > log43.log3x Û (1 - log43)log3x > 0 VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 1. b. §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: L¸y l«garit c¬ sè 4 c¶ hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh, ta ®îc: log4(4. Û (2log43 -1)log4x ≤ log43 -2 Û Û log4x ≥ VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ F Yªu cÇu: C¸c em häc sinh h·y gi¶i thÝch cho phÐp biÕn ®æi tiÕp theo tõ (*). D¹ng to¸n 5: Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt cña hµm sè ®Ó gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit ThÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. 2.2x + 3.3x > 6x - 1. b. log2 ? Gi¶i a. Chia hai vÕ bÊt ph¬ng tr×nh cho 6x > 0, ta ®îc: Hµm sè f(x) = Ta cã: § Víi x ³ 2, f(x) £ f(2) = 1 do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. § Víi x < 2, f(x) > f(2) = 1 do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng. VËy x < 2 lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh. b. §iÒu kiÖn: C¸c hµm sè f1(x) = Þ hµm sè f(x) = log2 Ta cã f(0) = 1, do ®ã: § NÕu x > 0 th× f(x) > f(0) Û log2 § NÕu -1 < x £ 0 th× f(x) £ f(0) Û log2 VËy, nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ x > 0. C. C¸c bµi to¸n chän läc VÝ dô 1: T×m c¸c giíi h¹n sau: a. ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi: L = b. Ta biÕn ®æi: L = = VÝ dô 2: T×m c¸c giíi h¹n sau: a. ? Gi¶i a. Ta cã: b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: = = C¸ch 2: Ta cã: = = = VÝ dô 3: T×m c¸c giíi h¹n sau: a. ? Gi¶i a. Ta biÕn ®æi: = b. Ta biÕn ®æi: = = VÝ dô 4: a. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè y = cosx.e2tan x vµ y = log2(sinx). b. Chøng minh r»ng hµm sè y = e4x + 2e–x tho¶ m·n hÖ thøc: y"' – 13y' – 12y = 0. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: § Víi hµm sè y = cosx.e2tan x th×: y' = -sinx.e2tan x + cosx. § Víi hµm sè y = log2(sinx) th×: b. Tríc tiªn, ta lÇn lît cã: y' = 4e4x - 2e–x; y" = 16e4x + 2e–x; y'" = 64e4x - 2e–x. Khi ®ã: y"' – 3y' – 12y = 64e4x - 2e–x - 13(4e4x - 2e–x) - 12(e4x + 2e–x) = 0. VÝ dô 5: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè sau: a. y = lg[1 – lg(x2 – 5x + 16)]. b. y = ? Gi¶i a. Hµm sè x¸c ®Þnh khi: Û x2 – 5x + 6 < 0 Û 2 < x < 3. VËy, tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ D = (2; 3). b. Hµm sè x¸c ®Þnh khi: VËy, tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ D = VÝ dô 6: Cho hµm sè (Cm): y = mx + lnx. 1. Víi m = 1: a. T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ vµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè (C). b. Gäi (d) lµ mét tiÕp tuyÕn bÊt k× cña (C). Chøng minh r»ng trªn kho¶ng (0; +¥), (C) n»m ë phÝa díi cña ®êng th¼ng (d). 2. T×m m ®Ó: a. Hµm sè lu«n ®¬n ®iÖu trªn miÒn x¸c ®Þnh cña nã. b. Hµm sè cã cùc trÞ, khi ®ã ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè lµ cùc ®¹i hay cùc tiÓu. ? Gi¶i 1. Víi m = 1 hµm sè cã d¹ng (C): y = x + lnx. a. Ta lÇn lît cã: (1). Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = (2). Sù biÕn thiªn cña hµm sè: y' = 1 +
(3). §iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè: y" = - b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Tõ kÕt qu¶ trong a) ta thÊy hµm sè låi trªn kho¶ng (0; +¥). VËy, trªn kho¶ng (0; +¥), ®å thÞ (C) n»m ë phÝa díi cña ®êng th¼ng (d). C¸ch 2: Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm x0 cã d¹ng: (D): y = y'(x0)(x - x0) + y0 Û (D): XÐt hiÖu: f(x) = x + lnx - f'(x) = B¶ng biÕn thiªn:
Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra: f(x) £ 0, "xÎ(0; +¥) Û x + lnx £ VËy, trªn kho¶ng (0; +¥), ®å thÞ (C) n»m ë phÝa díi cña ®êng th¼ng (d). 2. Tríc tiªn, ta cã: (1). Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = (2). §¹o hµm: y' = mx + a. Hµm sè lu«n ®¬n ®iÖu trªn miÒn x¸c ®Þnh cña nã khi y' kh«ng ®æi dÊu trªn D vµ dÊu "=" chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm, suy ra ®iÒu kiÖn lµ: b. Hµm sè cã cùc trÞ khi (1) cã nghiÖm thuéc D, suy ra ®iÒu kiÖn lµ m ≤ 0. VÝ dô 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x + 3x + 1 + 3x + 2. b. ? Gi¶i a BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2x(1 + 2-1 + 2-2) = 3x(1 + 31 + 32) Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û Khi ®ã: § Gi¶i (1) ta ®îc nghiÖm x = log32. § Gi¶i (2) b»ng c¸ch lÊy l«garit cã sè 2 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ta ®îc: Û VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm x = log32, x = 0 vµ x = log23. VÝ dô 8: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. log2(x + 1) + log2(x - 2) = log2(3x - 5). b. log5{2 + 3[log2x + log2(x + 1)]} = 1. c. ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: log2[(x + 1)(x - 2)] = log2(3x - 5) Û (x + 1)(x - 2) = 3x - 5 Û x2 - 4x + 3= 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3. b. BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2 + 3[log2x + log2(x + 1)] = 5 Û log2x + log2(x + 1) = 1 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1. c. LÊy l«garit cã sè 3 hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ta ®îc: Û Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = ±log35. F NhËn xÐt: Trong c©u b) cña vÝ dô trªn, nÕu c¸c em häc sinh lùa chän kiÓu tr×nh bµy theo c¸c bíc: Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho ph¬ng tr×nh. Bíc 2: Sö dông phÐp biÕn ®æi ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Bíc 3: KÕt luËn vÒ nghiÖm cho ph¬ng tr×nh. Th× c¸c em ph¶i thùc hiÖn mét c«ng viÖc kh¸ cång kÒnh vµ d thõa ë bíc 1. VÝ dô 9: (§Ò 81 - Bé ®Ò 1996): Gi¶i ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i §iÒu kiÖn: Ph¬ng tr×nh viÕt l¹i díi d¹ng: 3 Û Û Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 2 vµ x = 1 - F Chó ý: NÕu biÕn ®æi: H·y nhí r»ng logacb = b.loga|c|, VÝ dô 10: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 4x - 5.2x + 6 = 0. b. log2(5x - 1).log4(2.5x - 2) = 1. ? Gi¶i a. §Æt t = 2x (®iÒu kiÖn t > 0), ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: 22x - 5.2x + 6 = 0 Û t2 - 5t + 6 = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = log23 vµ x = 1. b. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: §iÒu kiÖn: 5x - 1 > 0 Û 5x > 1 Û x > 0. §Æt t = log2(5x - 1), khi ®ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng: t(1 + t) = 2 Û t2 + t - 2 = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = log53, x = log5 F Chó ý: Trong mét sè trêng hîp ta kh«ng thÊy ngay ®îc sù xuÊt hiÖn a.b = 1 ®èi víi c¸c to¸n tö cña ph¬ng tr×nh, khi ®ã cÇn cã ®¸nh gi¸ tinh tÕ h¬n. VÝ dô 11: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. (7 + 4 b. (3 + ? Gi¶i a. NhËn xÐt r»ng: 7 + 4 Do ®ã, nÕu ®Æt t = (2 + (2 - Khi ®ã, ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi: t2 - Û (2 + VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0. F NhËn xÐt: Nh vËy, trong c©u a) b»ng viÖc ®¸nh gi¸: 7 + 4 ta ®· lùa chän ®îc Èn phô t = (2 + ë c©u b) chóng ta sÏ miªu t¶ viÖc lùa chän Èn phô th«ng qua ®¸nh gi¸ më réng cña a.b = 1, ®ã lµ: a.b = c2 Û tøc lµ víi c¸c ph¬ng tr×nh cã d¹ng A.ax + B.bx + C.cx = 0. Khi ®ã ta thùc hiÖn phÐp chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho cx¹0, ®Ó nhËn ®îc: A. tõ ®ã thiÕt lËp Èn phô t = b. Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho 2x > 0, ta ®îc: NhËn xÐt r»ng do ®ã, nÕu ®Æt t = Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (*) t¬ng ®¬ng víi: Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1. VÝ dô 12: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 2. ? Gi¶i a. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2. Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho 2 + §Æt t = Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi: f(t) = t2 - t - 2 = 0 Û Û x2 + 1 = VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = ± b. §iÒu kiÖn x > 0. §Æt u = log2x Þ x = 2u, khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: 4. §Æt t = Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng: 4t2 - 11t + 7 = 0 Û Û VËy, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm x = 1, x = VÝ dô 13: (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2003): Gi¶i ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: §Æt t = t - Û x2 - x = 2 Û x2 - x - 2 = 0 Û x = - 1 vµ x = 2.. VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = - 1 vµ x = 2. F Chó ý: TiÕp theo chóng ta sÏ quan t©m tíi viÖc sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®Ó lµm xuÊt hiÖn Èn phô hoÆc sö dông Èn phô cho tæ hîp ®èi xøng. VÝ dô 14: Gi¶i ph¬ng tr×nh ? Gi¶i Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho Û 2. §Æt t = Khi ®ã, ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi: 2t2 - 9t + 4 = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = -1, x = 2. VÝ dô 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh: log2(x - ? Gi¶i §iÒu kiÖn: NhËn xÐt r»ng: (x - Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: log2(x + Û log2(x + Sö dông phÐp ®æi c¬ sè: log2(x + vµ log3(x + Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: log26.log6(x + §Æt t = log6(x + t(log26.log36.t - 1) = 0 Û § Víi t = 0 log6(x + § Víi log26.log36.t - 1 = 0 log26.log36. log6(x + Û log3(x + Û VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 vµ x = VÝ dô 16: (§HY Hµ Néi - 2000): Gi¶i ph¬ng tr×nh 23x - 6.2x - ? Gi¶i ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: (23x - §Æt t = 2x - 23x - Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: t3 + 6t - 6t = 1 Û t = 1 Û 2x - §Æt u = 2x, u > 0, khi ®ã ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng: u - VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1. VÝ dô 17: (§Ò thi ®¹i häc khèi A - 2002): Cho ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2. b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm thuéc [1; ? Gi¶i §iÒu kiÖn x > 0. §Æt t = f(t) = t2 + t - 2m - 2 = 0. (1) 1. Víi m = 2 ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng: t2 + t - 6 = 0 Û t = -3 (lo¹i) hoÆc t = 2. Víi t = 2, ta ®îc: VËy, víi m = 2, ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x = 2. Tõ ®iÒu kiÖn: 1 £ x £ Û 1 £ Tíi ®©y ta cã thÓ lùa chän mét trong ba c¸ch tr×nh bµy tiÕp theo nh sau: C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh ban ®Çu cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [1; Û ph¬ng tr×nh (3) cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm thuéc [1; 2] Û ®êng th¼ng y = 2m + 2 c¾t phÇn ®å thÞ hµm sè y = t2 + t lÊy trªn ®o¹n [1; 2] t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm. Ta xÐt hµm sè: y = t2 + t. § MiÒn x¸c ®Þnh D = [1; 2]. § §¹o hµm: y' = 2t + 1, y' = 0 Û 2t + 1 = 0 Û t = - § B¶ng biÕn thiªn:
VËy ®iÒu kiÖn lµ: 2 £ 2m + 2 £ 6 Û 0 £ m £ 2. C¸ch 2: (Tèi u ho¸ c¸ch 1): Ph¬ng tr×nh ban ®Çu cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [1; Û ph¬ng tr×nh (3) cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm thuéc [1, 2] Û ®êng th¼ng y = 2m + 2 c¾t phÇn ®å thÞ hµm sè y = t2 + t lÊy trªn ®o¹n [1, 2] t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm. Ta xÐt hµm sè: y = t2 + t. § MiÒn x¸c ®Þnh D = [1; 2]. § §¹o hµm: y' = 2t + 1 > 0, "tÎD Þ hµm sè ®ång biÕn trªn D. VËy ®iÒu kiÖn lµ: y(1) £ 2m + 2 £ y(2) Û 2 £ 2m + 2 £ 6 Û 0 £ m £ 2. C¸ch 3: Ph¬ng tr×nh ban ®Çu cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [1, Û ph¬ng tr×nh (3) cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm thuéc [1, 2] Û ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm tho¶ m·n: Û f(1).f(2) £ 0 Û - 2m(4 - 2m) £ 0 Û 0 £ m £ 2. VÝ dô 18: (§HKT - 1998): Cho ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 3. b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n: 3x1x2 - 6(x1 + x2) + 11 = 0. ? Gi¶i §iÒu kiÖn x - 2 > 0 Û x > 2. LÊy logarit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®îc: log3[ Û [log3[9(x - 2)].log3(x - 2) = 2 + log3(x - 1)m Û [2 + log3(x - 2)].log3(x - 2) = 2 + mlog3(x - 1). (1’) §Æt t = log3(x - 2). Khi ®ã (1’) cã d¹ng: (2 + t)t = 2 + mt Û t2 - (m - 2)t - 2 = 0. (2) a. Víi m = 3, ta ®îc: t2 - t - 2 = 0 Û VËy, víi m = 3 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = b. XÐt ®iÒu kiÖn: 3(x1 - 2)(x2 - 2) - 1 = 0 Û (x1 - 2)(x2 - 2) = Û log3(x1 - 2) + log3(x2 - 2) = - 1 Û t1 + t2 = -1. VËy, ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n 3x1x2 - 6(x1 + x2) + 11 = 0 Û (2) cã nghiÖm t1, t2 tho¶ m·n t1 + t2 = - 1 Û VËy, víi m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. F Chó ý: Ph¬ng ph¸p dïng Èn phô d¹ng 2 lµ viÖc sö dông mét Èn phô chuyÓn ph¬ng tr×nh ban ®Çu thµnh mét ph¬ng tr×nh víi mét Èn phô nhng c¸c hÖ sè vÉn cßn chøa x. Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc sö dông ®èi víi nh÷ng ph¬ng tr×nh khi lùa chän Èn phô cho mét biÓu thøc th× c¸c biÓu thøc cßn l¹i kh«ng biÓu diÔn ®îc triÖt ®Ó qua Èn phô ®ã hoÆc nÕu biÓu diÔn ®îc th× c«ng thøc biÓu diÔn l¹i qu¸ phøc t¹p. Khi ®ã, thêng ta ®îc mét ph¬ng tr×nh bËc hai theo Èn phô (hoÆc vÉn theo Èn x) cã biÖt sè D lµ mét sè chÝnh ph¬ng. VÝ dô 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh 9x + (x - 3).3x - 2x + 2 = 0. (1) ? Gi¶i §Æt t = 3x, ®iÒu kiÖn t > 0. Khi ®ã, ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi: t2 + (x - 3).t - 2x + 2 = 0 ta cã D = (x - 3)2 - 4(-2x + 2) = (x + 1)2 nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: Khi ®ã: § Víi t = 2 Û 3x = 2 Û x = log32. § Víi t = 1 - x Û 3x = 1 - x, ta cã nhËn xÐt: NhËn xÐt r»ng x = 0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = log32, x = 0. VÝ dô 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh ? Gi¶i §iÓu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm ®ång biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng x = 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v×: VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3. F NhËn xÐt: Nh vËy, trong vÝ dô trªn b»ng viÖc chuyÓn vÕ chóng ta thÊy ngay tÝnh ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn cña c¸c hµm sè ë hai vÕ cña ph¬ng tr×nh, ®Ó tõ ®ã kÕt luËn vÒ tÝnh duy nhÊt nghiÖm (nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh. Tuy nhiªn, hÇu hÕt ph¬ng tr×nh ®îc gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p nµy ë d¹ng ban ®Çu ®Òu kh«ng ®a ra ®îc nhËn xÐt "VT ®ång biÕn cßn VP lµ hµm h»ng hoÆc nghÞch biÕn". Khi ®ã, cÇn thùc hiÖn mét vµi phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, thÝ dô víi ph¬ng tr×nh: A.af(x) + B.bg(x) = C.ch(x) Û A. VÝ dô 21: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 + 3x/2 = 2x. ? Gi¶i Chia hai vÕ ph¬ng tr×nh cho 2x ¹ 0, ta ®îc NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm h»ng. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v×: VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. F Chó ý: NhiÒu bµi to¸n cÇn sö dông ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®Ó chuyÓn chóng vÒ d¹ng f(u) = k. Tõ ®ã, míi cã thÓ ¸p dông ®îc ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó gi¶i. VÝ dô 22: Gi¶i ph¬ng tr×nh ? Gi¶i §iÒu kiÖn x + 1 > 0 Û x > -1. a. NÕu -1 < x £ 0, th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm bëi VT > 0 cßn VP ≤ 0. b. XÐt x > 0, ®Æt y = log3(x + 1). Ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh: NhËn xÐt r»ng: § VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn. § VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm h»ng. Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. NhËn xÐt r»ng y = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, suy ra: y = 1 Û log3(x + 1) = 1 Û x + 1 = 3 Û x = 2. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2. VÝ dô 23: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2005): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ: 3(1 + log3x) - 3log3y = 3 Û log3x = log3y Û x = y. Khi ®ã, hÖ cã d¹ng: VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã hai cÆp nghiÖm (1, 1) vµ (2, 2). VÝ dô 24: (§Ò thi ®¹i häc khèi A - 2004): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i §iÒu kiÖn: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ vÒ d¹ng: - log4(y - x) + log4y = 1 Û log4y = log44(y - x) Û y = 4(y - x) Û x = Thay (**) vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ: VËy, hÖ cã nghiÖm (3; 4). VÝ dô 25: (§HM§C - 2000): Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i BiÕn ®æi hÖ vÒ d¹ng: ThÕ (1) vµo (2), ta ®îc: Û 2x2 + 2(a - 1)x + (a - 1)2 = 0, (3) ta cã D' = -(a - 1)2 £ 0. Khi ®ã: § Víi a ¹ 1 th× D' < 0 Û ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm Û hÖ v« nghiÖm. § Víi a = 1 th× D' = 0 Û ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm x = 0, suy ra y = 0. VËy, khi a = 1 hÖ cã nghiÖm x = y = 0. VÝ dô 26: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Gi¶i LÊy logarit cã sè 2 c¶ hai vÕ cña hai ph¬ng tr×nh, ta ®îc: Ta cã D = 1 - Dx = 2 - 2 Suy ra hÖ cã nghiÖm VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (2; 1). VÝ dô 27: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i ViÕt l¹i hÖ ph¬ng tr×nh díi d¹ng: §Æt: Khi ®ã, hÖ (I) ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: §Ó gi¶i hÖ (II) ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Khö sè h¹ng tù do tõ hÖ ta ®îc: 4u2 - 13uv + 3v2 = 0. (3) §Æt u = tv, khi ®ã: (3) Û v2(4t2 - 13t + 3) = 0 Û § Víi t = 3 ta ®îc u = 3v do ®ã: (2) Û - 8v2 = 4 v« nghiÖm. § Víi t = (2) Û 4u2 = 4 Û u = 1 Þ VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã hai cÆp nghiÖm (1, 2) vµ ( - 1, 2). C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng nÕu (u, v) lµ nghiÖm cña hÖ th× u ¹ 0. Tõ (2) ta ®îc u = Thay (4) vµo (1), ta ®îc 2v4 - 31v2 - 16 = 0. (5) §Æt t = v2, t > 0, ta ®îc: (5) Û 2t2 - 31t - 16 = 0 Û Û VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã hai cÆp nghiÖm (1; 2) vµ (-1; 2). VÝ dô 28: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. c. 2.2x + 3.3x > 6x - 1. d. 4x - 2x + 1 + ? Gi¶i a. NhËn xÐt r»ng: ( Khi ®ã, bÊt ph¬ng tr×nh ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: Û VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ b. §iÒu kiÖn x + 4 ³ 0 Û x ³ -4. ViÕt l¹i bÊt ph¬ng tr×nh díi d¹ng: 32x - 8. Chia hai vÕ bÊt ph¬ng tr×nh cho §Æt t = t2 - 8t - 9 > 0 Û (t - 9)(t + 1) > 0 Û t - 9 > 0 Û t > 9 Û Û x - VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (5; +¥). c. Chia hai vÕ bÊt ph¬ng tr×nh cho 6x > 0, ta ®îc XÐt hµm sè y = Ta cã: § Víi x ³ 2, f(x) £ f(2) = 1 do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm. § Víi x < 2, f(x) > f(2) = 1 do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh (2) nghiÖm ®óng. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (-¥; 2). d. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: §Æt t = 2x, ®iÒu kiÖn t > 0. Khi ®ã, bÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng: t2 - 2t + ta cã D' = 1 - (3) Û VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 0. C¸ch 2: BiÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng: Û NhËn xÐt r»ng: Do ®ã: (*) Û VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 0. F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua vÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· ®îc «n tËp l¹i nh÷ng ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i mét bÊt ph¬ng tr×nh mò. Vµ ë ®ã: § Víi c©u a) lµ viÖc ®a bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng cã cïng c¬ sè. § Víi c©u b) cã sù tæng hîp kh¸ cao, b¾t ®Çu b»ng viÖc sö dông mét vµi phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®Ó lµm xuÊt hiÖn Èn phô, tiÕp tíi lµ c«ng viÖc kh¸ ®¬n gi¶n khi chØ ph¶i gi¶i mét bÊt ph¬ng tr×nh bËc hai. Tuy nhiªn, cuèi cïng chóng ta gÆp mét d¹ng bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n c¬ b¶n § Víi c©u c) vµ d) chóng h¼n lµ nh÷ng bµi to¸n khã h¬n bëi cÇn ph¶i sö dông tíi kiÕn thøc vÒ hµm sè vµ biÕt c¸ch ®¸nh gi¸ mét biÓu thøc chøa hµm sè mò. VÝ dô 29: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i §iÒu kiÖn x > 0. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û Û §Æt t = log2x, ta ®îc: t4 - (3t - 3)2 + 9(5 - 2t) < 4t2 Û t4 - 13t2 + 36 < 0 Û 4 < t2 < 9 Û VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ VÝ dô 30: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x2 + (log2x - 2)x + log2x - 3 > 0. (1) ? Gi¶i §iÒu kiÖn x > 0. (*) Coi (1) lµ bÊt ph¬ng tr×nh b©c 2 theo Èn x, ta cã: D = (log2x - 2)2 - 4(log2x - 3) = Do ®ã, bÊt ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: (x + 1)(x + log2x - 3) > 0 NhËn xÐt r»ng: § Hµm sè y = log2x lµ hµm ®ång biÕn. § Hµm sè y = 3 - x lµ hµm nghÞch biÕn. § Víi x > 2, ta cã: VT > 1 vµ VP < 1 Þ x > 2 lµ nghiÖm cña (2). § Víi 0 < x £ 2, ta cã: VT < 1 vµ VP > 1 Þ 0 < x £ 2 kh«ng lµ nghiÖm cña (2). VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (2; +¥). VÝ dô 31: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2002): Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: logx(log3(9x - 72)) £ 1. ? Gi¶i Tríc hÕt ta ®i x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn: Víi ®iÒu kiÖn trªn, bÊt ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: log3(9x - 72) £ x Û 9x - 72 £ 3x (2) §Æt t = 3x > 0, ta ®îc: (2) Û t2 - t - 72 £ 0 Û - 8 £ t £ 9 Û 3x £ 9 Û x £ 2. KÕt hîp víi (*), suy ra bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm log3 VÝ dô 32: (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2003): T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: y = ? Gi¶i XÐt hµm sè y = y' = y' = 0 Û 2lnx - ln2x = 0 Û Do ®ã, gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè trªn [1, e3] ®îc cho bëi: a. ymax = Max{y(1), y(e2), y(e3)} = Max{0, b. ymin = 0, ®¹t ®îc t¹i x = 1. VÝ dô 33: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2005): Chøng minh r»ng víi mäi x Î R, ta cã: Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra ? ? Gi¶i Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si, ta lÇn lît cã: Céng theo vÕ (1), (2) vµ (3) ta ®îc: DÊu "=" x¶y ra khi: Page 5
phÇn I: gi¶i tÝch ch¬ng 1 - øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè I. tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè 1. ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm sè ®¬n ®iÖuGi¶ sö hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng I th×: a. Hµm sè f(x) lµ ®ång biÕn trªn kho¶ng I khi vµ chØ khi víi x tuú ý thuéc I, ta cã: b. Hµm sè f(x) lµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng I khi vµ chØ khi víi x tuú ý thuéc I, ta cã: Tõ ®ã, ta cã kÕt qu¶: Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng I. a. NÕu hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng I th× f '(x) ³ 0, "x Î I. b. NÕu hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng I th× f '(x) £ 0, "x Î I. 2. ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm sè ®¬n ®iÖu§Þnh lÝ 1 (§Þnh lÝ Lagrange): NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a; b] vµ cã ®¹o hµm trªn (a; b) th× tån t¹i mét ®iÓm c Î (a; b) sao cho: f(b) - f(a) = f '(c).(b - a) hay f '(c) = ý nghÜa cña ®Þnh lÝ Lagr¨ng: XÐt cung AB cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) víi A(a; f(a)) vµ B(b; f(b)). HÖ sè gãc cña c¸t tuyÕn AB lµ: §¼ng thøc: f '(c) = cã nghÜa lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn cña cung AB t¹i ®iÓm (c; f(c)) b»ng hÖ sè gãc cña c¸t tuyÕn AB. VËy, nÕu c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lÝ Lagr¨ng ®îc tho¶ m·n th× tån t¹i mét ®iÓm C cña cung AB sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi c¸t tuyÕn AB. §Þnh lÝ 2: Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng I. a. NÕu f '(x) > 0, "x Î I th× f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng I. b. NÕu f '(x) < 0, "x Î I th× f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng I. c. NÕu f '(x) = 0, "x Î I th× f(x) kh«ng ®æi trªn kho¶ng I. Ta cã më réng cña ®Þnh lÝ 2 nh sau: §Þnh lÝ 3: Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng I. a. NÕu f '(x) ³ 0, "x Î I, vµ ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm trªn kho¶ng I, th× f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng I. b. NÕu f '(x) £ 0, "x Î I, vµ ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm trªn kho¶ng I, th× f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng I. Ta tãm t¾t ®Þnh lÝ 3 trong c¸c b¶ng biÕn thiªn sau:
II. Cùc trÞ cña hµm sè 1. kh¸i niÖm cùc trÞ cña hµm sè§Þnh nghÜa: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp hîp D (D Ì a. x0 gäi lµ mét ®iÓm cùc ®¹i cña hµm sè y = f(x) nÕu tån t¹i mét kho¶ng (a; b) chøa ®iÓm x0 sao cho (a; b) Î D vµ: f(x) < f(x0) , víi mäi x Î (a; b)\{x0}. Khi ®ã f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè f(x). b. x0 gäi lµ mét ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè y = f(x) nÕu tån t¹i mét kho¶ng (a; b) chøa ®iÓm x0 sao cho (a; b) Î D vµ: f(x) > f(x0) , víi mäi x Î (a; b)\{x0}. Khi ®ã f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè f(x). Gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ gi¸ trÞ cùc tiÓu ®îc gäi chung lµ cùc trÞ. 2. ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm sè cã cùc trÞXÐt hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a, b) vµ x0 Î (a; b). §Þnh lÝ 1: Gi¶ sö hµm sè y = f(x) ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm x0. Khi ®ã, nÕu f(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 th× f'(x0) = 0. 3. ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm sè cã cùc trÞ§Þnh lÝ 2: Gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) chøa ®iÓm x0 vµ cã ®¹o hµm trªn c¸c kho¶ng (a; x0) vµ (x0; b). Khi ®ã: a. NÕu f '(x) < 0 víi mäi x Î (a; x0) vµ f '(x) > 0 víi mäi x Î (x0; b) th× hµm sè f(x) ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0. b. NÕu f '(x) > 0 víi mäi x Î (a; x0) vµ f '(x) < 0 víi mäi x Î (x0; b) th× hµm sè f(x) ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0. Nãi mét c¸ch v¾n t¾t: NÕu khi x qua x0, ®¹o hµm ®æi dÊu th× ®iÓm x0 lµ mét ®iÓm cùc trÞ. Ta tãm t¾t ®Þnh lÝ 2 trong c¸c b¶ng biÕn thiªn sau:
Tõ ®Þnh lÝ 2 ta cã quy t¾c t×m cùc trÞ sau ®©y: Quy t¾c 1: §Ó t×m cùc trÞ cña hµm sè y = f(x) ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh f’(x). Bíc 2: T×m c¸c ®iÓm xi (i = 1, 2, ...) t¹i ®ã ®¹o hµm cña hµm sè b»ng 0 hoÆc hµm sè liªn tôc nhng kh«ng cã ®¹o hµm. Bíc 3: XÐt dÊu f'(x). NÕu f'(x) ®æi dÊu khi x qua ®iÓm xi th× hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i xi. §Þnh lÝ 3: Gi¶ sö hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm cÊp mét trªn kho¶ng (a; b) chøa ®iÓm x0, f '(x0) = 0 vµ f(x) cã ®¹o hµm cÊp hai kh¸c 0 t¹i ®iÓm x0. a. NÕu f''(x0) < 0 th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0. b. NÕu f''(x0) > 0 th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0. Tõ ®Þnh lÝ 3 ta cã quy t¾c t×m cùc trÞ sau ®©y: Quy t¾c 2: §Ó t×m cùc trÞ cña hµm sè y = f(x) ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh f’(x). Bíc 2: T×m c¸c nghiÖm xi (i = 1, 2, ...) cña ph¬ng tr×nh f'(x) = 0. Bíc 3: Víi mçi i ta tÝnh f"(xi), khi dã: § NÕu f''(xi) < 0 th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm xi. § NÕu f''(xi) > 0 th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm xi. III. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè §Þnh nghÜa: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp D. a. NÕu tån t¹i mét ®iÓm x0 Î D sao cho: f(x) £ f(x0) víi mäi x Î D th× sè M = f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiÖu M = b. NÕu tån t¹i mét ®iÓm x0 Î D sao cho: f(x) ³ f(x0) víi mäi x Î D th× sè m = f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiÖu m = IV. ®å thÞ cña hµm sè vµ PhÐp tÞnh tiÕn hÖ to¹ ®é 1. phÐp tÞnh tiÕn hÖ to¹ ®é vµ c«ng thøc chuyÓn hÖ täa ®éCho ®iÓm I(x0; y0) vµ ®iÓm M(x; y) trong hÖ to¹ ®é Oxy, khi ®ã trong hÖ to¹ ®é IXY ®iÓm M(X; Y) sÏ cã to¹ ®é: 2. ph¬ng tr×nh ®êng cong ®èi víi hÖ täa ®é míiPh¬ng tr×nh cña ®êng cong y = f(x) ®èi víi hÖ to¹ ®é IXY cã d¹ng: Y = f(X + x0) - y0. V. ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè 1. ®êng tiÖm cËn ®øng vµ ®êng tiÖm cËn ngang§Þnh nghÜa 1: §êng th¼ng y = y0 ®îc gäi lµ ®êng tiÖm cËn ngang (gäi t¾t lµ tiÖm cËn ngang) cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) nÕu: §Þnh nghÜa 2: §êng th¼ng x = x0 ®îc gäi lµ ®êng tiÖm cËn ®øng (gäi t¾t lµ tiÖm cËn ®øng) cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) nÕu: 2. ®êng tiÖm cËn xiªn§Þnh nghÜa 3: §êng th¼ng y = ax + b ®îc gäi lµ ®êng tiÖm cËn xiªn (gäi t¾t lµ tiÖm cËn xiªn) cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) nÕu: Quy t¾c: Gi¶ sö khi x ® ¥ th× f(x) ® ¥. Ta t×m a = § NÕu giíi h¹n (1) kh«ng tån t¹i hoÆc b»ng 0 th× ®å thÞ kh«ng cã tiÖm cËn xiªn. Tr¸i l¹i ta ®i t×m tiÕp b = § NÕu giíi h¹n (2) kh«ng tån t¹i th× ®å thÞ kh«ng cã tiÖm cËn xiªn. Tr¸i l¹i ta kÕt luËn ®å thÞ nhËn ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = ax + b lµm tiÖm cËn xiªn. VI. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè §êng lèi tæng qu¸t ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè Ph¬ng ph¸p Ta tiÕn hµnh theo c¸c bíc sau: Bíc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. Bíc 2: XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè: a. T×m giíi h¹n t¹i v« cùc vµ giíi h¹n v« cùc (nÕu cã) cña hµm sè. T×m c¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ (nÕu cã). b. LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè, bao gåm: § T×m ®¹o hµm cña hµm sè, xÐt dÊu ®¹o hµm, xÐt chiÒu biÕn thiªn vµ t×m cùc trÞ cña hµm sè (nÕu cã). § §iÒn c¸c kÕt qu¶ vµo b¶ng biÕn thiªn: Bíc 3: VÏ ®å thÞ hµm sè: a. VÏ c¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ (nÕu cã). b. X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt cña thêng lµ c¸c giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é (trong trêng hîp ®å thÞ kh«ng c¾t c¸c trôc täa ®é hoÆc viÖc t×m täa ®é giao ®iÓm phøc t¹p th× bá qua phÇn nµy). c. NhËn xÐt vÒ ®å thÞ: ChØ ra trôc ®èi xøng vµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ (nÕu cã, kh«ng yªu cÇu chøng minh). F Chó ý: Khi vÏ ®å thÞ c¸c em häc sinh cÇn lu ý r»ng "D¸ng cña ®å thÞ t¬ng øng víi mòi tªn trong b¶ng biÕn thiªn". §1. tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè D¹ng to¸n 1: XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè Ph¬ng ph¸p §Ó xÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y = f(x), ta thùc hiÖn c¸c bíc sau: Bíc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. Bíc 2: TÝnh ®¹o hµm y', råi t×m c¸c ®iÓm tíi h¹n (th«ng thêng lµ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0). Bíc 3: TÝnh c¸c giíi h¹n (nÕu cÇn). Bíc 4: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè. Tõ ®ã, ®a ra lêi kÕt luËn. F Chó ý: Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh f'(x) = 0 v« nghiªm, tøc lµ hµm sè lu«n ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn, ta cã thÓ bá qua viÖc lËp b¶ng biÕn thiªn. ThÝ dô 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = 2x3 + 3x2 + 1. ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 6x2 + 6x, y' = 0 Û 6x2 + 6x = 0 Û Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn:
VËy, ta cã kÕt luËn: § Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-¥; -1) vµ (0; +¥). § Hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-1; 0). F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè". Vµ víi d¹ng to¸n nµy c¸c em cÇn ®Æc biÖt chó ý tíi tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè th× míi ch¾c ch¾n nhËn ®îc mét b¶ng biÕn thiªn ®óng. F NhËn xÐt: Hµm ®a thøc bËc ba tæng qu¸t cã d¹ng: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, víi a ¹ 0. Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 Û 3ax2 + 2bx + c = 0. Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn: DÊu cña y' phô thuéc vµo dÊu cña a (a > 0 hay a < 0) vµ dÊu cña D' = b2 - 3ac (D' > 0 hay D' £ 0), do ®ã ta cã bèn trêng hîp biÕn thiªn kh¸c nhau. ThÝ dô 2. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = x4 - 2x2 - 5. ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 4x3 - 4x, y' = 0 Û 4x3 - 4x = 0 Û 4x(x2 - 1) = 0 Û Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn:
VËy, ta cã kÕt luËn: § Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-¥; -1) vµ (0; 1). § Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-1; 0) vµ (1; +¥). F NhËn xÐt: Hµm ®a thøc bËc bèn d¹ng trïng ph¬ng cã ph¬ng tr×nh: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, víi a ¹ 0. Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0 Û 2x(2ax2 + b) = 0. Do ®ã, ph¬ng tr×nh y' = 0 hoÆc cã mét nghiÖm (a.b ³ 0) hoÆc cã ba nghiÖm ph©n biÖt. , do ®ã ta cã bèn trêng hîp biÕn thiªn kh¸c nhau. Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn: DÊu cña y' phô thuéc vµo dÊu cña a (a > 0 hay a < 0) vµ dÊu cña a.b, do ®ã ta cã bèn trêng hîp biÕn thiªn kh¸c nhau. Vµ b¾t dÇu tõ ®©y, viÖc ®a ra lêi kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn ®îc dµnh cho b¹n ®äc. ThÝ dô 3. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y'= Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn:
F NhËn xÐt: Hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt cã d¹ng: (H): y = Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = NÕu D = ad - bc > 0 Þ hµm sè ®ång biÕn trªn D. NÕu D = ad - bc < 0 Þ hµm sè nghÞch biÕn trªn D. ThÝ dô 4. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = x + ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 1 - Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn:
F NhËn xÐt: Hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt cã d¹ng: (H): y = víi ad ¹ 0, tö, mÉu kh«ng cã nghiÖm chung. Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta thêng l¹i hµm sè díi d¹ng: y = f(x) = ax + b + MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = a - DÊu cña ®¹o hµm lµ dÊu cña tam thøc g(x) = a(dx + e)2 - gd. Giíi h¹n B¶ng biÕn thiªn: Ta cã c¸c trêng hîp: Trêng hîp a > 0 Ph¬ng tr×nh y' = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2.
Ph¬ng tr×nh y' = 0 v« nghiÖm
Trêng hîp a < 0 Ph¬ng tr×nh y' = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2
Ph¬ng tr×nh y' = 0 v« nghiÖm
ThÝ dô 5. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè ? Gi¶i Ta cã ®iÒu kiÖn: 2x - x2 ³ 0 Û 0 £ x £ 2 Þ D = [0; 2]. §¹o hµm: y' = B¶ng biÕn thiªn:
F NhËn xÐt: Hµm v« tØ d¹ng: (H): y = Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = {xÎ §¹o hµm: y' = B¶ng biÕn thiªn: cã 4 trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn. ThÝ dô 6. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè ? Gi¶i Ta cã ®iÒu kiÖn: x ³ 0 Þ D = [0; +¥). §¹o hµm: y' = 1 - B¶ng biÕn thiªn:
D¹ng to¸n 2: X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè y = f(x, m) ®ång biÕn (hoÆc nghÞch biÕn) trªn kho¶ng I Ph¬ng ph¸p Chóng ta cÇn thùc hiÖn c¸c bíc sau: Bíc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. Bíc 2: TÝnh ®¹o hµm y'. Bíc 3: LËp luËn cho c¸c trêng hîp (t¬ng tù cho tÝnh nghÞch biÕn) nh sau: a. Hµm sè ®ång biÕn trªn I khi: b. Hµm sè ®ång biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng k F Chó ý: §Ó gi¶i c¸c biÓu thøc ®iÒu kiÖn cña y' ph¬ng ph¸p ®îc sö dông phæ biÕn nhÊt lµ ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai, tuy nhiªn trong nh÷ng trêng hîp riªng biÖt cã thÓ sö dông ngay ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó gi¶i. ThÝ dô 1. Cho hµm sè y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx. T×m m ®Ó: a. Hµm sè ®ång biÕn trªn b. Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng c. Hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n d. Hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 1. ? Gi¶i Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = §¹o hµm: y' = 12x2 + 2(m + 3)x + m, y' = 0 Û f(x) = 12x2 + 2(m + 3)x + m = 0. (1) a. Hµm sè ®ång biÕn trªn y' ≥ 0, "xÎ Û (m + 3)2 - 12m ≤ 0 Û (m - 3)2 ≤ 0 Û m - 3 = 0 Û m = 3. VËy, víi m = 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng y' ≥ 0, "xÎ Û Û m ≥ 0. VËy, víi m ≥ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x = - Tõ ®ã, hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng y' ≥ 0, "xÎ Û VËy, víi m ≥ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. C¸ch 3: Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng y' ≥ 0, "xÎ Û m(2x + 1) ³ -12x2 - 6x, "xÎ Û VËy, víi m ≥ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. c. NhËn xÐt r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x = - Tõ ®ã, hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n y' ≤ 0, "xÎ VËy, víi m ≥ 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. d. Hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 1 khi: y' £ 0, trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 1 Û (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n |x1 - x2| = 1 Û VËy, hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 1 khi m = 9 hoÆc m= -3. F NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn: § Víi néi dung c©u b), c¸c em cã thÓ thÊy r»ng ph¬ng ph¸p hµm sè thêng ®îc u tiªn lùa chän. § Víi néi dung c©u c), ta nhí l¹i r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) nÕu cã hai nghiÖm x1, x2 th×: |x1 - x2| = Ngoµi ra, v× ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x1 = - |x1 - x2| = 1 ThÝ dô 2. Cho hµm sè Víi gi¸ trÞ nµo cña m: a. Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng x¸c ®Þnh cña nã ? b. Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (-¥; 0) ? ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: a. Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng x¸c ®Þnh cña nã khi: y' £ 0, "xÎD vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm Û 1 - m < 0 Û m > 1. VËy, víi m > 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. Tríc hÕt lµ hµm sè cÇn x¸c ®Þnh trªn (0; +¥), ®iÒu kiÖn lµ m ³ 0. (*) Hµm sè ®ång biÕn víi trªn (0; +¥) khi: y' ³ 0, "xÎ(0; +¥) vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm Û 1 - m > 0 Û m < 1 VËy, víi F Chó ý: RÊt nhiÒu häc sinh khi thùc hiÖn bµi to¸n trªn: a. ë c©u a), ®· nhËn c¶ nghiÖm m = 1, bëi thiÕt lËp ®iÒu kiÖn lµ 1 - m £ 0. C¸c em häc sinh cÇn nhí kü néi dung ®Þnh lÝ 2. b. ë c©u b), ®· kh«ng kiÓm tra ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña hµm sè trªn kho¶ng (-¥; 0). Ngoµi ra, c¸c em häc sinh còng cÇn nhí r»ng hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt lu«n ®¬n ®iÖu trªn miÒn x¸c ®Þnh cña nã. ThÝ dô 3. Cho hµm sè a. Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng x¸c ®Þnh cña nã ? b. Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (0; 1) vµ (2; 4) ? ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: a. Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng x¸c ®Þnh cña nã khi: y' ≥ 0, "xÎD vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm Û x2 - 2x + 1 - m2 ≥ 0, "xÎD vµ dÊu "=" chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm Û D’ ≤ 0 Û m2 ≤ 0 Û m = 0. VËy, víi m = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. NhËn xÐt r»ng y’ chØ nhËn gi¸ trÞ ©m trong kho¶ng (x1; x2)\{1}. Tõ ®ã, hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (0; 1) vµ (2; 4) khi: VËy, víi F Chó ý. §Ó hiÓu ®îc lËp luËn trong lêi gi¶i c©u b) cña vÝ dô trªn c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè, cô thÓ:
®Ó ®Æt ®îc c¸c ®iÓm x = 0, x = 2, x = 4 vµo vÞ trÝ thÝch hîp. ThÝ dô 4. Cho hµm sè y = -x4 + 2mx2 - m2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m: a. Hµm sè nghÞch biÕn trªn (1; +¥) ? b. Hµm sè nghÞch biÕn trªn (-1; 0) vµ (2; 3)? ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = -4x3 + 4mx, y' = 0 Û -4x3 + 4mx = 0 Û -4x(x2 - m) = 0. a. Hµm sè nghÞch biÕn trªn (1; +¥) khi: y' £ 0, "xÎ(1; +¥) Û -4x(x2 - m) £ 0, "xÎ(1; +¥) Û x(x2 - m) ³ 0, "xÎ(1; +¥) Û f(x) = x2 - m ³ 0, "xÎ(1; +¥) Û f(1) ³ 0 Û 1 - m ³ 0 Û m £ 1. VËy, víi m £ 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. Hµm sè nghÞch biÕn trªn (-1; 0)È(2; 3) khi: y' £ 0, "xÎ(-1; 0)È(2; 3) Û -4x(x2 - m) £ 0, "xÎ(-1; 0)È(2; 3) Û 4x(x2 - m) ³ 0, "xÎ(-1; 0)È(2; 3) Û VËy, víi 1 £ m £ 4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. F Chó ý. §Ó hiÓu ®îc lËp luËn trong lêi gi¶i trªn c¸c em häc sinh h·y lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: NhËn thÊy ®å thÞ hµm sè f(x) = x2 - m lµ mét Parabol nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng vµ c¾t Oy t¹i ®iÓm S(0; -m). C¸ch 2: Sö dông kh¸i niÖm ®êng trßn cña h×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ng. D¹ng to¸n 3: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó chøng minh ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc Ph¬ng ph¸p B»ng viÖc xÐt hµm sè f(x) trªn ®o¹n [a; b], ta cã: a. NÕu f'(x) = 0, "xÎ[a; b] Û Hµm sè f(x) lµ hµm h»ng trªn [a; b] Þ f(x) = f(x0) víi x0Î[a; b]. b. NÕu f '(x) ³ 0, "xÎ[a; b] Û Hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn [a; b] Þ f(a) £ f(x) £ f(b). c. NÕu f '(x) £ 0, "xÎ[a; b] Û hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn [a; b] Þ f(b) £ f(x) £ f(a). ThÝ dô 1. Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x: A = sin2(x - ? Gi¶i XÐt hµm sè A = sin2(x - Ta cã: = sin(2x - = 2sin2x.cos Û Hµm sè kh«ng ®æi. Ngoµi ra ta cßn cã A = A(0) = VËy, ta cã A = F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "øng dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè chøng minh ®¼ng thøc ". Vµ ë ®©y, c¸c em cÇn nhí r»ng còng cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi lîng gi¸c thuÇn tuý ®Ó thùc hiÖn yªu cÇu trªn, cô thÓ ë ®©y ta sö dông c¸c c«ng thøc h¹ bËc. ThÝ dô 2. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: a. sinx < x víi mäi x > 0. b. sinx > x víi mäi x < 0. ? Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = sinx - x víi 0 < x < §¹o hµm: f'(x) = cosx - 1 < 0 víi 0 < x < a. Do ®ã: f(x) < f(0) víi 0 < x < Û sinx < x víi 0 < x < b. Sö dông kÕt qu¶ trªn víi lËp luËn: x < 0 Û -x > 0 Þ sin(-x) < -x Û -sinx < -x Û sinx > x, ®pcm. F NhËn xÐt: 1. Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "øng dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè chøng minh bÊt ®¼ng thøc". Vµ ë ®©y, c¸c em cÇn nhí r»ng ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc ¸p dông cho nh÷ng bÊt ®¼ng thøc kh«ng mÉu mùc. 2. §«i khi chóng ta kh«ng thÓ kh¼ng ®Þnh ®îc ngay r»ng f'(x) ³ 0, "xÎ[a; b] (hoÆc f '(x) £ 0, "xÎ[a; b]), trong c¸c trêng hîp nh vËy, mét thñ thuËt th«ng thêng ®îc ¸p dông lµ chóng ta liªn tiÕp tÝnh ®¹o hµm ®Ó h¹ bËc dÇn ®a thøc Èn x. 3. Tõ nh÷ng bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n trªn ngêi ta cã thÓ x©y dùng ra nh÷ng bÊt ®¼ng thøc phøc t¹p h¬n, cô thÓ: § Víi bÊt ®¼ng thøc sinx < x chóng ta x©y dùng ®îc bµi to¸n: "Chøng minh r»ng trong mäi DABC nhän ta ®Òu cã: sinA + sinB + sinC < p" § Víi bÊt ®¼ng thøc tanx > x chóng ta x©y dùng ®îc bµi to¸n: "Chøng minh r»ng trong mäi DABC nhän ta ®Òu cã: tanA + tanB + tanC > p" Vµ khi ®ã, ®Ó chøng minh nh÷ng bÊt ®¼ng thøc d¹ng trªn chóng ta cÇn thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: Lùa chän hµm ®Æc trng (y = sinx - x hoÆc tanx - x). Bíc 2: Chøng minh hµm sè lu«n ®¬n ®iÖu trªn D. Bíc 3: ¸p dông. ThÝ dô 3. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: a. sinx > x - ? Gi¶i a. XÐt hµm sè f(x) = x - §¹o hµm: f'(x) = 1 - f'''(x) = -1 + cosx < 0 víi x > 0 Û f''(x) nghÞch biÕn víi x > 0 Þ f''(x) < f''(0) víi x > 0 Û f''(x) < 0 víi x > 0 Û f'(x) nghÞch biÕn víi x > 0 Þ f'(x) < f'(0) víi x > 0 Û f'(x) < 0 víi x > 0 Û f(x) nghÞch biÕn víi x > 0 Þ f(x) < f(0) víi x > 0 Û x - Û sinx > x - b. Sö dông kÕt qu¶ trªn víi lËp luËn: x < 0 Û -x > 0 Þ (-x) - Û sinx < x - F Chó ý: VÝ dô tiÕp theo sÏ minh ho¹ mét ph¬ng ph¸p kh¸c, ®ã lµ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®Ó x¸c ®Þnh dÊu cña y’. ThÝ dô 4. Chøng minh r»ng sinx + tanx > 2x víi mäi x Î ? Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = sinx + tanx - 2x, cã ®¹o hµm: f'(x) = cosx + NhËn xÐt r»ng víi cosx + Û f'(x) > 0 víi 0 < x < Û f(x) > f(0) víi 0 < x < Û sinx + tanx > 2x víi mäi x Î D. F Chó ý: 1. BÊt ®¼ng thøc s¸t h¬n so víi bÊt ®¼ng thøc trªn lµ: 2sinx + tanx > 3x víi mäi x Î 2. Vµ tõ bÊt ®¼ng thøc nµy ngêi ta x©y dùng ®îc: "Chøng minh r»ng trong mäi DABC nhän ta ®Òu cã: Vµ ®Ó gi¶i bµi to¸n trªn ta thùc hiÖn nh sau: ViÕt l¹i bÊt ®¼ng thøc díi d¹ng: XÐt hµm sè f(x) = 2sinx + tanx - 3x trªn kho¶ng Hµm sè ®ång biÕn trªn VËy, ta ®îc: 2sinA + tanA - 3A > 0. (1) 2sinB + tanB - 3B > 0. (2) 2sinC + tanC - 3C > 0. (3) Céng theo vÕ (1), (2), (3) ta ®îc bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. D¹ng to¸n 4: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ Ph¬ng ph¸p Sö dông c¸c tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh lµ d¹ng to¸n kh¸ quen thuéc, ta cã c¸c híng ¸p dông sau: Híng 1: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(x) = k. (1) Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x), dïng lËp luËn kh¼ng ®Þnh hµm sè ®¬n ®iÖu. Bíc 3: Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) nÕu cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. T×m x0 sao cho f(x0) = k. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = x0. Híng 2: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(x) = g(x). (2) Bíc 2: XÐt c¸c hµm sè y = f(x) vµ y = g(x). Dïng lËp luËn kh¼ng ®Þnh hµm sè y = f(x) lµ ®ång biÕn cßn hµm sè y = g(x) lµ hµm h»ng hoÆc nghÞch biÕn. Bíc 3: Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (2) nÕu cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. T×m x0 sao cho f(x0) = g(x0). VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = x0. Híng 3: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(u) = f(v). (3) Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x). Dïng lËp luËn kh¼ng ®Þnh hµm sè ®¬n ®iÖu. Bíc 3: Khi ®ã: (3) Û u = v víi "u, vÎDf. ThÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh tanx - x = 0. ? Gi¶i §iÒu kiÖn: cosx ≠ 0 XÐt hµm sè f(x) = tanx - x víi Û Hµm ®ång biÕn trªn Do ®ã, nÕu ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. Ta thÊy: f(0) = 0 - 0 = 0 nªn x = 0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "øng dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè gi¶i ph¬ng tr×nh". Vµ ë ®©y, c¸c em cÇn nhí r»ng ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc ¸p dông cho nh÷ng ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. ThÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh ? Gi¶i §iÒu kiÖn: Tíi ®©y ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: XÐt hµm sè Û Hµm nghÞch biÕn trªn D. Do ®ã, nÕu ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. Ta thÊy: f(0) = 1 - 1 = 0 nªn x = 0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. C¸ch 2: Ta lÇn lît: § XÐt hµm sè § XÐt hµm sè g(x) = 2x3 + 6x trªn D = [-1; 1], ta cã: g’(x) = 6x2 + 6 > 0, "xÎD Û Hµm sè g(x) ®ång biÕn trªn D. Do ®ã, nÕu ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. Víi x = 0, ta thÊy: 1 - 1 = 0 + 0 Û 0 = 0, ®óng nªn x = 0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. C¸ch 3: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: XÐt hµm sè Khi ®ã: (1) Û f(1 - x) = f(1 + x) Û 1 - x = 1 + x Û x = 0. VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0. ThÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x3 - |x2 - 3x + 2| + 6x - 7 > 0. ? Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = x3 - |x2 - 3x + 2| + 6x - 7. § MiÒn x¸c ®Þnh D = § §¹o hµm: f’(x) = MÆt kh¸c ta cã f(1) = 0, suy ra bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x > 1. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "øng dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh". Vµ ë ®©y, c¸c em cÇn nhí r»ng ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc ¸p dông cho nh÷ng bÊt ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. ThÝ dô 4. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sinmx + cosmx = 1 nghiÖm ®óng víi mäi x. ? Gi¶i §Æt f(x) = sinmx + cosmx, khi ®ã yªu cÇu bµi to¸n ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng: f(x) = 1, "x Û Gi¶i (1): Ta ®îc: m.cosx. sinm - 1x - msinx.cosm - 1x = 0, "x Û m.sinx.cosx(sinm - 2x - cosm - 2x) = 0, "x Û Ta xÐt tõng trêng hîp cña m ®Ó gi¶i (2): § Víi m = 0, ta ®îc: f § Víi m = 2, t¬ng tù ta ®îc f VËy, víi m = 2 ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x. ThÝ dô 5. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ? Gi¶i ViÕt ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ díi d¹ng: sinx + x = siny + y. (*) XÐt hµm sè f(t) = sint + t trªn D, ta cã: f '(t) = cost + 1 > 0 víi VËy, ph¬ng tr×nh (*) ®îc viÕt díi d¹ng: f(x) = f(y) Û x = y. Khi ®ã, hÖ cã d¹ng: VËy, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "øng dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh". Vµ ë ®©y, c¸c em cÇn nhí r»ng ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc ¸p dông cho nh÷ng hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. §2. cùc trÞ cña hµm sè D¹ng to¸n 1: T×m cùc trÞ cña hµm sè Ph¬ng ph¸p §Ó t×m cùc trÞ cña hµm sè y = f(x), ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. Bíc 2: TÝnh ®¹o hµm y', råi t×m c¸c ®iÓm tíi h¹n (th«ng thêng lµ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0), gi¶ sö cã x = x0. Bíc 3: Lùa chän mét trong hai híng: Híng 1: NÕu xÐt dÊu ®îc y' th× lËp b¶ng biÕn thiªn råi ®a ra kÕt luËn dùa vµo ®Þnh lÝ: §Þnh lÝ 1: NÕu hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trong kho¶ng (a; b) vµ y'(x0) = 0 víi x0Î(a; b). a. NÕu qua x0 ®¹o hµm ®æi dÊu tõ ©m sang d¬ng th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x0. b. NÕu qua x0 ®¹o hµm ®æi dÊu tõ d¬ng sang ©m th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x0. Híng 2: NÕu kh«ng xÐt dÊu ®îc y' th×: T×m ®¹o hµm bËc hai y". TÝnh y''(x0) råi ®a ra kÕt luËn dùa vµo ®Þnh lÝ: §Þnh lÝ 2: NÕu hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trong kho¶ng (a; b) vµ y'(x0) = 0 víi x0Î(a; b). a. NÕu y''(x0) < 0 th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0. b. NÕu y''(x0) > 0 th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0. ThÝ dô 1. T×m cùc trÞ cña hµm sè y = ? Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Sö dông quy t¾c 1): Ta lÇn lît cã: § Ta cã ®iÒu kiÖn: 8 - x2 ³ 0 Û ½x½ £ § §¹o hµm: y' = - § B¶ng biÕn thiªn:
VËy, hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0 vµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè lµ f(0) = C¸ch 2: (Sö dông quy t¾c 2): Ta lÇn lît cã: § Ta cã ®iÒu kiÖn: 8 - x2 ³ 0 Û ½x½ £ § §¹o hµm: y' = - § Ta cã: y'' = VËy, hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0 vµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè lµ f(0) = F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt hai c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "T×m cùc trÞ cña hµm sè" dùa trªn hai quy t¾c t¬ng øng. Vµ ë ®©y, c¸c em cÇn nhí r»ng quy t¾c 2 thêng chØ ®îc sö dông khi gÆp khã kh¨n trong viÖc xÐt dÊu y’ hoÆc víi bµi to¸n chøa tham sè. Vµ b¾t dÇu tõ ®©y, viÖc ®a ra lêi kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn ®îc dµnh cho b¹n ®äc. ThÝ dô 2. T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè: y = ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = x2 + 4x + 3, y' = 0 Û x2 + 4x + 3 = 0 Û x = -1 hoÆc x = -3. Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn:
B¹n ®äc tù kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn. F NhËn xÐt: Hµm ®a thøc bËc ba tæng qu¸t cã d¹ng: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, víi a ¹ 0 cã ®¹o hµm: y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 Û 3ax2 + 2bx + c = 0. Tõ ®ã, suy ra hµm sè cã 2 cùc trÞ hoÆc kh«ng cã cùc trÞ. ThÝ dô 3. T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè: y = x4 - 2x2 - 1. ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 4x3 - 4x, y' = 0 Û 4x3 - 4x = 0 Û x = 0 hoÆc x = ±1. Giíi h¹n B¶ng biÕn thiªn:
B¹n ®äc tù kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn. F NhËn xÐt: Hµm ®a thøc d¹ng trïng ph¬ng cã 3 hoÆc 1 cùc trÞ. ThÝ dô 4. T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè y = ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 1 - Giíi h¹n: B¶ng biÕn thiªn:
B¹n ®äc tù kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn. F NhËn xÐt: Hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt tæng qu¸t cã 2 cùc trÞ hoÆc kh«ng cã cùc trÞ. C¸c em häc sinh cÇn nhí r»ng gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm ph©n thøc ThËt vËy: y' = y'(x0) = 0 Û Û u'(x0).v(x0) = u(x0).v'(x0) Û KÕt qu¶ trªn ®îc sö dông ®Ó: 1. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cùc trÞ cña c¸c hµm ph©n thøc h÷u tØ. 2. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng, ®êng cong ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña c¸c hµm ph©n thøc h÷u tØ. Ngoµi ra, víi hµm ph©n thøc h÷u tØ cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu th× yC§ < yCT , ®iÒu nµy kh¼ng ®Þnh sù kh¸c biÖt gi÷a kh¸i niÖm vÒ cùc ®¹i, cùc tiÓu vµ gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè. §Ó t×m cùc trÞ cña hµm sè chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: BiÕn ®æi hµm sè vÒ d¹ng: y = Bíc 2: T×m miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè. Bíc 3: TÝnh ®¹o hµm: y’ = y’ = 0 Þ nghiÖm (nÕu cã). Bíc 4: B¶ng biÕn thiªn, tõ ®ã ®a ra lêi kÕt luËn. ThÝ dô 5. T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè y = |x|(x + 2). ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: y = Giíi h¹n B¶ng biÕn thiªn:
B¹n ®äc tù kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn. F Chó ý: C¸c vÝ dô 2, 3, 4, 5 ®· miªu t¶ cùc trÞ cña ba d¹ng hµm sè c¬ b¶n trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng. C¸c thÝ dô tiÕp theo sÏ minh ho¹ viÖc sö dông dÊu hiÖu 2 cho c¸c hµm lîng gi¸c hoÆc kh«ng mÉu mùc. ThÝ dô 6. T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña c¸c hµm sè: a. y = x - sin2x + 2. b. y = 3 - 2cosx - cos2x. ? Gi¶i a. MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 1 - 2cos2x, y'' = 4sin2x. y' = 0 Û 1 - 2cos2x = 0 Û cos2x = Ta cã: § Víi y'' Þ hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i c¸c ®iÓm § Víi y'' Þ hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i c¸c ®iÓm b. MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 2sinx + 2sin2x, y'' = 2cosx + 4cos2x. y' = 0 Û 2sinx + 2sin2x = 0 Û 2(1 + 2cosx)sinx = 0 Û Ta cã: § Víi y'' § Víi x = kp ta nhËn ®îc: y''(kp) = 2cos(kp) + 4cos(2kp) = 2cos(kp) + 4 > 0 Þ hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i c¸c ®iÓm x = kp, kÎ D¹ng to¸n 2: T×m m ®Ó hµm sè y = f(x, m) cã cùc trÞ Ph¬ng ph¸p §Ó thùc hiÖn c¸c yªu cÇu vÒ ®iÒu kiÖn cã cùc trÞ cña hµm sè y = f(x) ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: MiÒn x¸c ®Þnh. Bíc 2: TÝnh ®¹o hµm y'. Bíc 3: Lùa chän theo mét trong hai híng: Híng 1: NÕu xÐt ®îc dÊu cña y' th× sö dông dÊu hiÖu I víi lËp luËn: Hµm sè cã k cùc trÞ Û Ph¬ng tr×nh y' = 0 cã k nghiÖm ph©n biÖt vµ ®æi dÊu qua c¸c nghiÖm ®ã Híng 2: NÕu kh«ng xÐt ®îc dÊu cña y' hoÆc bµi to¸n yªu cÇu cô thÓ vÒ cùc ®¹i ho¹c cùc tiÓu th× sö dông dÊu hiÖu II, b»ng viÖc tÝnh thªm y". Khi ®ã: 1. Hµm sè cã cùc trÞ Û hÖ sau cã nghiÖm thuéc D 2. Hµm sè cã cùc tiÓu Û hÖ sau cã nghiÖm thuéc D 3. Hµm sè cã cùc ®¹i Û hÖ sau cã nghiÖm thuéc D 4. Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x0 ®iÒu kiÖn lµ: 5. Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x0 ®iÒu kiÖn lµ: Ngoµi ra, víi hµm ®a thøc y = f(x) th× ®iÒu kiÖn ®Ó "Hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm x0" lµ: ThÝ dô 1. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, hµm sè: y = lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: y = x - m2 + §¹o hµm: y' = 1 - y' = 0 Û 1 - Tøc lµ y' = 0 lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt thuéc D vµ ®æi dÊu qua hai nghiÖm nµy, do ®ã hµm sè lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "Chøng minh hµm sè lu«n cã cùc trÞ " dùa trªn quy t¾c 1. Trong trêng hîp bµi to¸n trªn ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng "T×m m ®Ó hµm sè cã cùc trÞ" th× ®Ó t¨ng ®é khã cho yªu cÇu ngêi ta thêng ®ßi hái thªm nh sau: a. Hoµnh ®é (hoÆc tung ®é) c¸c ®iÓm cùc trÞ thuéc kho¶ng K, khi ®ã chóng ta chØ cÇn thiÕt lËp ®iÒu kiÖn : m ± 1 Î K hoÆc y(m ± 1) Î K Û [2x - m(m+1)](m ± 1) Î K. b. To¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn K, khi ®ã chóng ta thùc hiÖn: § To¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ: (m + 1, 2 + m - m2) vµ (m - 1, -2 + m - m2) § ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn K, tõ ®ã nhËn ®îc gi¸ trÞ cña m. c. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn K, khi ®ã chóng ta thùc hiÖn: § Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ: (d): y = 2x - m(m + 1) § ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn K, tõ ®ã nhËn ®îc gi¸ trÞ cña m. ... Vµ trong tÊt c¶ c¸c ®ßi hái kÌm theo chØ cÇn c¸c em häc sinh biÕt c¸ch ph©n tÝch, ®Ó tõ ®ã ®a ra ®îc mét lîc ®å thùc hiÖn thÝch hîp. ThÝ dô 2. T×m c¸c hÖ sè a, b, c sao cho hµm sè f(x) = x3 + ax2 + bx + c ®¹t cùc trÞ b»ng 0 t¹i ®iÓm x = -2 vµ ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm A(1; 0). ? Gi¶i §¹o hµm f'(x) = 3x2 + 2ax + b vµ f”(x) = 6x + 2a. §Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ b»ng 0 t¹i ®iÓm x = -2 vµ ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm A(1; 0) ®iÒu kiÖn lµ: VËy, víi a = 3, b = 0 vµ c = -4 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt hai c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè cã cùc trÞ t¹i ®iÓm x0" dùa trªn quy t¾c 2. ThÝ dô 3. T×m m ®Ó c¸c hµm sè sau cã cùc trÞ: a. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: § TËp x¸c ®Þnh D = § §¹o hµm: y' = x2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2, y' = 0 Û x2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2 = 0. Hµm sè cã cùc trÞ khi ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã nghiÖm vµ ®æi dÊu qua nghiÖm ®ã: Û D’y’ > 0 Û m2 - 2m2 + 3m - 2 > 0 Û m2 - 3m + 2 < 0 Û 1 < m < 2. VËy, víi 1 < m < 2 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. Ta lÇn lît cã: § TËp x¸c ®Þnh D = § §¹o hµm: y' = cosx - m, y'' = -sinx. y' = 0 Û cosx - m = 0 Û cosx = m. Hµm sè cã cùc trÞ khi hÖ sau cã nghiÖm: VËy, víi F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· biÕt hai c¸ch tr×nh bµy d¹ng to¸n "T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè cã cùc trÞ " dùa trªn hai quy t¾c t¬ng øng. Vµ ë ®©y, c¸c em cÇn nhí r»ng quy t¾c 2 thêng chØ ®îc sö dông khi gÆp khã kh¨n trong viÖc xÐt dÊu y’ hoÆc yªu cÇu cô thÓ vÒ cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hµm sè. ThÝ dô 4. T×m c¸c hÖ sè a, b, c, d cña hµm sè f(x) = ax3 + bx2 + cx + d sao cho hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 0, f(0) = 0 vµ ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x = 1, f(1) = 1. ? Gi¶i §¹o hµm: f'(x) = 3ax2 + 2bx + c, f"(x) = 6ax + 2b. §Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 0, f(0) = 0 vµ ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x = 1, f(1) = 1 ®iÒu kiÖn lµ: VËy, víi a = -2, b = 3 vµ c = d = 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. ThÝ dô 5. Cho hµm sè f(x) = x3 + px + q. a. Víi ®iÒu kiÖn nµo ®Ó hµm sè cã mét cùc ®¹i vµ mét cùc tiÓu ? b. Chøng minh r»ng nÕu gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ gi¸ trÞ cùc tiÓu tr¸i dÊu th× ph¬ng tr×nh: x3 + px + q = 0 (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt. c. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt lµ 4p3 - 27q2 > 0. ? Gi¶i a. MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: f'(x) = 3x2 + p, f'(x) = 0 Û 3x2 + p = 0. (*) §Ó hµm sè cã mét cùc ®¹i vµ mét cùc tiÓu ®iÒu kiÖn lµ: Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt Û p < 0. VËy, víi p < 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. Víi hµm sè trªn (liªn tôc trªn Khi ®ã: f(xCD) > 0 vµ f(xCT) < 0 suy ra: f(c1).f(xCD) < 0; f(xCD).f(xCT) < 0; f(xCT).f(c2) < 0. VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã cã ba nghiÖm ph©n biÖt. c. Ta cã: f(xCD).f(xCT) < 0 Û ( Û (3 Û [(3 Û (2pxC§ + 3q)(2pxCT + 3q) < 0 Û 4p2xC§.xCT + 6q(xC§ + xCT) + 9q2 < 0 Û 4p2 F Chó ý: 1. C¸c em häc sinh cÇn ghi nhËn ph¸t biÓu cña c©u b) nh mét ph¬ng ph¸p ®Ó t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè sao cho ph¬ng tr×nh bËc ba cã ba nghiÖm ph©n biÖt. 2. Qua c¸c thÝ dô 2, 3, 4 chóng ta bíc ®Çu lµm quen víi viÖc t×m cùc trÞ cña hµm ®a tøc bËc ba (lµ d¹ng hµm sè c¬ b¶n cña ch¬ng tr×nh to¸n THPT). ThÝ dô tiÕp theo sÏ minh ho¹ c¸ch thùc hiÖn khi bµi to¸n ghÐp thªm tÝnh chÊt K cho c¸c ®iÓm cùc trÞ cña d¹ng hµm sè nµy. ThÝ dô 6. Cho hµm sè: y = x3 - 3mx2 + 4m3. X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng y = x. ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 3x2 - 6mx, y' = 0 Û 3x2 - 6mx = 0 Û f(x) = x2 - 2mx = 0 (1) Û Tríc hÕt, hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu Û (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt Û m ¹ 0. Khi ®ã, to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ A(0, 4m3) vµ B(2m, 0). §Ó c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè ®èi xøng víi nhau qua ®êng th¼ng (d): y = x ®iÒu kiÖn lµ: VËy, víi m = ± F Chó ý: Trong trêng hîp nghiÖm ph¬ng tr×nh (1) chøa c¨n thøc, ta nªn chän ph¬ng ph¸p sau: MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 3x2 - 6mx, y' = 0 Û 3x2 - 6mx = 0 Û f(x) = x2 - 2mx = 0 (1) Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt, tøc: D' = 36m2 > 0 Û m ≠ 0. Khi ®ã, hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc ®¹i , cùc tiÓu tho¶ m·n: Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc y cho y' (thùc chÊt chia cho f(x)), ta ®îc: y = (x2 - 2mx)(x - m) - 2m2x + 4m3, nªn nÕu M(x0; y0) lµ ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè th×: y0 = -2m2x0 + 4m3 Þ A(xA; -2m2xA + 4m3) vµ B(xB; -2m2xB + 4m3). Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta cã: §Ó c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè ®èi xøng víi nhau qua ®êng th¼ng (d): y = x ®iÒu kiÖn lµ: ThÝ dô 7. Cho hµm sè: y = X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu vµ hai ®iÓm ®ã n»m vÒ hai phÝa ®èi víi trôc Ox. ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = Hµm sè cã cùc trÞ Û ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 1 Û Tíi ®©y chóng ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch tr×nh bµy sau: C¸ch 1: Víi ®iÒu kiÖn (2) ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n: Ta cã: y(x1) = § Hai ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa ®èi víi trôc Ox Û y(x1)y(x2) < 0 Û ( 2mx1 + 3m)( 2mx2 + 3m) < 0 Û m2[4x1.x2 + 6( x1 + x2) + 9] < 0 Û m2 - 4m < 0 Û 0 < m < 4. (3) KÕt hîp (2) vµ (3) ta ®îc 0 < m < 4. VËy, víi 0 < m < 4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. C¸ch 2: (Sö dông ®å thÞ): Hai ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa ®èi víi trôc Ox Û y = 0 v« nghiÖm Û mx2 + 3mx + 2m + 1 = 0 v« nghiÖm (*) Û D < 0 Û 9m2 - 4m(2m + 1) < 0 Û m2 - 4m < 0 Û 0 < m < 4. (3') KÕt hîp (2) vµ (3') ta ®îc 0 < m < 4. VËy, víi 0 < m < 4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. F Chó ý: Thùc tÕ, ®Ó ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ta cÇn xÐt hai trêng hîp: Trêng hîp 1. Víi m = 0 Trêng hîp 2. Víi m ¹ 0, khi ®ã (*) v« nghiÖm khi: Tuy nhiªn, víi bµi to¸n trªn ta chØ cÇn D < 0 v× tõ (2) dÔ thÊy: - F Chó ý: ThÝ dô tiÕp theo, chóng ta sÏ quan t©m tíi tÝnh chÊt cùc trÞ cña hµm trïng ph¬ng. ThÝ dô 8. Cho hµm sè: y = x4 - 2mx2 + 2m. X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè cã c¸c ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu: a. LËp thµnh mét tam gi¸c ®Òu. b. LËp thµnh mét tam gi¸c vu«ng. c. LËp thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 16. ? Gi¶i Ta lÇn lît cã: § MiÒn x¸c ®Þnh D = § §¹o hµm: y' = 4x3 - 4mx = 4x(x2 - m), y' = 0 Û x(x2 - m) = 0. (1) Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi: (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt Û m > 0. (*) Khi ®ã, (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt x = 0, x = A(0; 2m), B(- a. Ta cã DABC ®Òu khi: Û m4 - 3m = 0 VËy, víi m = b. Do tÝnh ®èi xøng cña hai ®iÓm B, C qua Oy (A thuéc Oy) nªn DABC chØ cã thÓ vu«ng t¹i A. Khi ®ã, ta cã ®iÒu kiÖn: AB ^ AC Û -m + m4 = 0 VËy, víi m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. c. V× DABC c©n t¹i A nªn: VËy, víi m = 4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. F Chó ý: Trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc vµ cao ®¼ng mét c©u hái ®¬n lÎ cã thÓ ®îc ®Æt ra vÒ ®iÒu kiÖn cùc trÞ cña c¸c d¹ng hµm sè kh¸c (trÞ tuyÖt ®èi, v« tØ, …) khi ®ã chØ cÇn c¸c em n¾m v÷ng kiÕn thøc ®· ®îc tr×nh bµy trong bµi to¸n tæng qu¸t. ThÝ dô 9. Cho hµm sè y = a. Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ. b Hµm sè cã cùc tiÓu. ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = a. Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ khi: Ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm Û a = 0. VËy, víi a = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. Hµm sè cã cùc tiÓu khi: (1) cã nghiÖm vµ qua ®ã y' ®æi dÊu tõ ©m sang d¬ng Û a < 0. VËy, víi a < 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. §3. gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè D¹ng to¸n 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (gtln), gi¸ trÞ nhá nhÊt (gtnn) cña hµm sè Ph¬ng ph¸p §Ó t×m gtll, gtnn cña hµm sè y = f(x), ta lùa chän mét trong ba c¸ch sau: C¸ch 1: (Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t trùc tiÕp): LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn D , råi dùa vµo ®ã ®Ó kÕt luËn. C¸ch 2: Víi yªu cÇu "T×m gtln, gtnn cña hµm sè y = f(x) trªn ®o¹n [a; b]", ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh y' råi gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0 víi xÎ(a; b). Gi¶ sö c¸c nghiÖm lµ x1, x2, ... Bíc 2: TÝnh f(a), f(b), f(x1) , f(x2), ... Bíc 3: So s¸nh c¸c sè võa tÝnh, tõ ®ã: § § C¸ch 3: (Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t gi¸n tiÕp): Ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: §Æt ®èi sè míi X = j(x). T×m tËp gi¸ trÞ DX cho X. Bíc 2: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y = F(X) trªn DX , råi dùa vµo ®ã ®Ó kÕt luËn. ThÝ dô 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = ? Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: §iÒu kiÖn: §¹o hµm: y' = B¶ng biÕn thiªn:
VËy, ta cã: § § C¸ch 2: §iÒu kiÖn: §¹o hµm: y' = VËy, ta cã: § § C¸ch 3: §iÒu kiÖn: Ta lÇn lît cã: y = Þ y = Þ F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn c¸c em häc sinh ®· ®îc lµm quen víi ba ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ót t×m gtln vµ gtnn cña hµm sè vµ: 1. ë c¸ch 1, chóng ta ®· sö dông b¶ng biÕn thiªn ®Ó nhËn ®îc gtln vµ gtnn cña hµm sè. Tuy nhiªn, mét c©u hái thêng ®îc ®Æt ra ë ®©y lµ "B»ng c¸ch nµo ®Ó cã ®îc dÊu cña y’ trong b¶ng biÕn thiªn ®ã ?", c©u tr¶ lêi kh¸ ®¬n gi¶n lµ víi 2. ë c¸ch 2, chÝnh lµ ph¬ng ph¸p t×m gtln vµ gtnn cña hµm sè trªn mét ®o¹n. 3. ë c¸ch 3, chóng ta ®· sö dông kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc. ThÝ dô 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè f(x) = sin4x + cos4x. ? Gi¶i Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch: C¸ch 1: (Sö dông ®¹o hµm): V× hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× p vµ lµ hµm sè ch½n nªn ta xÐt trªn D = [0; §¹o hµm: y' = 4cosx.sin3x - 4sinx.cos3x = 2(sin2x - cos2x)sin2x = -sin4x, y' = 0 Û sin4x = 0 Û x = B¶ng biÕn thiªn:
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta cã: § yMin = § yMax = 1, ®¹t ®îc khi x = C¸ch 2: (Sö dông c¸ch ®¸nh gi¸): Ta cã: f(x) = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2x.cos2x = 1 - Tõ ®ã, suy ra: f(x) ³ 1 - sin22x = 1 Û cos2x = 0 Û x = f(x) £ 1 Þ sin22x = 0 Û sin2x = 0 Û x = ThÝ dô 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè: a. y = 2sin2x + 2sinx - 1. b. y = cos22x - sinx.cosx + 4. ? Gi¶i a. §Æt t = sinx, ®iÒu kiÖn ½t½£ 1. Hµm sè ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: y = 2t2 + 2t - 1. §¹o hµm: y' = 4t + 2, y' = 0 Û 4t + 2 = 0 Û t = - Ta cã: y(-1) = -1, y(- VËy, ta nhËn ®îc: § t = 1 Û sinx = 1 Û x = § t = - b. §Æt t = sin2x, ®iÒu kiÖn ½t½£ 1. Hµm sè ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: y = (1 - sin22x) - §¹o hµm: y' = -2t - Ta cã: y(-1) = VËy, ta nhËn ®îc: § t = - § t = 1 Û sin2x = 1 Û x = F Chó ý: Trong nhiÒu trêng hîp, chóng ta cÇn sö dông mét vµi phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®Ó lµm xuÊt hiÖn Èn phô cho híng gi¶i quyÕt gi¸n tiÕp. ThÝ dô 4. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx|. ? Gi¶i V× y > 0 víi mäi x nªn ta ®i xÐt hµm sè: Y = y2 = 6 + 4(sinx + cosx) + 2|1 + 2(sinx + cosx) + 4sinx.cosx| §Æt X = sinx + cosx ®iÒu kiÖn |X| £ VËy, ta ®îc: Y = 6 + 4X + 2|1 + 2X + 2(X2 - 1)| = § MiÒn x¸c ®Þnh D = [ - § §¹o hµm: Y' = § B¶ng biÕn thiªn: ®Æt x1 =
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta cã: § § ThÝ dô 5. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = ? Gi¶i BiÕn ®æi hµm sè vÒ d¹ng: y = §Æt X = sin22x ®iÒu kiÖn 0 £ X £ 1. Khi ®ã: y = F(X) = MiÒn x¸c ®Þnh D = [0; 1]. §¹o hµm: y' = Ta cã ngay: § X = 1 Û sin22x = 1 Û cos2x = 0 Û x = § X = 0 Û sin22x = 0 Û sin2x = 0 Û x = D¹ng to¸n 2: øng dông gtln, gtnn cña hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh Ph¬ng ph¸p 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: §Ó sö dông gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè vµo viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh: f(x, m) = g(m). (1) ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: LËp luËn sè nghiÖm cña (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè (C): y = f(x, m) vµ ®êng th¼ng (d): y = g(m). Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x, m) § T×m miÒn x¸c ®Þnh D. § TÝnh ®¹o hµm y', råi gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0. § LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè. Bíc 3: KÕt luËn: § Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Û § Ph¬ng tr×nh cã k nghiÖm ph©n biÖt khi (d) c¾t (C) t¹i k ®iÓm ph©n biÖt. § Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Û (d) Ç (C) = Æ. 2. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: §Ó sö dông gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè vµo viÖc gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: f(x, m) £ g(m), ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: XÐt hµm sè y = f(x, m): § T×m miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè. § TÝnh ®¹o hµm y', råi gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0. § LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè. Bíc 2: KÕt luËn cho c¸c trêng hîp nh sau: § BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi xÎD Û § BÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi xÎD Û T¬ng tù cho bÊt ph¬ng tr×nh f(x, m)³g(m) víi lêi kÕt luËn: § BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi xÎD Û § BÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi xÎD Û ThÝ dô 1. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh x3 - 3x2 + m = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt. ? Gi¶i BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x3 - 3x2 = -m. Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b»ng sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = x3 - 3x2 víi ®êng th¼ng y = -m. XÐt hµm sè y = x3 - 3x2 trªn D = y' = 3x2 - 6x, y' = 0 Û 3x2 - 6x = 0 Û x = 0 hoÆc x = 2. B¶ng biÕn thiªn:
§Ó ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm ph©n biÖt ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ: -4 < -m < 0 Û 0 < m < 4. VËy, víi 0 < m < 4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. F Chó ý: Trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc vµ cao ®¼ng ®Ó t¨ng ®é khã cho ngêi ta cã thÓ hái thªm "H·y xÐt dÊu c¸c nghiÖm" hoÆc "Chøng tá r»ng khi ®ã ph¬ng tr×nh lu«n cã mét nghiÖm ©m" hoÆc "Chøng tá r»ng khi ®ã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm d¬ng", ..., vµ khi ®ã chóng ta sö dông nhËn xÐt r»ng gi¶ sö ba nghiÖm lµ x1 < x2 < x3, ta lu«n cã: x1 < 0 < x2 < 2 < x3. Ngoµi ra, víi c©u hái "BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn kho¶ng (a; b) hoÆc ®o¹n [a; b]" chóng ta sÏ nhóng kho¶ng hoÆc ®o¹n ®ã vµo b¶ng biÕn thiªn ®Ó biÖn luËn. ThÝ dô víi c©u hái "BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn (-1; 4]", chóng ta sÏ cã:
Tõ ®ã, ta cã: § Víi m < -4, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm trªn D = (-1; 4]. § Víi m = -4, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2 thuéc D. § Víi -4 < m < 0, ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm ph©n biÖt thuéc D. § Víi m = 0, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt thuéc D. § Víi 0 < m ≤ 16, ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm thuéc D. § Víi m > 16, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm trªn D. ThÝ dô 2. T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh -x3 + 3mx - 2 £ - ? Gi¶i Víi x ³ 1, ta biÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 3mx £ x3 + 2 - XÐt hµm sè f(x) = f'(x) = V©y, bÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng khi: VËy, víi m £ ThÝ dô 3. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: ? Gi¶i Gi¶i (1) ta ®îc - 1 £ x £ 4. XÐt bµi to¸n ngîc “ T×m m ®Ó hÖ v« nghiÖm “, tøc: x3 - 3|x|x - m2 - 15m < 0 "xÎ[-1; 4] Û x3 - 3|x|x < m2 + 15m "xÎ[-1; 4]. XÐt hµm sè y = x3 - 3|x|x = § MiÒn x¸c ®Þnh D = [ - 1, 4]. § §¹o hµm: y’ = § B¶ng biÕn thiªn:
VËy, hÖ v« nghiÖm khi Û 16 < m2 + 15m Û m2 + 15m - 16 > 0 Û VËy, hÖ cã nghiÖm khi -16 £ m £ 1. §4. ®å thÞ cña hµm sè phÐp tÞnh tiÕn hÖ täa ®é D¹ng to¸n 1: PhÐp tÞnh tiÕn hÖ täa ®é Ph¬ng ph¸p C©u hái thêng ®îc ®Æt ra lµ: "ViÕt c«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ Khi ®ã, ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: C«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ Bíc 2: Khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY ®êng cong (C) cã ph¬ng tr×nh: (C): Y = f(X + x0) - y0 Û (C): Y = F(X). (*) F NhËn xÐt: Ta cã hai trêng hîp ®Æc biÖt: ThÝ dô 1. Cho parabol (P): y = 2x2 - 3x + 1. a. X¸c ®Þnh ®Ønh I cña parabol (P). b. ViÕt c«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ ? Gi¶i a. Täa ®é ®Ønh I b. C«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ vµ khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY parabol (P) cã ph¬ng tr×nh: (P): Y - NhËn xÐt r»ng, trong hÖ täa ®é IXY hµm sè Y = 2X2 lµ hµm sè ch½n d㠮㠮å thÞ hµm sè nhËn ®êng th¼ng x = F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn, ta cã: a. Víi hµm ®a thøc bËc hai (Parabol) (P): y = ax2 + bx + c, ta cã: b. §Ó chøng minh ®å thÞ hµm sè y = f(x) nhËn ®êng th¼ng x = a lµm trôc ®èi xøng, ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Víi phÐp biÕn ®æi to¹ ®é: hµm sè cã d¹ng: Y = f(X + a) Û Y = F(X). (*) Bíc 2: NhËn xÐt r»ng hµm sè (*) lµ hµm sè ch½n nªn ®å thÞ hµm sè nhËn ®êng th¼ng x = a lµm trôc ®èi xøng. ThÝ dô 2. Cho ®êng cong (C) cã ph¬ng tr×nh y = 2 - ? Gi¶i C«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ vµ khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY hµm sè cã ph¬ng tr×nh: Y + 2 = 2 - NhËn xÐt r»ng, trong hÖ täa ®é IXY hµm sè (*) lµ hµm sè lÎ dã ®ã nã nhËn ®iÓm I lµm t©m ®èi xøng. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn, ta cã: a. Víi hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt (H): y = b. §Ó chøng minh ®å thÞ hµm sè y = f(x) nhËn ®iÓm I(a; b) lµm t©m ®èi xøng, ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Víi phÐp biÕn ®æi to¹ ®é: hµm sè cã d¹ng: Y + b = f(X + a) Û Y = F(X). (*) Bíc 2: NhËn xÐt r»ng hµm sè (*) lµ hµm sè lÎ nªn ®å thÞ hµm sè nhËn ®iÓm I(a; b) lµm t©m ®èi xøng. ThÝ dô 3. Cho hµm sè: f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1. a. X¸c ®Þnh ®iÓm I thuéc ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho biÕt r»ng hoµnh ®é cña ®iÓm I lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f"(x) = 0. b. ViÕt c«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ c. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng cong (C) t¹i ®iÓm I ®èi víi hÖ täa ®é Oxy. Chøng minh r»ng trªn kho¶ng(-¥; 1) ®êng cong (C) n»m díi tiÕp tuyÕn t¹i I cña (C) vµ trªn kho¶ng (1; +¥) ®êng cong (C) n»m trªn tiÕp tuyÕn ®ã. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: § MiÒn x¸c ®Þnh D = § §¹o hµm: f'(x) = 3x2 - 6x - 2, f''(x) = 6x - 6, f''(x) = 0 Û 6x - 6 = 0 Û x = 1 Þ I(1; -1). b. C«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ vµ khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY ®êng cong (C) cã ph¬ng tr×nh: (C): Y - 1 = (X + 1)3 - 3(X + 1)2 + 2(X + 1) - 1 Û (C): Y = X3 - X. NhËn xÐt r»ng, trong hÖ täa ®é IXY hµm sè Y = X3 - 3X lµ hµm sè lÎ dã ®ã nã nhËn ®iÓm I lµm t©m ®èi xøng. c. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng cong (C) t¹i ®iÓm I ®èi víi hÖ täa ®é Oxy, cã d¹ng: (d): y = f'(xI)(x - xI) + f(xI) Û (d): y = -5(x - 1) - 1 Û (d): y = -5x + 4. XÐt hiÖu: H = x3 - 3x2 + 2x - 1 - (-5x + 4) = x3 - 3x2 + 7x - 5 = (x - 1)(x2 - 2x + 5) Tõ ®ã, suy ra: § NÕu H > 0 Û (x - 1)(x2 - 2x + 5) > 0 Û x - 1 > 0 Û x > 1. Tøc lµ, trªn kho¶ng(1; +¥) ®êng cong (C) n»m trªn tiÕp tuyÕn (d). § NÕu H < 0 Û (x - 1)(x2 - 2x + 5) < 0 Û x - 1 < 0 Û x < 1. Tøc lµ, trªn kho¶ng(-¥; 1) ®êng cong (C) n»m díi tiÕp tuyÕn (d). F NhËn xÐt: Qua vÝ dô trªn, ta thÊy víi hµm ®a thøc bËc ba: (C): y = ax3 + bx2 + cx + d, ta cã: Ngoµi ra, tiÕp tuyÕn t¹i I sÏ cã hÖ sè gãc lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt tuú thuéc vµo dÊu cña a. D¹ng to¸n 2: T×m t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng cña ®å thÞ Ph¬ng ph¸p Sö dông c¸c kÕt qu¶ trong hai nhËn xÐt cña thÝ dô 1 vµ thÝ dô 2. ThÝ dô 1. X¸c ®Þnh t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè y = ? Gi¶i Gäi I(x0; y0) lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè, khi ®ã c«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ vµ khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY hµm sè cã ph¬ng tr×nh: Y + y0 = §Ó I(x0; y0) lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè ®iÒu kiÖn lµ hµm sè trong (*) ph¶i lµ hµm lÎ, suy ra: VËy, t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè lµ I(1; 1). ThÝ dô 2. Cho hµm sè: y = x4 + 4mx3 - 2x2 - 12mx. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã trôc ®èi xøng song song víi Oy. ? Gi¶i Gi¶ sö ®å thÞ hµm sè cã trôc ®èi xøng song song víi Oy lµ x = a (a ¹ 0). Khi ®ã, víi phÐp biÕn ®æi to¹ ®é: vµ khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY hµm sè cã ph¬ng tr×nh: Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 - 2(X + a)2 - 12m(X + a) lµ hµm sè ch½n. Ta cã: Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 - 2(X + a)2 - 12m(X + a) = X4 + 4a2X2 + a4 + 4aX3 + 2a2X2 + 4a3X + + 4m(X3 + 3X2a + 3X a2 + a3) - 2(X2 + 2Xa + a2) - 12m(X + a) = X4 + 4(a + m)X3 + 2(3a2 + 6am - 1)X2 + + 4(a3 + 3ma2 - a - 3m)X + a4 + 4ma3 - 2a2 - 12ma. (1) VËy, víi m = ± 1 ®å thÞ hµm sè cã trôc ®èi xøng song song víi Oy. §5. ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ D¹ng to¸n 1: TiÖm cËn cña ®å thÞ hµm ph©n thøc h÷u tØ Ph¬ng ph¸p 1. Mäi hµm ph©n thøc h÷u tØ bËc nhÊt trªn bËc nhÊt y = 2. Mäi hµm ph©n thøc h÷u tØ bËc hai trªn bËc nhÊt y = y = th× ®êng th¼ng y = kx + m lµ tiÖm cËn xiªn v×: ThÝ dô 1. a. T×m tiÖm cËn ®øng vµ tiÖm c©n xiªn cña ®å thÞ (C) cña hµm sè: y = b. X¸c ®Þnh giao ®iÓm I cña hai tiÖm cËn trªn vµ viÕt c«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ c. ViÕt ph¬ng tr×nh cña ®êng cong (C) ®èi víi hÖ to¹ ®é IXY. Tõ ®ã, suy ra r»ng ®å thÞ (C) nhËn ®iÓm I lµm t©m ®èi xøng. ? Gi¶i a. ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: y = x - 1 - TËp x¸c ®Þnh D = Tõ ®ã, ta nhËn ®îc kÕt luËn: § §êng th¼ng x = -2 lµ tiÖm cËn ®øng v× § §êng th¼ng y = x - 1 lµ tiÖm cËn xiªn v× b. Ta lÇn lît cã: § Giao ®iÓm I(-2; -3). § C«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ c. Khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY (C) cã ph¬ng tr×nh: (C): Y - 3 = (X - 2) - 1 - NhËn xÐt r»ng, trong hÖ täa ®é IXY hµm sè Y = X - F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn, ta thÊy víi hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt (H): Ngoµi ra, víi c¸c hµm h÷u tØ kh¸c chóng ta sö dông ®Þnh nghÜa ®Ó x¸c ®Þnh tiÖm cËn ®øng, tiÖm cËn xiªn (hoÆc tiÖm cËn ngang) cho ®å thÞ hµm sè. ThÝ dô 2. T×m c¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè y = ? Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: y = x + 2 + Tõ ®ã, ta nhËn ®îc kÕt luËn: § §êng th¼ng x = 0 lµ tiÖm cËn ®øng v× § §êng th¼ng x = 2 lµ tiÖm cËn ®øng v× § §êng th¼ng y = x + 2 lµ tiÖm cËn xiªn v× VËy, ®å thÞ hµm sè cã ba ®êng tiÖm cËn. F Chó ý: ThÝ dô tiÕp theo sÏ minh ho¹ c¸c yªu cÇu thêng dc ®Æt ra víi tiÖm cËn cña hµm ph©n thøc h÷u tØ chøa tham sè. ThÝ dô 3. Cho hµm sè a. Chøng tá r»ng víi mäi m ®å thÞ hµm sè lu«n cã hai tiÖm cËn. b. T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè ®Õn gèc to¹ ®é b»ng 1. c. T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè ®Õn gèc to¹ ®é nhá nhÊt. d. T×m m ®Ó hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch b»ng 2. ? Gi¶i a. §å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm cËn khi TS vµ MS cã nghiÖm chung, tøc lµ: VËy, víi mäi m ®å thÞ hµm sè lu«n cã hai tiÖm cËn lµ: § §êng th¼ng (d1): x = m - 1 lµ tiÖm cËn ®øng v× § §êng th¼ng (d2): y = m lµ tiÖm cËn ngang v× b. Víi t©m ®èi xøng I(m - 1; m), ta cã: OI = 1 Û (m - 1)2 + m2 = 2 Û 2m2 - 2m = 0 Û m = 0 hoÆc m = 1. VËy, víi m = 0 hoÆc m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. c. Víi t©m ®èi xøng I(m - 1; m), ta cã: OI2 = (m - 1)2 + m2 = 2m2 - 2m + 1 suy ra VËy, víi m = 0 hoÆc m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. d. Ta cã: § (d1) c¾t Ox t¹i ®iÓm A(m - 1; 0). § (d2) c¾t Oy t¹i ®iÓm B(0; m). Khi ®ã, tõ gi¶ thiÕt ta cã: OA.OB = 2 Û ½m - 1½.|m½ = 2 Û ½m2 - m½ = 2 VËy, víi m = -1 hoÆc m = 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. ThÝ dô 4. Cho hµm sè: (Cm): y = T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè t¹o víi c¸c trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 18. ? Gi¶i ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: y = x + m + 1 + Tríc tiªn, ®Ó ®å thÞ hµm sè cã tiÖm cËn xiªn ®iÒu kiÖn lµ m ¹ 0. (*) Khi ®ã, ®å thÞ hµm sè cã tiÖm cËn xiªn lµ (d): y = x + m + 1. Gäi A, B theo thø tù lµ giao ®iÓm cña (d) víi c¸c trôc Ox, Oy, ta ®îc: A(-m - 1; 0) vµ B(0; m + 1). §Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè t¹o víi c¸c trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 18 ®iÒu kiÖn lµ: S DOAB = 18 Û 18 = Û (m + 1)2 = 36 Û VËy, víi m = 5 hoÆc m = -7 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn, c¸c em häc hinh cÇn ghi nhËn viÖc x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn ®Ó ®å thÞ hµm ph©n thøc h÷u tØ bËc hai trªn bËc nhÊt cã tiÖm cËn xiªn. D¹ng to¸n 2: TiÖm cËn cña ®å thÞ hµm v« tØ Ph¬ng ph¸p Sö dông ®Þnh nghÜa vµ quy t¾c t×m tiÖm cËn hai phÝa. Víi hµm sè: (C): y = ®Ó t×m c¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gi¶ sö (d): y = a1x + b1 lµ tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a = = Khi ®ã, ta ®îc tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i cña ®å thÞ (C) lµ: (d1): y = - Bíc 2: Gi¶ sö (d): y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a = = Khi ®ã, ta ®îc tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña ®å thÞ (C) lµ: (d2): y = Ph¬ng ph¸p ®îc më réng cho líp hµm sè: y = cx + d ± ThÝ dô 1. T×m c¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ c¸c hµm sè ? Gi¶i a. MiÒn x¸c ®Þnh D = § Gi¶ sö (d1): y = a1x + b1 lµ tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a1 = b1 = = VËy, ®êng th¼ng (d1): y = -x - § Gi¶ sö (d2): y = a2x + b2 lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a2 = b2 = VËy, ®êng th¼ng (d2): y = x + b. MiÒn x¸c ®Þnh D = (-¥; 1] È [3; +¥). § Gi¶ sö (d1): y = a1x + b1 lµ tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a1 = b1 = VËy, ®êng th¼ng (d1): y = - x + 2 lµ tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i cña (C). § Gi¶ sö (d2): y = a2x + b2 lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a2 = b2 = VËy, ®êng th¼ng (d2): y = x - 2 lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña (C). F Ho¹t ®éng: Qua thÝ dô trªn, c¸c em häc h·y gi¶i thÝch t¹i sao cÇn cã ®iÒu kiÖn A > 0 cña hµm sè ThÝ dô 2. T×m c¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ c¸c hµm sè ? Gi¶i a. MiÒn x¸c ®Þnh D = § Gi¶ sö (d1): y = a1x + b1 lµ tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a1 = b1 = VËy, ®êng th¼ng (d1): y = 0 lµ tiÖm cËn ngang bªn ph¶i cña (C). § Gi¶ sö (d2): y = a2x + b2 lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a2 = b2 = VËy, ®êng th¼ng (d2): y = 2x lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña (C). b. §iÒu kiÖn: x2 - 1 ³ 0 Û ½x½ ³ 1 Þ D = (-¥; - 1] È [1; +¥). MiÒn x¸c ®Þnh D = (-¥; - 1] È [1; +¥). § Gi¶ sö (d1): y = a1x + b1 lµ tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a1 = b1 = VËy, ®êng th¼ng (d1): y = 0 lµ tiÖm cËn ngang bªn ph¶i cña (C). § Gi¶ sö (d2): y = a2x + b2 lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña ®å thÞ hµm sè, ta cã: a2 = b2 = VËy, ®êng th¼ng (d2): y = 2x lµ tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i cña (C). F Ho¹t ®éng: Qua thÝ dô trªn, c¸c em häc h·y gi¶i thÝch t¹i sao hai hµm sè ®ã l¹i cã cïng tiÖm cËn. F Chó ý: Víi c¸c ®å thÞ hµm sè v« tØ d¹ng kh¸c, ®Ó x¸c ®Þnh c¸c ®êng tiÖm cËn ta cã thÓ thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: T×m miÒn x¸c ®Þnh D vµ miÒn gi¸ trÞ I (nÕu cã thÓ) cña hµm sè, nÕu D hoÆc I cã chøa ¥ th× thùc hiÖn bíc 2 cßn tr¸i l¹i kÕt luËn ®å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm cËn. Bíc 2: Dùa vµo D vµ I t×m c¸c tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè. NÕu hµm sè chøa c¨n bËc ch½n, nãi chung ta thêng ph¶i t×m c¸c tiÖm cËn bªn tr¸i vµ bªn ph¶i. ThÝ dô 3. T×m c¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ c¸c hµm sè: ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn: 2 - x2 ³ 0 Û ½x½ £ MiÒn gi¸ trÞ I cña hµm sè ®îc x¸c ®Þnh nh sau: 2 - x2 £ 2 Þ VËy, ®å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm cËn. b. Ta cã ®iÒu kiÖn: Û Ta cã: VËy, ®å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm cËn. F Chó ý: Víi c¸c ®å thÞ hµm sè v« tØ d¹ng ph©n thøc h÷u tØ, chóng ta cã thÓ ®¸nh gi¸ ®îc sù tån t¹i cña tiÖm cËn xiªn hoÆc tiÖm cËn ngang dùa trªn viÖc ®¸nh gi¸ bËc cña tö sè vµ mÉu sè. ThÝ dô 4. T×m c¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ c¸c hµm sè: ? Gi¶i a. §iÒu kiÖn: x2 - 1 > 0 Û ½x½ > 1 Þ D = (-¥; -1) È (1; +¥). Ta lÇn lît: § V× § V× § TiÖm cËn ngang bªn ph¶i, ta cã: VËy, ®å thÞ (C) cã tiÖm cËn ngang bªn ph¶i lµ y = -1. § TiÖm cËn ngang bªn tr¸i, ta cã: VËy, ®å thÞ (C) cã tiÖm cËn ngang bªn tr¸i lµ y = 1. b. §iÒu kiÖn Ta lÇn lît: § V× § TiÖm cËn xiªn (d): y = ax + b, ta cã: = VËy, ®å thÞ (C) cã tiÖm cËn xiªn lµ §6. kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm ®a thøc D¹ng to¸n 1: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm ®a thøc bËc ba Ph¬ng ph¸p Víi hµm sè: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, víi a ¹ 0 ta lÇn lît cã: a. TËp x¸c ®Þnh D = b. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 Û 3ax2 + 2bx + c = 0. LËp b¶ng biÕn thiªn: Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ®a ra kÕt luËn vÒ c¸c kho¶ng ®ång biÕn, nghÞch biÕn vµ cùc trÞ cña hµm sè. c. §å thÞ: § §iÓm uèn: y'' = 6ax + 2b, y'' = 0 Û 6ax + 2b = 0 Û x = - V× y" ®æi dÊu khi x qua ®iÓm - § Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é (trong trêng hîp ®å thÞ kh«ng c¾t c¸c trôc täa ®é hoÆc viÖc t×m täa ®é giao ®iÓm phøc t¹p th× bá qua phÇn nµy). NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn ®iÓm uèn U lµm t©m ®èi xøng. Do cã bèn trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn nªn ®å thÞ cña hµm bËc ba cã bèn d¹ng sau ®©y:
ThÝ dô 1. Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 - 4. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Tuú theo gi¸ trÞ cña m h·y biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: -x3 - 3x2 + 4 + m = 0. c. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i ®iÓm uèn. d. Chøng minh r»ng ®iÓm uèn lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ. a. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: = § B¶ng biÕn thiªn: y' = 3x2 + 6x, y' = 0 Û 3x2 + 6x = 0 Û
Tõ b¶ng biÕn thiªn, ta cã: - Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (-¥; -2) vµ (0; +¥). - Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (-2; 0). - Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm (-2; 0) vµ cùc tiªu t¹i ®iÓm (0; -4). 3. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = 6x + 6, y'' = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = -1. V× y" ®æi dÊu khi x qua ®iÓm -1 nªn ®å thÞ hµm sè cã mét ®iÓm uèn lµ I(-1; -2). § Giao cña ®å thÞ hµm sè víi trôc tung lµ A(0; -4). § Giao cña ®å thÞ hµm sè víi trôc hoµnh: x3 + 3x2 - 4 = 0 Û (x - 1)(x2 + 4x + 4) = 0 Û b. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: x3 + 3x2 - 4 = m. Khi ®ã, sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh chÝnh b»ng sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi ®êng th¼ng y = m, do ®ã ta cã kÕt luËn: § Víi m < -4 hoÆc m > 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. § Víi m = -4 hoÆc m = 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. § Víi -4 < m < 0 ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm ph©n biÖt. c. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i ®iÓm uèn I cã d¹ng: (dI): y + 2 = y'(-1)(x + 1) Û (dI): y = -3x - 5. d. C«ng thøc chuyÓn hÖ to¹ ®é trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ vµ khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY (C) cã ph¬ng tr×nh: (C): Y - 2 = (X - 1)3 + 3(X - 1)2 - 4 Û (H): Y = X3 - 3X. NhËn xÐt r»ng, trong hÖ täa ®é IXY hµm sè Y = X3 - 3X lµ hµm sè lÎ dã ®ã nã nhËn gèc täa ®é I lµm t©m ®èi xøng. VËy, ®iÓm uèn lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ. ThÝ dô 2. Cho hµm sè: y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2). a. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®· cho c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = -1. ? Gi¶i a. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) = 0 Û §Ó ®å thÞ hµm sè ®· cho c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt ®iÒu kiÖn lµ: Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -1 Û VËy, víi m tháa m·n (*) th× ®å thÞ hµm sè ®· cho c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. b. B¹n ®äc tù gi¶i. D¹ng to¸n 2: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm trïng ph¬ng Ph¬ng ph¸p Víi hµm sè: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, víi a ¹ 0 ta lÇn lît cã: a. TËp x¸c ®Þnh D = b. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0 Û 2x(2ax2 + b) = 0. LËp b¶ng biÕn thiªn: Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ®a ra kÕt luËn vÒ c¸c kho¶ng ®ång biÕn, nghÞch biÕn vµ cùc trÞ cña hµm sè. c. §å thÞ: § §iÓm uèn: y'' = 12ax2 + 2b. (1) NÕu (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× ®å thÞ hµm sè cã hai ®iÓm uèn: U1(x1; f(x1)) vµ U2(x2; f(x2)). § Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é (trong trêng hîp ®å thÞ kh«ng c¾t c¸c trôc täa ®é hoÆc viÖc t×m täa ®é giao ®iÓm phøc t¹p th× bá qua phÇn nµy). NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng. Do cã bèn trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn nªn ®å thÞ cña hµm bËc ba cã bèn d¹ng sau ®©y:
ThÝ dô 1. Cho hµm sè: y = x4 - 2mx2 + 2m. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho hµm sè cã ba cùc trÞ. ? Gi¶i a. Víi y = x4 - x2 + 1. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 4x3 - x, y' = 0 Û 4x3 - 2x = 0 Û x = 0 hoÆc
B¹n ®äc tù kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn. 3. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = 12x2 - 2, y'' = 0 Û 12x2 - 2 = 0 Û x = ± V× y" ®æi dÊu khi x qua c¸c ®iÓm ± § Ta t×m thªm vµi ®iÓm trªn ®å thÞ A(-1; 1), B(1; 1). B¹n ®äc tù vÏ h×nh. Ta lÇn lît nhËn ®îc hai tiÕp tuyÕn lµ: (d1): y = b. MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 4x3 - 4mx, y' = 0 Û 4x3 - 4mx = 0 Û 4x(x2 - m) = 0. (1) §Ó hµm sè cã ba cùc trÞ ®iÒu kiÖn lµ: Ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt Û m > 0. VËy, víi m > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. ThÝ dô 2. Cho hµm sè y = x4 - (m + 1)x2 + m. a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = -1. b. Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè ®· cho lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña m. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm). Khi ®ã: y0 = Û VËy, hä (Cm) lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh M1(-1; 0) vµ M2(1; 0). ThÝ dô 3. Cho hµm sè: f(x) = x4 - x2. a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho. b. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 4x3 - 2x, y' = 0 Û 4x3 - 2x = 0 Û
B¹n ®äc tù kÕt luËn dùa theo b¶ng biÕn thiªn. Page 6
3. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = 12x2 - 2, y'' = 0 Û 12x2 - 2 = 0 Û x = ± V× y" ®æi dÊu khi x qua c¸c ®iÓm ± § Ta t×m thªm vµi ®iÓm trªn ®å thÞ A(-1; 0), B(1; 0). b. §å thÞ y = |f(x)| gåm: 1. PhÇn tõ trôc hoµnh trë lªn cña ®å thÞ y = f(x). 2. §èi xøng phÇn ®å thÞ phÝa díi trôc hoµnh qua trôc hoµnh. §7. kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm ph©n thøc h÷u tØ D¹ng to¸n 1: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt Ph¬ng ph¸p Víi hµm sè: (C): y = ta lÇn lît cã: a. TËp x¸c ®Þnh b. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc, giíi h¹n v« cùc vµ c¸c ®êng tiÖm cËn: § B¶ng biÕn thiªn: - NÕu D = ad - bc > 0 Þ hµm sè ®ång biÕn trªn D. - NÕu D = ad - bc < 0 Þ hµm sè nghÞch biÕn trªn D. LËp b¶ng biÕn thiªn: Trêng hîp D > 0
Trêng hîp D < 0
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ®a ra kÕt luËn vÒ c¸c kho¶ng nghÞch biÕn cña hµm sè vµ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ. c. §å thÞ: § T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é (nÕu cã). NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn giao ®iÓm Do cã hai trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn nªn ®å thÞ cña hµm sè cã hai d¹ng sau ®©y:
ThÝ dô 1. Cho hµm sè a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. Tõ ®ã, suy ra ®å thÞ hµm sè b. Chøng minh r»ng giao ®iÓm I cña hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ lµ t©m ®èi xøng cña nã. c. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i giao ®iÓm A cña ®å thÞ víi trôc tung. d. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ ®· cho, biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã song song víi tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm A. Gi¶ sö tiÕp tuyÕn nµy tiÕp xóc víi (H) t¹i A’, chøng tá r»ng A vµ A’ ®èi xøng víi nhau qua giao ®iÓm I cña hai ®êng tiÖm cËn. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc, giíi h¹n v« cùc vµ c¸c ®êng tiÖm cËn: § B¶ng biÕn thiªn: Þ hµm sè nghÞch biÕn trªn D.
3. §å thÞ cña hµm sè: LÊy thªm c¸c ®iÓm: Hµm sè b. B¹n ®äc tù thùc hiÖn b»ng phÐp tÞnh tiÕn to¹ ®é. c. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng: d. TiÕp tuyÕn song song víi (dA) nªn cã hÖ sè gãc Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm A’ cña tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (H) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: Þ Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm A’ cã d¹ng: F NhËn xÐt: C¸c em häc sinh khi quan s¸t h×nh vÏ trªn sÏ rót ra ®îc ph¬ng ph¸p ®Ó vÏ ®å thÞ hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt, cô thÓ v× c¸c d¹ng hµm sè nµy lu«n ®¬n ®iÖu trªn miÒn x¸c ®Þnh cña nã vµ lu«n nhËn giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn lµm t©m ®èi xøng nªn ®Ó vÏ ®óng ®å thÞ cña nã c¸c em häc sinh h·y thùc hiÖn nh sau: a. Trong phÇn 3 (§å thÞ cña hµm sè) chóng ta lÊy hai ®iÓm A, B thuéc mét nh¸nh cña ®å thÞ (cã hoµnh ®é lín h¬n hoÆc nhá h¬n gi¸ trÞ cña tiÖm cËn ®øng). b. VÏ hÖ to¹ ®é cïng víi hai ®êng tiÖm cËn víi lu ý ®Ó t©m ®èi xøng I ë gi÷a h×nh. c. VÏ nh¸nh ®å thÞ chøa hai ®iÓm A, B tùa theo hai tiÖm cËn. d. LÊy hai ®iÓm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, råi thùc hiÖn vÏ nh¸nh ®å thÞ chøa A’, B’. ThÝ dô 2. Cho hµm sè (Hm): y = a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = 1. b. Chøng minh r»ng víi mäi m ¹ ± c. Chøng minh r»ng tÝch c¸c hÖ sè gãc cña c¸c tiÕp tuyÕn víi (Hm) t¹i hai ®iÓm A vµ B lµ mét h»ng sè khi m biÕn thiªn. ? Gi¶i a. Víi m = 1 hµm sè cã d¹ng: y = 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc, giíi h¹n v« cùc vµ c¸c ®êng tiÖm cËn: § B¶ng biÕn thiªn: y' =
3. §å thÞ cña hµm sè - B¹n ®äc tù vÏ h×nh. b. Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Hm). Khi ®ã: y0 = Û VËy, hä (Cm) lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh A(-2; 1) vµ M2(2; -1). c. Tríc tiªn, ta cã: y' = Khi ®ã, tÝch c¸c hÖ sè gãc cña c¸c tiÕp tuyÕn víi (Hm) t¹i hai ®iÓm A vµ B ®îc cho bëi: kA.kB = y'(-2).y'(2) = D¹ng to¸n 2: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt Ph¬ng ph¸p Víi hµm sè: y = ta lÇn lît cã: ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng y = f(x) = ax + b + a. TËp x¸c ®Þnh b. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc, giíi h¹n v« cùc vµ c¸c ®êng tiÖm cËn: § B¶ng biÕn thiªn: y' = a - DÊu cña ®¹o hµm lµ dÊu cña tam thøc g(x) = a(dx + e)2 - gd. VËy ph¬ng tr×nh y' = 0 hoÆc v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm kÐp hoÆc cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Do ®ã, hµm sè hoÆc kh«ng cã cùc trÞ hoÆc cã hai cùc trÞ. LËp b¶ng biÕn thiªn:
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ®a ra kÕt luËn vÒ c¸c kho¶ng ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn vµ cùc trÞ (nÕu cã) cña hµm sè. d. §å thÞ: § T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é (nÕu cã). NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn giao ®iÓm I cña hai ®êng tiÖm cËn lµm t©m ®èi xøng. Do cã bèn trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn nªn ®å thÞ cña hµm sè cã bèn d¹ng.
ThÝ dô 1. Cho hµm sè (H): a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. Tõ ®ã, suy ra ®å thÞ hµm sè (H’): b. Chøng minh r»ng giao ®iÓm I cña hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ lµ t©m ®èi xøng cña nã. c. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ ®· cho, biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm A(3; 3). ? Gi¶i a. 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc, giíi h¹n v« cùc vµ c¸c ®êng tiÖm cËn: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 1 +
3. §å thÞ cña hµm sè: LÊy thªm hai ®iÓm A(0; 2) vµ B(-1; 0). Ta cã: Tõ ®ã, ®å thÞ hµm sè (H’) gåm hai phÇn: § PhÇn ®å thÞ (H) víi x > 1. § LÊy ®èi xøng phÇn ®å thÞ (H) víi x < 1 qua trôc Ox. b. B¹n ®äc tù thùc hiÖn b»ng phÐp tÞnh tiÕn to¹ ®é. c. Gi¶ sö hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x = x0, khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: (d): y = y’(x0)(x - x0) + y(x0) Û (d): y = §iÓm AÎ(d) nªn: 3 = Û 3 = 3 - x0 + Û x0 - 1 = 1 Û x0 = 2. Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x0 = 2 cã d¹ng: (d): y = y'(2).(x - 2) + y(2) Û (dA): y = 3(x - 2). F NhËn xÐt: C¸c em häc sinh khi quan s¸t h×nh vÏ trªn sÏ rót ra ®îc ph¬ng ph¸p ®Ó vÏ ®å thÞ hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt, cô thÓ v× c¸c d¹ng hµm sè nµy lu«n nhËn giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn lµm t©m ®èi xøng nªn ®Ó vÏ ®óng ®å thÞ cña nã c¸c em häc sinh h·y thùc hiÖn nh sau: Kh¶ n¨ng 1: NÕu hµm sè cã cùc trÞ th× trong phÇn 3 (§å thÞ cña hµm sè) chóng ta lÊy hai ®iÓm A, B ®èi xøng víi nhau qua I, tõ ®ã: a. VÏ hÖ to¹ ®é cïng víi hai ®êng tiÖm cËn víi lu ý ®Ó t©m ®èi xøng I ë gi÷a h×nh. b. VÏ nh¸nh ®å thÞ chøa ®iÓm A vµ cùc trÞ t¬ng øng tùa theo hai tiÖm cËn. c. VÏ nh¸nh ®å thÞ chøa ®iÓm B vµ cùc trÞ t¬ng øng tùa theo hai tiÖm cËn. Kh¶ n¨ng 2: NÕu hµm sè kh«ng cã cùc trÞ chóng ta lÊy hai ®iÓm A, B thuéc mét nh¸nh cña ®å thÞ (cã hoµnh ®é lín h¬n hoÆc nhá h¬n gi¸ trÞ cña tiÖm cËn ®øng): a. VÏ hÖ to¹ ®é cïng víi hai ®êng tiÖm cËn víi lu ý ®Ó t©m ®èi xøng I ë gi÷a h×nh. b. VÏ nh¸nh ®å thÞ chøa hai ®iÓm A, B tùa theo hai tiÖm cËn. c. LÊy hai ®iÓm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, råi thùc hiÖn vÏ nh¸nh ®å thÞ chøa A’, B’. ThÝ dô 2. Cho hµm sè: (Cm): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1. b. T×m m ®Ó hµm sè cã ®iÓm cùc ®¹i, ®iÓm cùc tiÓu vµ kho¶ng c¸ch tõ hai ®iÓm ®ã ®Õn ®êng th¼ng x + y + 2 = 0 b»ng nhau. a. Víi m = 1, hµm sè cã d¹ng: y = Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc, giíi h¹n v« cùc vµ c¸c ®êng tiÖm cËn: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 1 -
3. §å thÞ cña hµm sè. b. Hµm sè cã ®¹o hµm: y' = Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi: (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -1 Û Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n: vµ to¹ ®é hai ®iÓm cùc trÞ lµ A(x1, 2x1 + 2m) vµ B(x2, 2x2 + 2m). Gäi d1, d2 theo thø tù lµ kho¶ng c¸ch tõ c¸c ®iÓm cùc trÞ A vµ B ®Õn ®êng th¼ng x + y + 2 = 0, ta cã: d1 = Do ®ã: d1 = d2 Û |3x1 + 2m + 2| = |3x2 + 2m + 2| Û VËy, víi m = §8. mét sè bµi to¸n thêng gÆp vÒ ®å thÞ D¹ng to¸n 1: (øng dông cña ®å thÞ gi¶i ph¬ng tr×nh): BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh F(x, m) = 0 (1) Ph¬ng ph¸p Gi¶ sö ta ®· cã ®å thÞ (hoÆc b¶ng bÕn thiªn) cña hµm sè (C): y = f(x), ta cã thÓ thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ban ®Çu vÒ d¹ng: f(x) = h(m) (2) Bíc 2: Khi ®ã, sè nghiÖm ph©n biÖt ph¬ng tr×nh cña (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) vµ ®êng th¼ng (d): y = h(m). § B»ng viÖc tÞnh tiÕn (d) theo Oy vµ song song víi Ox, ta biÖn luËn ®îc sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). ThÝ dô 1. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = -x3 + 3x2 - 1. -x3 + 3x2 - 1 = m. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = -3x2 + 6x, y' = 0 Û -3x2 + 6x = 0 Û x = 0 hoÆc x = 2.
3. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = -6x + 6, y'' = 0 Û -6x + 6 = 0 Û x = 1. V× y" ®æi dÊu khi qua ®iÓm x = 1 nªn ®å thÞ hµm sè cã mét ®iÓm uèn lµ U(1; 1). § Ta t×m thªm vµi ®iÓm trªn ®å thÞ A(-1; 3), B(3; -1). NhËn xÐt: §å thÞ nhËn ®iÓm uèn U(1; 1) lµm t©m ®èi xøng. b. NhËn xÐt r»ng sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh chÝnh b»ng sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi ®êng th¼ng y = m, do ®ã ta cã kÕt luËn: § Víi m < -1 hoÆc m > 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. § Víi m = -1 hoÆc m = 3 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. § Víi -1 < m < 3 ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm ph©n biÖt. F NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn: 1. ë c©u a), c¸c em häc sinh cã thÓ kiÓm nghiÖm ®îc tÝnh ®óng ®¾n cña néi dung chó ý sau d¹ng to¸n 1. Tõ ®ã, tiÕn tr×nh ®Ó vÏ ®îc ®å thÞ trªn cã thÓ ®îc gi¶i thÝch nh sau: § Tõ b¶ng biÕn thiªn vµ phÇn t×m ®iÓm uèn, chóng ta míi cã ®îc ba ®iÓm thuéc ®å thÞ lµ ®iÓm cùc ®¹i (§C§), ®iÓm cùc tiÓu (§CT), ®iÓm uèn (§U) vµ ba ®iÓm nµy lu«n th¼ng hµng (theo tÝnh chÊt cña hµm ®a thøc bËc ba), nªn chØ t¹o ra ®îc nh¸nh gi÷a cña ®å thÞ (øng víi b¶ng biÕn thiªn). § §Ó vÏ ®îc nhµnh phÝa tr¸i cÇn lÊy mét ®iÓm A cã hoµnh ®é x < 0. § §Ó vÏ ®îc nhµnh phÝa ph¶i cÇn lÊy mét ®iÓm B cã hoµnh ®é x > 2. § Tõ tÝnh ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè bËc ba (nhËn ®iÓm uèn lµm t©m ®èi xøng) chóng ta lÊy hai ®iÓm A, B cã hoµnh ®é ®èi xøng qua ® iÓm U. § Nèi b»ng ®êng th¼ng mê A ® CT ® U ® C § ® B. Sau ®ã lîn mét ®êng cong ®i qua c¸c ®iÓm ®ã. Lu ý r»ng trong phÇn ®å thÞ hµm sè, chóng ta bá qua: § ViÖc t×m giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi trôc Oy bëi ®ã chÝnh lµ ®iÓm CT. § ViÖc t×m giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi trôc Ox bëi ph¬ng tr×nh -x3 + 3x2 - 1 = 0 kh«ng cã nghiÖm nguyªn. 2. §Ó t¨ng ®é khã cho c©u hái biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, ngêi ta cã thÓ thay nã b»ng "T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 3", khi ®ã dùa vµo ®å thÞ c©u tr¶ lêi lµ m < -1. ThÝ dô 2. (§Ò thi ®¹i häc khèi A - 2006): a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4. b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2|x3| - 9x2 + 12|x| = m cã 6 nghiÖm ph©n biÖt.
a. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: = § B¶ng biÕn thiªn: y' = 6x2 - 18x + 12, y' = 0 Û 6x2 - 18x + 12 = 0 Û x = 1 hoÆc x = 2.
3. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = 12x - 18, y'' = 0 Û 12x - 18 = 0 Û V× y" ®æi dÊu khi qua §å thÞ nhËn ®iÓm uèn U lµm t©m ®èi xøng. § Ta t×m thªm vµi ®iÓm trªn ®å thÞ A(0; -4), B(3; -1). b. Hµm sè y = 2|x3| - 9x2 + 12|x| - 4 lµ hµm sè ch½n, nªn ®å thÞ (T) cña nã gåm hai phÇn: § PhÇn cña ®å thÞ hµm sè y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 víi x ≥ 0. § LÊy ®èi xøng phÇn cña ®å thÞ trªn qua Oy. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: 2|x3| - 9x2 + 12|x| - 4 = m - 4. Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh chÝnh b»ng sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (T) víi ®êng th¼ng y = m - 4, do ®ã ®Ó nã cã 6 nghiÖm ph©n biÖt ®iÒu kiÖn lµ: 0 < m - 4 < 1 Û 4 < m < 5. VËy, víi 4 < m < 5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. D¹ng to¸n 2: Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ Ph¬ng ph¸p Víi yªu cÇu thêng gÆp lµ "ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc k ®i qua ®iÓm M(x0; y0), biÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (d) vµ ®å thÞ hµm sè (C): y = f(x)", ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh D cña hµm sè y = f(x). Bíc 2: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®îc cho bëi: y = k(x - x0) + y0. Bíc 3: Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ (d) lµ: f(x) = k(x - x0) + y0. (1) Khi ®ã sè giao ®iÓm cña (d) vµ (C) lµ sè nghiÖm ph©n biÖt thuéc tËp D cña ph¬ng tr×nh (1). ThÝ dô 1. (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2006): Cho hµm sè: (C): y = x3 - 3x + 2. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(3; 20) vµ cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) c¾t ®å thÞ (C) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. §êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = m(x - 3) + 20. Hoµnh dé giao ®iÓm lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x3 - 3x + 2 = m(x - 3) + 20 Û (x - 3)(x2 + 3x + 6 - m) = 0. Û §Ó ®êng th¼ng (d) c¾t ®å thÞ (C) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt ®iÒu kiÖn lµ hÖ (I) cã ba nghiÖm ph©n biÖt, tøc: Ph¬ng tr×nh g(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 3 VËy, víi ThÝ dô 2. Cho hµm sè: (C): y = 2x3 + 3x2 + 1. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. T×m c¸c giao ®iÓm cña ®êng cong (C) víi parabol (P): y = 2x2 + 1. c. ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) vµ (P) t¹i c¸c giao ®iÓm cña chóng. d. X¸c ®Þnh c¸c kho¶ng trªn ®ã (C) n»m phÝa trªn hoÆc phÝa díi (P). ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cã d¹ng: 2x3 + 3x2 + 1 = 2x2 + 1 Û 2x3 + x2 = 0 (1) Û VËy, ta ®îc (C) Ç (P) = {A(0; 1), B(- c. V× A lµ giao ®iÓm kÐp (x = 0 lµ nghiÖm kÐp) nªn ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i A cña (C) vµ (P) gièng nhau, cô thÓ: (dA): y - 1 = y'(0).x Û (dA): y = 1. T¹i giao ®iÓm B lÇn lît víi (C) vµ (P): § Víi (C) ta cã y' = 6x2 + 6x do ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i B cã d¹ng: (d1B): y - § Víi (P) ta cã y' = 4x do ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i B cã d¹ng: (d2B): y - d. B»ng viÖc xÐt dÊu biÓu thøc ë VT cña (1), ta cã kÕt luËn: § (C) n»m díi (P) khi x thuéc (-¥; - § (C) n»m trªn (P) khi x thuéc (- ThÝ dô 3. a. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y = x2 - x + 1 vµ ®å thÞ (H) cña hµm sè y = b. T×m giao ®iÓm cña hai ®êng cong (P) vµ (H). Chøng minh r»ng hai ®êng cong ®ã cã tiÕp tuyÕn chung t¹i giao ®iÓm cña chóng. c. X¸c ®Þnh c¸c kho¶ng trªn ®ã (P) n»m phÝa trªn hoÆc phÝa díi cña (H). ? Gi¶i c. B¹n ®äc tù gi¶i. d. Hoµnh dé giao ®iÓm lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - x + 1 = Þ x3 = 0 Û x = 0 Þ A(0; 1). VËy, hai ®å thÞ (P) vµ (H) c¾t nhau t¹i ®iÓm A(0; 1). Ta lÇn lît cã: § Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i A cã d¹ng: (d1): y - 1 = y'(P)(0).x Û (d1): y = -x + 1. § Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (H) t¹i A cã d¹ng: (d2): y - 1 = y'(H)(0).x Û (d2): y = -x + 1. NhËn thÊy (d1) º (d2), tøc lµ (P) vµ (H) cã tiÕp tuyÕn chung t¹i A. e. B»ng viÖc xÐt dÊu biÓu thøc ë VT cña (1), ta cã kÕt luËn: § (H) n»m díi (P) khi x thuéc (-¥; -1) vµ (0; +¥). § (H) n»m trªn (P) khi x thuéc (-1; 0). ThÝ dô 4. Cho hµm sè: y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Víi c¸c gi¸ trÞ nµo cña m ®êng th¼ng (dm) ®i qua ®iÓm A(-2; 2) vµ cã hÖ sè gãc m c¾t ®å thÞ cña hµm sè ®· cho: § T¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ? § T¹i hai ®iÓm thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ ? ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. §êng th¼ng (dm) cã ph¬ng tr×nh: (dm): y = m(x + 2) + 2 Û (dm): y = mx + 2m + 2. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (dm) víi ®å thÞ hµm sè lµ: Û f(x) = mx2 + 3mx + 2m + 3 = 0 víi x ¹ -1. (1) § §êng th¼ng (dm) c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt: Û ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -1 Û Û m < 0 hoÆc m > 12. VËy, víi m < 0 hoÆc m > 12 ®å thÞ hµm sè c¾t ®êng th¼ng (dm) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. § §êng th¼ng (dm) c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ: Û ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 < -1 < x2 Û af(-1) < 0 Û m.3 < 0 Û m < 0. VËy, víi m < 0 ®å thÞ hµm sè c¾t ®êng th¼ng (dm) t¹i hai ®iÓm thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ. ThÝ dô 5. Cho hµm sè: (H): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y = mx + m - 1 lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh cña ®êng cong (H) khi m biÕn thiªn. c. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ®êng th¼ng ®· cho c¾t ®êng cong (H) t¹i hai ®iÓm thuéc cïng mét nh¸nh cña (H). ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä ®êng th¼ng. Khi ®ã: y0 = mx0 + m - 1, "m Û (x0 + 1)m - 1 - y0 = 0, "m Û VËy, hä ®êng th¼ng lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M(-1; -1) cña ®êng cong (H) khi m biÕn thiªn. c. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi ®å thÞ hµm sè lµ: Û f(x) = 2mx2 + 3(m - 1)x + m - 3 = 0 víi x ¹ - §êng th¼ng c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm thuéc mét nh¸nh cña ®å thÞ: Û (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 vÒ mét phÝa cña - Û VËy, víi -3 ¹ m < 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. ThÝ dô 6. Cho hµm sè (H): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®êng th¼ng y = m - x c¾t ®å thÞ hµm sè ®· cho t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ? c. Gäi A vµ B lµ hai giao ®iÓm ®ã. T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi m biÕn thiªn. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi ®å thÞ hµm sè lµ: §å thÞ hµm sè c¾t ®êng th¼ng (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B Û ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 kh¸c 1 Û VËy, víi m > 4 + c. Víi kÕt qu¶ trong b), ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm xA, xB tho¶ m·n: Khi dã, täa ®é trung ®iÓm M(x; y) cña AB ®îc cho bëi: Þ 30x - 6y - 12 = 0 Û 5x - y - 2 = 0. VËy, tËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi m biÕn thiªn thuéc ®êng th¼ng 5x - y - 2 = 0. ThÝ dô 7. Cho hµm sè y = x4 - (m + 1)x2 + m. a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = 2. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ®å thÞ hµm sè ®· cho c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm, t¹o thµnh ba ®o¹n th¼ng cã ®é dµi b»ng nhau. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. §å thÞ hµm sè ®· cho c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm, t¹o thµnh ba ®o¹n th¼ng cã ®é dµi b»ng nhau tøc lµ ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt víi hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi trôc hoµnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: y = x4 - (m + 1)x2 + m = 0. (1) §Æt t = x2, t ³ 0, khi ®ã (1) cã d¹ng: t2 - (m + 1)t + m = 0. (2) §å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (2) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt d¬ng 0 < t1 < t2 Û vµ khi ®ã bèn nghiÖm cña (1) lµ - Bèn nghiÖm trªn lËp thµnh cÊp sè céng: Û Theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt ta cã: Thay (3) vµo (I) ®îc: VËy, víi m = 9 hoÆc m = D¹ng to¸n 3: Sù tiÕp xóc cña hai ®å thÞ Ph¬ng ph¸p Sö dông mÖnh ®Ò: "Hai ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc nhau khi vµ chØ khi hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: Khi ®ã, nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh chÝnh lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm. ThÝ dô 1. Chøng minh r»ng ®å thÞ cña hai hµm sè: f(x) = tiÕp xóc víi nhau. X¸c ®Þnh tiÕp ®iÓm cña hai ®êng cong trªn vµ viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña chóng t¹i ®iÓm ®ã. ? Gi¶i XÐt hÖ ph¬ng tr×nh: Suy ra, ®å thÞ hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc víi nhau t¹i gèc O. § Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cã d¹ng: (d): y = g'(0).x Û (d): y = ThÝ dô 2. Chøng minh r»ng c¸c ®å thÞ cña ba hµm sè: f(x) = -x2 + 3x + 6, g(x) = x3 - x2 + 4 vµ h(x) = x2 + 7x + 8 tiÕp xóc víi nhau t¹i ®iÓm A(-1; 2). ? Gi¶i Ta lÇn lît thùc hiÖn: § XÐt hÖ ph¬ng tr×nh: Û x = -1 Þ y = 2. Suy ra, ®å thÞ hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc víi nhau t¹i ®iÓm A(-1; 2). § XÐt hÖ ph¬ng tr×nh: Û x = -1 Þ y = 2. Suy ra, ®å thÞ hai hµm sè y = f(x) vµ y = h(x) tiÕp xóc víi nhau t¹i ®iÓm A(-1; 2). ThÝ dô 3. T×m c¸c hÖ sè a vµ b sao cho parabol y = 2x2 + ax + b tiÕp xóc víi hypebol y = ? Gi¶i §Ó (P) tiÕp xóc víi (H) ®iÒu kiÖn lµ hÖ sau cã nghiÖm x = VËy, víi a = -6 vµ b = D¹ng to¸n 4: TiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè Ph¬ng ph¸p Víi hµm sè: (C): y = f(x) 1. TiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M0(x0; f(x0)) cña (C) cã ph¬ng tr×nh: (d): y - y0 = f'(x0)(x - x0). 2. Víi yªu cÇu "LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm A(xA; yA)", ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gi¶ sö hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x = x0, khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: (d): y - y(x0) = f'(x0)(x - x0). Bíc 2: §iÓm A(xA; yA) Î (d), ta cã: yA - y(x0) = f'(x0)(xA - x0) Þ TiÕp ®iÓm x0 Þ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn. C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: Ph¬ng tr×nh (d) ®i qua A(xA; yA) cã d¹ng: (d): y = k(x - xA) + yA. Bíc 2: (d) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè khi hÖ sau cã nghiÖm: Þ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn. 3. Víi yªu cÇu "LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè biÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng k", ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: XÐt hµm sè, ta tÝnh ®¹o hµm y' = f'(x). Bíc 2: Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh: f'(x) = k Þ Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm x0. Bíc 3: Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: (d): y - y(x0) = f'(x0)(x - x0). C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: Ph¬ng tr×nh víi hÖ sè gãc k cã d¹ng: (d): y = kx + b. Bíc 2: §Ó (d) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè khi hÖ sau cã nghiÖm: Þ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn. F Chó ý: Khi sö dông c¸ch 1 ngoµi viÖc cã ®îc ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chóng ta cßn nhËn ®îc to¹ ®é tiÕp ®iÓm. ThÝ dô 1. (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2004): Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d) cña (C) t¹i ®iÓm uèn vµ chøng minh r»ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d) t¹i ®iÓm uèn cña (C) lµ: (d): y = y'(2)(x - 2) + Ta cã: y' = x2 - 4x + 3, suy ra hÖ sè gãc cu¶ tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x0 thuéc ®å thÞ hµm sè (C) lµ: k = y'(x0) = tøc lµ kmin = - 1 ®¹t ®îc khi x0 = 2 = xU, ®pcm. ThÝ dô 2. (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2005): Cho hµm sè: (Cm): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2. b. Gäi M lµ ®iÓm thuéc (Cm) cã hoµnh ®é b»ng - 1. T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn cña (Cm) t¹i ®iÓm M song song víi ®êng th¼ng 5x - y = 0. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. Ta cã: y' = x2 - mx. Tõ gi¶ thiÕt, suy ra M(-1, - (d): y = y’(-1)(x + 1) - §Ó (d) song song víi ®êng th¼ng 5x - y = 0 ®iÒu kiÖn lµ: VËy, víi m = 4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. ThÝ dô 3. Cho hµm sè y = a. T×m a vµ b biÕt r»ng ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho ®i qua ®iÓm A b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi c¸c gi¸ trÞ cña a vµ b ®· t×m ®îc ë trong c©u a). ? Gi¶i a. Tríc tiªn ta cã: y' = Û -3 = b Û b = -3. V× ®iÓm A thuéc ®å thÞ hµm sè nªn: VËy, víi a = -2 vµ b = -3 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. B¹n ®äc tù gi¶i. ThÝ dô 4. Cho hµm sè (C): y = a. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i giao ®iÓm A cña ®å thÞ víi trôc tung. b. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè, biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm B(3; 4). c. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè, biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã song song víi tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm A. ? Gi¶i a. Täa ®é giao ®iÓm A lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng: (dA): y = y'(0).x - b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x = x0, khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuÕn cã d¹ng: (d): y - y(x0) = f'(x0)(x - x0) Û (d): TiÕp tuyÕn (d) ®i qua ®iÓm B nªn: Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: (d): C¸ch 2: §êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm B(3; 4) nªn cã ph¬ng tr×nh y = k(x - 3) + 4. §Ó (d) tiÕp xóc víi (C) khi hÖ sau cã nghiÖm: Û x = 3 Þ k = -3. Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d) cã d¹ng: y = -3x + 13. c. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: TiÕp tuyÕn song song víi (dA) nªn cã hÖ sè gãc Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 4 cã d¹ng: (d): y = y'(4).(x - 4) + y(4) Û (d): C¸ch 2: §êng th¼ng (d) song song víi (dA) nªn cã ph¬ng tr×nh §Ó (d) tiÕp xóc víi (C) khi hÖ sau cã nghiÖm: Khi ®ã, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d) cã d¹ng: ThÝ dô 3. (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2006): Cho hµm sè: a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C), biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi tiÖm cËn xiªn cña (C). ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù thùc hiÖn. b. §å thÞ hµm sè cã tiÖm cËn xiªn (dA): y = x - 1. TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi (dA) nªn cã hÖ sè gãc k = -1. Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: Khi ®ã: § Víi § Víi VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. D¹ng to¸n 5: §iÓm vµ ®å thÞ Ph¬ng ph¸p 1. Víi yªu cÇu "T×m ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm): y = f(x, m) víi mÎ Bíc 1: Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm). Bíc 2: Khi ®ã: y0 = f(x0, m), "m. Nhãm theo bËc cña m råi cho c¸c hÖ sè b»ng 0 ta nhËn ®îc cÆp gi¸ trÞ (x0; y0). Bíc 3: KÕt luËn. 2. Víi yªu cÇu "T×m ®iÓm M thuéc ®å thÞ hµm sè (C): y = f(x) tháa m·n ®iÒu kiÖn K", ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gi¶ sö M(x0; y0) = M(x0; f(x0)). Bíc 2: ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn K cho ®iÓm M. Bíc 3: KÕt luËn. ThÝ dô 1. (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2004): Cho hµm sè: (Cm): y = x3 - 3mx2 + 9x + 1, m lµ tham sè. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2. b. T×m m ®Ó ®iÓm uèn cña (Cm) thuéc ®êng th¼ng y = x + 1. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. MiÒn x¸c ®Þnh D = Ta lÇn lît cã c¸c ®¹o hµm: y’ = 3x2 - 6mx + 9, y" = 6x - 6m, y" = 0 Û 6x - 6m = 0 Û x = m, tøc lµ víi mäi m hµm sè lu«n cã ®iÓm uèn U(m, -2m3 + 9m + 1). §Ó U thuéc ®êng th¼ng y = x + 1, ®iÒu kiÖn lµ: - 2m3 + 9m + 1 = m + 1 Û m3 - 8m = 0 Û m = 0 hoÆc m = ±2. VËy, víi m = 0 hoÆc m = ±2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. ThÝ dô 2. Cho hµm sè (Cm): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = 1. b. Chøng minh r»ng hä (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. T×m ®iÓm cè ®Þnh ®ã. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm), khi ®ã: Û VËy, hä (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M(1; -1). ThÝ dô 3. Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. T×m trªn ®å thÞ hµm sè tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm cã c¸c to¹ ®é lµ nguyªn. c. T×m hai ®iÓm A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau cña ®å thÞ ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a chóng lµ nhá nhÊt. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. ViÕt l¹i hµm sè díi dang §iÓm A(x0; y0) (x0 ¹ - 2) thuéc ®å thÞ hµm sè cã hoµnh ®é nguyªn khi: x0 + 2 lµ íc cña 3. Ta cã b¶ng liÖt kª sau:
VËy, c¸c ®iÓm A1( -5; 2), A2(-3; 4), A3(-1; -2), A4(1; 0) thuéc ®å thÞ hµm sè cã to¹ ®é nguyªn. c. §å thÞ hµm sè cã ®êng tiÖm cËn ®øng lµ x = -2. XÐt hai ®iÓm A, B thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ, ta cã: A(-2 - x1; f(-2 - x1)), B(-2 + x2; f(-2 + x2)) víi x1, x2 > 0. Suy ra: AB2 = [(-2 - x1) - (-2 + x2)]2 + [ f(-2 - x1) - f(-2 + x2)]2 = (x2 + x1)2 + = (x2 + x1)2 + VËy, ta ®îc ABMin = 12, ®¹t ®îc khi: VËy, hai ®iÓm A, B cÇn t×m cã hoµnh ®é t¬ng øng lµ -2 - ThÝ dô 4. Cho hµm sè: (C): y = - x3 + 3x2 - 2. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. T×m c¸c ®iÓm thuéc ®å thÞ (C) mµ qua ®ã kÎ ®îc mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C). ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. XÐt ®iÓm A(a; -a3 + 3a2 - 2) thuéc ®å thÞ hµm sè. TiÕp tuyÕn qua A tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè t¹i M(x0, y(x0)) cã d¹ng (d): y = (-3 §iÓm AÎ(d) khi: - a3 + 3a2 - 2 = ( - 3 Û ( - 3 Û ( - 3 Û ( - 2 Û (a + 2x0 - 3)(a - x0)(a - x0) = 0 Û x0 = a hoÆc §Ó qua A kÎ ®îc mét tiÕp tuyÕn víi (C) ta ph¶i cã: a = VËy, ®iÓm A(1; 0) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. ThÝ dô 5. Cho hµm sè: (C): y = x + 1 + a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. T×m nh÷ng ®iÓm trªn ®å thÞ (C) cã hoµnh ®é lín h¬n 1 sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm ®ã t¹o víi hai ®êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. Ta cã: § TiÖm cËn ®øng x = 1 v× § TiÖm cËn xiªn y = x + 1 v× § To¹ ®é giao ®iÓm I cña hai tiÖm cËn lµ I(1; 2) § §¹ hµm y' = 1 - §iÓm M(a, y(a))Î(C) víi a > 1, khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: (d): y = y'(a)(x - a) + y(a) Û (d): y = To¹ ®é giao ®iÓm A cña tiÕp tuyÕn (d) vµ tiÖm cËn ®øng lµ nghiÖm cña hÖ: To¹ ®é giao ®iÓm B cña tiÕp tuyÕn (d) vµ tiÖm cËn xiªn lµ nghiÖm cña hÖ: Ta cã: AI = |xA - xI| = | BI2 = (xB - xI)2 + (yB - yI)2 = (2a - 2)2 + (2a - 2)2 = 8(a - 1)2 Þ BI = 2 AI.BI = AB2 = AI2 + BI2 - 2AI.BI.cos Chu vi DABI ®îc cho bëi: CV = AI + BI + ³ 2 Suy ra CVmin = 4 AI = BI Û V©y, to¹ ®é cña ®iÓm M cÇn t×m lµ M(1 + C. C¸c bµi to¸n chän läc Trong phÇn nµy, ®Ó thuËn tiÖn cho viÖc «n tËp, c¸c bµi to¸n chän läc sÏ ®îc ph©n lo¹i theo c¸c d¹ng hµm sè c¬ b¶n. I. Hµm ®a thøc bËc ba Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®a thøc bËc ba: TÝch chÊt 1: Hµm sè ®ång biÕn trªn TÝch chÊt 2: Hµm sè nghÞch biÕn trªn TÝch chÊt 3: Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi: D' = b2 - 3ac > 0. §Ó t×m gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm x0 trong trêng hîp x0 lµ sè lÎ, thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc y cho y' ta ®îc y = y'.g(x) + h(x). Suy ra: y0 = y(x0) = y'(x0).g(x0) + h(x0) = h(x0). Khi ®ã "Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè cã d¹ng y = h(x) ". TÝch chÊt 4: §å thÞ nhËn ®iÓm uèn U lµm t©m ®èi xøng. ThËt vËy, dêi trôc b»ng tÞnh tiÕn vÒ gèc U(x0, y0), trong ®ã: theo c«ng thøc dêi trôc lµ: Thay x, y vµo ph¬ng tr×nh hµm sè ta ®îc: Y + y0 = a(X + x0)3 + b(X + x0)2 + c(X + x0) + d Û Y = aX3 + g(x0)X. Hµm sè nµy lµ hµm lÎ nªn ®å thÞ nhËn U lµm t©m ®èi xøng. TÝch chÊt 5: TiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè cã hÖ sè gãc nhá nhÊt nÕu a > 0 vµ hÖ sè gãc lín nhÊt nÕu a < 0 trong c¸c tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ. ThËt vËy, ta cã: y' = 3ax2 + 2bx + c, suy ra hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i x = x0 lµ: k = y'(x0) = 3a § Víi a > 0, th× kMin = § Víi a < 0, th× kMax = Mµ y'' = 6ax + 2b nªn x0 = - TÝch chÊt 6: NÕu ®å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm c¸ch ®Òu nhau th× ®iÓm uèn n»m trªn trôc hoµnh. ThËt vËy, hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi Ox lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0. (1) § §å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i ba ®iÓm A, B, C c¸ch ®Òu nhau khi: (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt x1 < x2 < x3 tho¶ m·n Û x1 + x3 = 2x2. (2) § MÆt kh¸c theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt ta cã: x1 + x2 + x3 = - § Tõ (2) vµ (3) suy ra x2 = - § Ta cã: y' = 3ax2 + 2bx; y'' = 6ax + 2b, y'' = 0 Û x = - ®ã lµ hoµnh ®é ®iÓm uèn U cña ®å thÞ hµm sè, mµ f(- F Chó ý: KÕt qu¶ trªn cho ta ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó ®å thÞ hµm bËc ba c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm c¸ch ®Òu nhau (hoÆc "®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt víi hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng "). Khi ¸p dông ®iÒu kiÖn cÇn ®· nªu trªn, ta cÇn thö l¹i ®Ó cã ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ. TÝch chÊt 7: Víi ph¬ng tr×nh bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0, víi a ¹ 0. (1) a. Dù ®o¸n nghiÖm vµ ph©n tÝch thµnh nh©n tö § NÕu a + b + c + d = 0 th× (1) cã nghiÖm x = 1. § NÕu a - b + c - d = 0 th× (1) cã nghiÖm x = -1. § NÕu a, b, c, d nguyªn vµ (1) cã nghiÖm h÷u tû § NÕu (1) cã nghiÖm x0, th× (1) Û (x - x0)(ax2 + b1x + c1) = 0. b. C¸c ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc ba cã k nghiÖm ph©n biÖt Û ®å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i k ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng ph¸p 1: §¹i sè §o¸n nghiÖm x0 cña (1). Ph©n tÝch (1) thµnh: (x - x0)(ax2 + b1x + c1) = 0 Û VËy, ta ®îc: § (1) cã nghiÖm duy nhÊt (khi ®ã, ®å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i mét ®iÓm) khi: § (1) cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt (khi ®ã, ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi Ox) khi: § (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt (khi ®ã, ®å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt) khi: (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c x0 Û Ph¬ng ph¸p 2: Hµm sè d¹ng I BiÕn ®æi (1) vÒ d¹ng g(x) = h(m). LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y = g(x). Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn biÖn luËn vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng y = h(m) víi ®å thÞ hµm sè y = g(x). Ph¬ng ph¸p 3: Hµm sè d¹ng II XÐt hµm sè (C): y = ax3 + bx2 + cx + d. § (1) cã nghiÖm duy nhÊt khi (C) c¾t Ox t¹i mét ®iÓm Û § (1) cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt khi: (C) c¾t Ox t¹i hai ®iÓm ((C) tiÕp xóc víi Ox) Û Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu vµ yC§.yCT = 0 Û § (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt khi: (C) c¾t Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt Û Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu vµ yC§.yCT < 0 Û VÝ dô 1: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2003): Cho hµm sè: (Cm): y = x3 - 3x2 + m, víi m lµ tham sè. a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (Cm) cã hai ®iÓm ph©n biÖt ®èi xøng víi nhau qua gèc to¹ ®é. b. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2. ? Gi¶i a. Hai ®iÓm: A(xA, yA) víi yA = B(xB, yB) víi yB = thuéc ®å thÞ hµm sè. Hai ®iÓm A vµ B ®èi xøng víi nhau qua gèc to¹ ®é Û Thay (1), (2), (3) vµo (4) ta ®îc: 3 §Ó tån t¹i hai ®iÓm A vµ B th× ph¬ng tr×nh (5) ph¶i cã nghiÖm vµ do VËy, m > 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. B¹n ®äc tù lµm. VÝ dô 2: (§Ò thi ®¹i häc khèi A - 2002): Cho hµm sè: y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1. b. T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh - x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè. ? Gi¶i a. Víi m = 1 hµm sè cã d¹ng: (C): y = -x3 + 3x2. B¹n ®äc tù gi¶i tiÕp. b. Cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: - x3 + 3x2 = - k3 + 3k2. (1) VËy sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) vµ ®êng th¼ng y = - k3 + 3k2, do ®ã ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi: 0 < -k3 + 3k2 < 4 Û C¸ch 2: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x3 - k3 - 3x2 + 3k2 = 0 Û (x - k)[x2 + (k - 3)x + k2 - 3k] = 0 Û VËy, ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi: Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k Û c. Cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: y' = -3x2 + 6mx + 3(1 - m2), y' = 0 Û - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) = 0. (2) NhËn xÐt r»ng D(2) = 1 > 0, "m Û hµm sè lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. Khi ®ã thùc hiÖn phÐp chia y cho y', ta ®îc: y = y'.( Gäi (x0; y0) lµ to¹ ®é ®iÓm cùc ®¹i hoÆc cùc tiÓu cña ®å thÞ th× y'(x0) = 0. Do ®ã: y0 = y(x0) = y'(x0).( C¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cïng tho¶ ph¬ng tr×nh: y = 2x - m2 + m. (*) VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè cã d¹ng y = 2x - m2 + m. C¸ch 2: Ta cã: y' = -3x2 + 6mx + 3(1 - m2), y' = 0 Û -3x2 + 6mx + 3(1 - m2) = 0 Tøc lµ, hµm sè lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu, vµ to¹ ®é cña chóng lµ: A(m - 1; - m2 + 3m - 2) vµ B(m + 1; - m2 + 3m + 2). Khi ®ã, ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè chÝnh lµ ®êng th¼ng (AB), cã ph¬ng tr×nh cho bëi: (AB): Û (AB): y = 2x - m2 + m. VÝ dô 3: Cho hµm sè (C): y = x3 - 3x + 1. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh |x3 - 3x + 1| - m = 0. c. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: (1). Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = (2). Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 3x2 - 3, y' = 0 Û 3x2 - 3 = 0 Û x = ±1.
(3). §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = 6x, y'' = 0 Û 6x = 0 Û x = 0. V× y" ®æi dÊu khi x qua ®iÓm 0 nªn ®å thÞ hµm sè cã mét ®iÓm uèn lµ U(0; 1). NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn ®iÓm uèn U lµm t©m ®èi xøng. b. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: |x3 - 3x + 1| = m. Do vËy sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ y = |x3 - 3x + 1| víi ®êng th¼ng y = m + 1. §å thÞ cña hµm sè y = |x3 - 3x + 1| gåm: - PhÇn tõ trôc hoµnh trë lªn cña ®å thÞ (C). - §èi xøng phÇn ®å thÞ phÝa díi trôc hoµnh cña (C) qua trôc hoµnh. Suy ra: § Víi m < 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. § Víi m = 0, ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. § Víi 0 < m < 1, ph¬ng tr×nh cã 6 nghiÖm ph©n biÖt. § Víi m = 1, ph¬ng tr×nh cã 5 nghiÖm. § Víi 1 < m < 3, ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. § Víi m = 3, ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. § Víi m > 3, ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. c. Ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x = x0 khi ®ã tiÕp tuyÕn cã d¹ng: (d): y - y(x0) = y’(x0)(x - x0) Û (d): y = (3 §iÓm AÎ(d) suy ra: -1 = (3 Û (x0 - 1)(3 Khi ®ã: § Víi x0 = 1, ta ®îc tiÕp tuyÕn (d1): y = -1. § Víi x0 = 2, ta ®îc tiÕp tuyÕn (d2): y = 9x - 15. § Víi x0 = - VËy, qua A kÎ ®îc ba tiÕp tuyÕn (d1), (d2) vµ (d3) tíi (C). C¸ch 2: Ph¬ng tr×nh (d) ®i qua A víi hÖ sè gãc k cã d¹ng §Ó (d) tiÕp xóc víi (C), th× hÖ ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm: Thay (2) vµo (1), ta ®îc: 3x3 - 7x2 + 4 = 0 Û (x - 1)(3x2 - 4x - 4) = 0 Û x = 1 hoÆc x = 2 hoÆc x = - Khi ®ã: § Víi x = 1 § Víi x0 = 2 § Víi x0 = - VËy, qua A kÎ ®îc ba tiÕp tuyÕn (d1), (d2) vµ (d3) tíi (C). VÝ dô 4: Cho hµm sè (Cm): y = - a. T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh mµ (Cm) lu«n ®i qua khi m thay ®æi. b. T×m m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn. c. T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. d. T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa cña trôc Ox. e. T×m m ®Ó (Cm) nhËn ®iÓm f. X¸c ®Þnh m kh¸c 0 ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt víi hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng. ? Gi¶i a. Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm), khi ®ã: y0 = - Û VËy, hä (Cm) cã hai ®iÓm cè ®Þnh M1(0; 0) vµ M2(3; -3). b. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = §¹o hµm: y' = -mx2 + 2mx - 1, y' = 0 Û f(x) = -mx2 + 2mx - 1 = 0. (1) Hµm sè lu«n nghÞch biÕn khi: y' £ 0 víi mäi xÎ XÐt hai trêng hîp: Trêng hîp 1: NÕu m = 0 th×: y' = -1 < 0 víi mäi xÎ Trêng hîp 2: NÕu m ¹ 0 th× ®iÒu kiÖn lµ: VËy, hµm sè lu«n nghÞch biÕn khi 0 ≤ m £ 1. c. Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu khi: (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ ®æi dÊu qua hai nghiÖm Û VËy, hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu khi m Î (-¥; 0)È(1; +¥). d. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (Cm) vµ Ox cã d¹ng: - Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa cña trôc Ox khi: Hµm sè c¾t trôc Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt Û (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 Û VËy, víi e. Ta cã y" = -2mx + 2m. §å thÞ hµm sè nhËn ®iÓm U lµm ®iÓm uèn khi: VËy, víi m = 1 ®å thÞ hµm sè nhËn ®iÓm U lµm ®iÓm uèn. f. Ta lùa chän mét trong ba c¸ch sau: C¸ch 1: §Ó (Cm) c¾t Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt víi hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng th× ®iÓm uèn U cña ®å thÞ hµm sè thuéc Ox, tøc lµ yU = 0. (2) Ta cã y" = -2mx + 2m, y" = 0 Û -2mx + 2m = 0 Û xU = 1 do ®ã, ®iÒu kiÖn (2) trë thµnh: - Thö l¹i: Víi m = Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm lµ: - nhËn thÊy x1, x2, x3 lËp thµnh cÊp sè céng. VËy, víi m = C¸ch 2: Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (Cm) víi trôc hoµnh lµ: - §Ó ®å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt víi hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng th× ph¬ng tr×nh (3) cã ba nghiÖm x0 - d, x0, x0 + d. Khi ®ã: mx3 - 3mx2 + 3x = m[x - (x0 - d)](x - x0)[x - (x0 + d)] = m(x - x0)[(x - x0)2 - d2] = mx3 - 3mx0x2 + m(3 Þ VËy, víi m = C¸ch 3. §å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt víi hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng khi: (3) cã ba nghiÖm ph©n biÖt x1 < x2 < x3 tho¶ m·n MÆt kh¸c theo ®Þnh lÝ viÐt ta cã: x1 + x2 + x3 = 3 Û 3x2 = 3 Û x2 = 1. §Ó x2 = 1 lµ nghiÖm cña (3) th× m - 3m + 3 = 0 Û m = Thö l¹i: T¬ng tù nh trong c¸ch 1. VËy, víi m = VÝ dô 5: Cho hµm sè (Cm): y = (x - 1)(x2 + mx + m). 1. Víi m = 2: a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), trôc hoµnh vµ c¸c ®êng th¼ng x = 0, x = 1. c. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc hoµnh. X¸c ®Þnh to¹ ®é tiÕp ®iÓm trong mçi trêng hîp t×m ®îc. ? Gi¶i 1. Víi m = 2 hµm sè cã d¹ng: (C): y = x3 + x2 - 2. a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. DiÖn tÝch S ph¶i t×m ®îc cho bëi: S = c. TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x - 5y + 4 = 0 nªn cã hÖ sè gãc k = 5. Tíi ®©y, ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: y' = 5 Û 3x2 + 2x = 5 Û 3x2 + 2x - 5 = 0 Û x0 = 1 hoÆc Khi ®ã: § Víi x0 = 1, ta ®îc tiÕp tuyÕn: (d1): y - y(1) = 5(x - 1) Û (d1): y = 5x - 5. § Víi (d2): y - y(- VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. C¸ch 2: Ph¬ng tr×nh (d) víi hÖ sè gãc k = 5 cã d¹ng y = 5x + m. §Ó (d) tiÕp xóc víi (C), th× hÖ ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm: Khi ®ã: § Víi m = 5, ta ®îc tiÕp tuyÕn (d1): y = 5x - 5. § Víi m = VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. 2. §å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc hoµnh khi hÖ sau cã nghiÖm: VËy, ta ®îc: § Víi m = 4, ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi Ox t¹i tiÕp ®iÓm M1(-2; 0). § Víi m = 0, ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi Ox t¹i tiÕp ®iÓm M2(0; 0). § Víi m = - VÝ dô 6: Cho hµm sè (Cm): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = 0. b. Chøng minh r»ng víi mäi m hµm sè ®· cho lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. c. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. d. T×m m ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. TËp x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = x2 - 2mx - 1, y' = 0 Û f(x) = x2 - 2mx - 1 = 0. (1) Ta cã D' = m2 + 1 > 0, "m do ®ã (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. VËy, víi mäi m hµm sè ®· cho lu«n cã cùc ®¹i, cùc tiÓu. c. To¹ ®é c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu tháa m·n hÖ: Þ y = - NhËn xÐt r»ng to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cïng tho¶ m·n (2), nªn ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè cã d¹ng: (d): y = - d. Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng y' ≥ 0 "x > 1 Û x2 - 2mx - 1 ≥ 0 "x > 1 Û XÐt hµm sè Tõ ®ã, ta ®îc (*) Û m ≤ y(1) = 0. VËy, víi m ≤ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. VÝ dô 7: Cho hµm sè (Cm): y = (m + 2)x3 + 2(m + 2)x2 - (m + 3)x - 2m + 1. 1. Víi m = -1: a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b. T×m a ®Ó (C) c¾t ®êng th¼ng (d): y = ax + 3 t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. 2. Chøng minh r»ng hä ®å thÞ hµm sè (Cm) lu«n ®i qua ba ®iÓm cè ®Þnh, vµ ba ®iÓm ®ã cïng n»m trªn mét ®êng th¼ng. 3. T×m m ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn ? Gi¶i 1. Víi m = -1 hµm sè cã d¹ng (C): y = x3 + 2x2 - 2x + 3. a B¹n ®äc tù gi¶i. b Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) víi ®å thÞ hµm sè (C) lµ: x3 + 2x2 - 2x + 3 = ax + 3 Û x3 + 2x2 - (a + 2)x = 0 Û §êng th¼ng (d) c¾t ®å thÞ hµm sè (C) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt khi ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0: VËy, víi -3 < a ¹ -2 tháa m·n ®iÓu kiÖn ®Çu bµi. 2. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö M(x; y) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm), khi ®ã: y = (m + 2)x3 + 2(m + 2)x2 - (m + 3)x - 2m + 1, "m Û (x3 + 2x2 - x - 2)m + 2x3 + 4x2 - 3x - + 1 - y = 0, "m Û VËy, hä (Cm) cã ba ®iÓm cè ®Þnh M1(- 2; 7), M2(1; 4) vµ M3(-1 ; 6). Suy ra: VËy, hä (Cm) lu«n ®i qua ba ®iÓm cè ®Þnh vµ ba ®iÓm ®ã cïng n»m trªn mét ®êng th¼ng. C¸ch 2: Gi¶ sö M(x; y) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm), khi ®ã: y = (m + 2)x3 + 2(m + 2)x2 - (m + 3)x - 2m + 1, "m Û (x3 + 2x2 - x - 2)m + 2x3 + 4x2 - 3x - + 1 - y = 0, "m Û Û Khi ®ã: § V× (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt nªn hä (Cm) lu«n ®i qua ba ®iÓm cè ®Þnh. § Täa ®é c¸c ®iÓm cè ®Þnh ®Ò tháa m·n (2) - lµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng. VËy, hä (Cm) lu«n ®i qua ba ®iÓm cè ®Þnh vµ ba ®iÓm ®ã cïng n»m trªn ®êng th¼ng y = -x + 5. 3. TËp x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 3(m + 2)x2 + 4(m + 2)x - m - 3. (1) Hµm sè nghÞch biÕn trªn y' ≤ 0, "xÎ Ta xÐt hai trêng hîp: Trêng hîp 1: Víi m + 2 = 0 Û m = -2, ta ®îc: y' = -1< 0 Þ Hµm sè nghÞch biÕn trªn Trêng hîp 2: Víi m + 2 ¹ 0 Û m ¹ -2, ®iÒu kiÖn lµ: Û VËy, víi VÝ dô 8: Cho hµm sè y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = 1. b. Chøng minh r»ng víi mäi m hµm sè ®· cho lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. H·y x¸c ®Þnh m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu lµ nhá nhÊt. ? Gi¶i a B¹n ®äc tù gi¶i. b MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = x2 - 2mx - 1, y' = 0 Û x2 - 2mx - 1 = 0, (1) Ta cã: D' = m2 + 1 > 0, "m Û (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. VËy, víi mäi m hµm sè ®· cho lu«n cã cùc ®¹i , cùc tiÓu vµ hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc ®¹i , cùc tiÓu tho¶ m·n: Thùc hiÖn phÐp chia y cho y' ta ®îc: y = y'.( VËy, tung ®é c¸c ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu lµ: y1 = - VËy, to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè lµ A(x1; y1) vµ B(x2 ; y2). Do ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu ®îc cho bëi: AB2 = (x1 - x2)2 + [ = (x1 - x2)2[1 + §Æt t = m2 + 1, t³1, ta ®îc: AB2 = 4t(1 + Do ®ã AB nhá nhÊt khi 4t3 + 9t nhá nhÊt. XÐt hµm sè y = 4t3 + 9t. § MiÒn x¸c ®Þnh D = [1, + ¥). § §¹o hµm: y' = 12t2 + 9 > 0, "t ³1 Û hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn D. Suy ra ymin = y(1) = 13. VËy, ta ®îc: AB2min = II. Hµm trïng ph¬ng Mét sè tÝnh chÊt cña hµm trïng ph¬ng: TÝch chÊt 1: Hµm sè cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho a ¹ 0. TÝch chÊt 2: Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi: y' = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt Û TÝch chÊt 3: Hµm sè cã hai cùc ®¹i vµ mét cùc tiÓu khi: TÝch chÊt 4: Hµm sè cã mét cùc ®¹i vµ hai cùc tiÓu khi: TÝch chÊt 5: Hµm sè cã hai ®iÓm uèn khi: y'' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt Û TÝch chÊt 6: Hµm sè kh«ng cã ®iÓm uèn khi: y'' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt Û TÝch chÊt 7: §å thÞ hµm sè nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng. TÝch chÊt 8: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: ax4 + bx2 + c = 0, víi a ¹ 0. (1) §Æt t = x2 víi t ³ 0, ph¬ng tr×nh cã d¹ng: at2 + bt + c = 0. (2) § NÕu (2) cã nghiÖm t0 ³ 0 th× (1) cã nghiÖm x = ± § (1) cã nghiÖm duy nhÊt khi (2) cã nghiÖm t1 £ 0 = t2. § (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi (2) cã nghiÖm t1 < 0 < t2 hoÆc 0 < t1 = t2. § (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt khi (2) cã nghiÖm 0 = t1 < t2. § (1) cã bèn nghiÖm ph©n biÖt khi (2) cã nghiÖm 0 < t1 < t2. § (1) cã bèn nghiÖm ph©n biÖt lËp thµnh cÊp sè céng khi: (2) cã nghiÖm 0 = t1 < t2 vµ t2 = 9t1. TÝch chÊt 9: Ph¬ng ph¸p t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ®å thÞ hµm sè y = ax4 + bx2 + c tiÕp xóc víi Ox t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng ph¸p 1: §¹i sè §iÒu kiÖn lµ (1) cã hai nghiÖm kÐp ph©n biÖt khi: ax4 + bx2 + c = a(x - x1)2(x - x2)2 víi x1 ¹ x2. (3) Sö dông ph¬ng ph¸p h»ng sè bÊt ®Þnh ta x¸c ®Þnh ®îc gi¸ trÞ cña tham sè. Ph¬ng ph¸p 2: Hµm sè TËp x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0 Û 2x(2ax2 + b) = 0. (4) §iÒu kiÖn lµ VÝ dô 1: Cho hµm sè (C): y = - a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®êng cong (C) vµ trôc Ox. c. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = -2x3 - 2x, y' = 0 Û -2x3 - 2x = 0 Û -2x(x2 + 1) = 0 Û x = 0.
1. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = -6x2 - 2 < 0, ®å thÞ hµm sè kh«ng cã ®iÓm uèn vµ låi trªn D. § Giao cña ®å thÞ hµm sè víi trôc hoµnh lµ c¸c ®iÓm A(-1; 0), B(1; 0). NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng. b. Do tÝnh ®èi xøng nªn diÖn tÝch S ph¶i t×m ®îc cho bëi: S = 2 c. Ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x = x0 khi ®ã tiÕp tuyÕn cã d¹ng: (d): y - y(x0) = y’(x0)(x - x0) Û (d): y = (-2 §iÓm MÎ(d) suy ra: 4 = (-2 Khi ®ã: § Víi x0 = 1, ta ®îc tiÕp tuyÕn (d1): y = 4x + 4 § Víi x0 = -1, ta ®îc tiÕp tuyÕn (d2): y = -4x + 4. VËy, qua A kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi (C). C¸ch 2: Ph¬ng tr×nh (d) ®i qua A víi hÖ sè gãc k cã d¹ng y = kx + 4. §Ó (d) tiÕp xóc víi (C), th× hÖ ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm: Thay (2) vµo (1), ta ®îc: 3x3 - 7x2 + 4 = 0 Û (x - 1)(3x2 - 4x - 4) = 0 Û x = 1 hoÆc x = 2 hoÆc x = - Khi ®ã: § Víi x = -1 § Víi x = 1 VËy, qua A kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi (C). VÝ dô 2: Cho hµm sè (C): y = x4 - 2x2 + 1. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b. Dùa vµo ®å thÞ (C) biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x4 - 2x2 + 1 - m = 0. ? Gi¶i a. 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 4x3 - 4x, y' = 0 Û 4x3 - 4x = 0 Û x = 0 hoÆc x = ±1.
3. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = 12x2 - 4, y'' = 0 Û 12x2 - 4 = 0 Û x = ± V× y" ®æi dÊu khi x qua c¸c ®iÓm ± § Ta lÊy thªm ®iÓm A( NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng. b. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: x4 - 2x2 + 1 = m. Do vËy sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) víi ®êng th¼ng y = m. Suy ra: § Víi m < 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. § Víi m = 0, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nghiÖm kÐp x = ±1. § Víi 0 < m < 1, ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. § Víi m = 1, ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. § Víi m > 1, ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. VÝ dô 3: Cho hµm sè (Cm): y = x4 + mx2 - m - 1 a. Chøng minh r»ng (Cm) ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh A vµ B. T×m m ®Ó c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ®å thÞ vu«ng gãc víi nhau. b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi ®êng th¼ng (d): y = 2(x - 1) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m t×m ®îc. c. Sö dông ®å thÞ ë c©u b), biÖn luËn theo k sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 4x2(1 - x2) = 1 - k. ? Gi¶i a. Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä (Cm). Khi ®ã: y0 = Û VËy, hä (Cm) cã hai ®iÓm cè ®Þnh A(1; 0) vµ B(-1; 0). Ta cã: y' = 4x3 + 2mx Þ §Ó c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ®å thÞ vu«ng gãc víi nhau ®iÓu kiÖn lµ: y'(xA). y'(xB) = -1 Û (4 + 2m)(-4 - 2m) = -1 Û b. §Æt: f(x) = x4 + mx2 - m - 1 Þ f'(x) = 4x3 + 2mx, g(x) = 2(x - 1) Þ g'(x) = 2. Khi ®ã, ®Ó (Cm) tiÕp xóc víi (d) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 1 ®iÒu kiÖn lµ: Víi m = -1 hµm sè cã d¹ng (C): y = x4 - x2 . 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: § B¶ng biÕn thiªn: y' = 4x3 - 2x, y' = 0 Û 4x3 - 2x = 0 Û 2x(2x2 - 1) = 0 Û x = 0 hoÆc x = ±
3. §å thÞ cña hµm sè: § §iÓm uèn: y'' = 12x2 - 2, y'' = 0 Û 12x2 - 2 = 0 Û x = ± V× y" ®æi dÊu khi x qua c¸c ®iÓm ± § Giao cña ®å thÞ hµm sè víi trôc hoµnh: x4 - x2 = 0 Û x2(x2 - 1) = 0 Û NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng. c. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: x4 - x2 = Sè nghiÖm cña (1) lµ sè giao ®iÓm cña (C) vµ ®êng th¼ng y = § NÕu § NÕu § NÕu - § NÕu § NÕu VÝ dô 4: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2002): Cho hµm sè: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10, víi m lµ tham sè. a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1. b. T×m m ®Ó hµm sè cã ba cùc trÞ. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù gi¶i. b. Ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 4mx3 + 2(m2 - 9)x, y' = 0 Û Hµm sè cã 3 cùc trÞ Û (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 Û m(m2 - 9) < 0 Û VËy, hµm sè cã 3 cùc trÞ khi mÎ(-¥; -3) È (0; 3). VÝ dô 5: Cho hµm sè (Cm): y = mx4 + (m - 1)x2 - 2m + 1. a. Víi m = b. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ®óng mét ®iÓm cùc trÞ. ? Gi¶i a. Víi m = §êng th¼ng (d) ®i qua O víi hÖ sè gãc k cã ph¬ng tr×nh y = kx. §êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C1/2) khi hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: Khi ®ã: § Víi k = 0, ta ®îc tiÕp tuyÕn (d1): y = 0. § Víi k = - § Víi k = VËy, qua O kÎ ®îc ba tiÕp tuyÕn (d1), (d2) , (d3) tíi ®å thÞ (C1/2). b. Ta cã: y' = 4mx3 + 2(m - 1)x = 2x(2mx2 + m - 1). y' = 0 Û 2x(2mx2 + m - 1) = 0 Û Hµm sè chØ cã mét ®iÓm cùc trÞ khi: Trêng hîp 1: NÕu f(x) = 0 v« nghiÖm § Víi m = 0, ta cã: (*) Û -1 = 0 m©u thuÉn Þ (*) v« nghiÖm. § Víi m ¹ 0, ®Ó (*) v« nghiÖm ®iÓu kiÖn lµ: D < 0 Û -8m(m - 1) < 0 Û Trêng hîp 2: NÕu f(0) = 0, tøc lµ: m - 1 = 0 Û m = 1. VËy, hµm sè cã ®óng mét ®iÓm cùc trÞ khi m ³ 1 hoÆc m £ 0. VÝ dô 6: Cho hµm sè (Cm): y = x4 - 4x2 + m. 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 3. 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (C) c¾t trôc hoµnh t¹i bån ®iÓm ph©n biÖt. 3. Víi kÕt qu¶ trong 2) h·y x¸c ®Þnh m sao cho: a. Bèn ®iÓm ph©n biÖt ®ã cã hµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng. b. H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) vµ trôc hoµnh cã diÖn tÝch phÇn phÝa trªn vµ phÇn phÝa díi trôc hoµnh b»ng nhau. ? Gi¶i 1. §Ò nghÞ b¹n ®äc tù lµm. 2. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ Ox lµ x4 - 4x2 + m = 0. (1) §Æt t = x2, t ³ 0, khi ®ã: (1) Û f(t) = t2 - 4t + m = 0 (2) §å thÞ (C) c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt khi: (1) cã bèn nghiÖm ph©n biÖt Û (2) cã hai nghiÖm tho¶ m·n 0 < t1 < t2. (*) Tíi ®©y ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sö dông ®Þnh lÝ Vi-Ðt ®iÒu kiÖn (*) ®îc chuyÓn thµnh: VËy, víi 0 < m < 4 ®å thÞ (C) c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt. C¸ch 2: Sè nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh (2) b»ng sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = m víi ®å thÞ hµm sè y = -t2 + 4t trªn (0; +¥). Ta cã: § TËp x¸c ®Þnh trªn D = (0; +¥). § Sù biÕn thiªn cña hµm sè: y' = -2t + 4, y' = 0 Û -2t + 4 = 0 Û t = 2.
Suy ra ®iÒu kiÖn lµ 0 < m < 4. VËy, víi 0 < m < 4 ®å thÞ (C) c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt. 3. Víi kÕt qu¶ trong 2) th× ®å thÞ (C) c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é t¬ng øng lµ - a Bèn hoµnh ®é trªn lËp thµnh cÊp sè céng khi: Theo ®Þnh lÝ Vi-Ðt ta cã: Thay (3) vµo (I) ®îc: VËy, víi b NhËn xÐt r»ng hµm sè y = x4 - 4x2 + m lµ hµm ch½n (nhËn Oy lµm trôc ®èi xøng) nªn diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) vµ trôc hoµnh cã phÇn phÝa trªn vµ phÇn phÝa díi trôc hoµnh b»ng nhau khi: MÆt kh¸c, do t2 lµ nghiÖm cña (2), nªn VËy, víi m = III. Hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt: TÝch chÊt 1: Hµm sè lu«n ®¬n ®iÖu trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã. TÝch chÊt 2: §å thÞ nhËn giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn lµm t©m ®èi xøng. Híng dÉn chøng minh Bíc 1: ThËt vËy, ®iÓm I(x0; y0) lµ giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn, ta dêi trôc b»ng tÞnh tiÕn vÒ gèc I. C«ng thøc dêi trôc lµ: Thay x, y vµo hµm sè ta ®îc: Y + y0 = Bíc 2: Hµm sè nµy lµ hµm lÎ nªn ®å thÞ nhËn I lµm t©m ®èi xøng. TÝch chÊt 3: Kh«ng cã bÊt cø ®êng tiÕp tuyÕn nµo cña ®å thÞ hµm sè ®i qua t©m ®èi xøng I. Híng dÉn chøng minh Bíc 1: LÊy ®iÓm M(x0; y0)Î(H), khi ®ã y0 = Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M lµ (d): y - y0 = y’(x0)(x - x0) (1) Bíc 2: Gi¶ sö IÎ(d), khi ®ã: Tõ (2) suy ra ®iÒu m©u thuÉn. Bíc 3: VËy kh«ng cã bÊt cø ®êng tiÕp tuyÕn nµo cña ®å thÞ hµm sè ®i qua I. TÝch chÊt 4: M lµ ®iÓm tuú ý thuéc ®å thÞ hµm sè. NÕu tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A, B th×: a. M lµ trung ®iÓm AB. b. DIAB cã diÖn tÝch kh«ng ®æi. c. TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M tíi hai ®êng tiÖm cËn lµ mét h»ng sè. Híng dÉn chøng minh Bíc 1: LÊy ®iÓm M(x0; y0)Î(H), khi ®ã y0 = Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M lµ (d): y - y0 = y’(x0)(x - x0). (1) Bíc 2: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña A, B theo thø tù lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) víi tiÖm cËn ®øng (tc®) x = - Bíc 3: Ta cã: a. NhËn xÐt r»ng xA + xB = 2xM Û M lµ trung ®iÓm AB. b. S DIAB = c. Gäi c¸c kho¶ng c¸ch: d1 = d(I, tc®) = |x0 + Khi ®ã: d1.d2 = const. Trêng hîp ®Æc biÖt: Cho hµm sè (C): y = a. T×m ®iÒu kiÖn cña a, b ®Ó ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (C) ? b. Gi¶ sö ®iÒu kiÖn trªn ®îc tho¶ m·n. Khi ®ã (d) c¾t Ox, Oy t¹i A, B § Chøng tá r»ng tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch kh«ng ®æi. § Chøng tá r»ng trung ®iÓm cña AB lµ tiÕp ®iÓm cña (d) víi (C). § Khi nµo th× kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn (d) lµ lín nhÊt ? Chøng minh a. §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®å thÞ (C) khi hÖ sau cã nghiÖm: b. Víi ®iÒu kiÖn (*), (d) c¾t Ox, Oy t¹i A(- § DiÖn tÝch tam gi¸c OAB ®îc x¸c ®Þnh bëi: S = § Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta cã xI = § Kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn (d) ®îc x¸c ®Þnh bëi: h = VËy, hmax = Trêng hîp ®Æc biÖt: Hai tiÕp tuyÕn cña Hyperbol (H): y = a. Hai tiÕp tuyÕn cña (H) kh«ng bao giê vu«ng gãc víi nhau. b. Hai tiÕp tuyÕn song song cña (H) cã c¸c tiÕp ®iÓm ®èi xøng nhau qua t©m cña (H). Chøng minh Víi A(x1; (dA): y = - Víi B(x2; (dB): y = - a. Ta cã: (dA)^(dB) Û kA.kB = -1 Û (- VËy hai tiÕp tuyÕn cña (H) kh«ng bao giê vu«ng gãc víi nhau. b. Ta cã: (dA)//(dB) Û kA = kB Û - Suy ra A(x1; F Chó ý: Víi phÐp dêi trôc b»ng tÞnh tiÕn vÒ gèc I, theo c«ng thøc dêi trôc lµ: ta ®a ph¬ng tr×nh cña Hyperbol (H): y = VÝ dô 1: Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. T×m c¸c ®iÓm trªn (C) cã täa ®é nguyªn. c. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh d. ? Gi¶i a. Ta lÇn lît cã: 1. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè: § Giíi h¹n vµ c¸c ®êng tiÖm cËn: § B¶ng biÕn thiªn: y' =
3. §å thÞ: Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é lµ NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè nhËn giao ®iÓm I(-2; 2) cña hai ®êng tiÖm cËn lµm t©m ®èi xøng. b. ViÕt l¹i hµm sè díi dang y = 2 - §iÓm M(x0; y0) (x0 ¹ -2) thuéc ®å thÞ hµm sè cã täa ®é nguyªn khi x0 + 2 lµ íc cña 3. Ta cã b¶ng liÖt kª sau:
VËy, c¸c ®iÓm M1(-5; 3), M2(-3; 5), M3(-1; -1) vµ M4(1; 1) thuéc ®å thÞ hµm sè cã to¹ ®é nguyªn. c. §Æt t = sinx, 0 £ t £ 1, ph¬ng tr×nh cã d¹ng §êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ (C) phÇn [0;1] Û · Víi Û sinx = t0 ph¬ng tr×nh nµy cã 2 nghiÖm thuéc kho¶ng [0; p]. · Víi m = 1, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm t = 1, ta ®îc: sinx = 1 ph¬ng tr×nh nµy cã 1 nghiÖm VËy, víi d. DiÖn tÝch S ph¶i t×m ®îc cho bëi: S = VÝ dô 2: (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2002): Cho hµm sè: y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) hµm sè víi m = -1. b. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®êng cong (C) vµ hai trôc to¹ ®é. c. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y = x. ? Gi¶i a. Víi m = -1, ta ®îc: (C): y = b. Gäi S lµ diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ hai trôc to¹ ®é. Ta cã: S = c. ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: y = 2m - 1 - §å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y = x Û hÖ sau cã nghiÖm ViÕt l¹i (1) díi d¹ng: 2m - 1 - Thay (2) vµo (3), ta ®îc: 2m - 1 - Thay (4) vµo (2), ta ®îc: VËy, víi mäi m ¹ 1 ®å thÞ (1) lu«n tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y = x. VÝ dô 3: Cho hµm sè (C): y = 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè, tõ ®ã suy ra ®å thÞ hµm sè (C1): y = - 2. Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè. Chøng minh r»ng: a. §å thÞ (C) nhËn ®iÓm I lµm t©m ®èi xøng. b. Kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo cña ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm I. 3. M lµ ®iÓm cã hoµnh ®é a ¹ -1, vµ thuéc (C). ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d) cña (C) t¹i ®iÓm M. a. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I ®Õn ®êng th¼ng (d). X¸c ®Þnh a ®Ó kho¶ng c¸ch trªn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. b. X¸c ®Þnh a ®Ó tiÕp tuyÕn (d) lËp víi hai ®êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi bÐ nhÊt. ? Gi¶i 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ - B¹n ®äc tù gi¶i. B»ng phÐp ®èi xøng qua trôc Ox ®å thÞ (C) ta cã ®îc ®å thÞ (C1). 2. Giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè lµ I(-1; 2). a. Dêi trôc b»ng phÐp tÞnh tiÕn vÒ gèc I theo c«ng thøc dêi trôc lµ: Hµm sè trªn lµ hµm lÎ nªn ®å thÞ nhËn ®iÓm I(-1; 2) lµm t©m ®èi xøng. b. §êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm I(-1; 2) cã ph¬ng tr×nh y = k(x + 1) + 2. §êng th¼ng (D) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè khi hÖ sau cã nghiÖm: VËy, qua I kh«ng kÎ ®îc tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ. 3. §iÓm M(a; (d): y - a. ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d): 2x - (a + 1)2y + 2a2 = 0. Khi ®ã, kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn (d) ®îc cho bëi: d = VËy, ta ®îc Mind = 2, ®¹t ®îc khi: (a + 1)4 = 4 Û a + 1 = ± b. Ta lÇn lît cã: § To¹ ®é giao ®iÓm A cña tiÕp tuyÕn (d) víi tiÖm cËn ®øng lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: § To¹ ®é giao ®iÓm B cña tiÕp tuyÕn (d) víi tiÖm cËn ngang lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: § Chu vi DIAB ®îc cho bëi: PDIAB = IA + IB + AB = = = Suy ra PMin = IA = IB Û VÝ dô 4: Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó ®êng th¼ng (D): y = kx + 3 kh«ng c¾t ®å thÞ hµm sè. c. M lµ ®iÓm tuú ý thuéc ®å thÞ hµm sè, tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A, B. Chøng minh r»ng: § M lµ trung ®iÓm AB. § DIAB cã diÖn tÝch kh«ng ®æi, víi I lµ t©m ®èi xøng cña (C). § TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M tíi hai ®êng tiÖm cËn lµ mét h»ng sè. ? Gi¶i a. §Ò nghÞ b¹n ®äc tù lµm. b. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (D) víi ®å thÞ hµm sè lµ: §êng th¼ng (D) kh«ng c¾t ®å thÞ hµm sè khi (1) v« nghiÖm, ta xÐt hai trêng hîp: Trêng hîp 1: Víi k = 0, th× (1) cã d¹ng: -7 = 0 (MT) Û Ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. Trêng hîp 2: Víi k ¹ 0 th× ®Ó ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm ®iÒu kiÖn lµ: VËy, víi -28 < k £ 0 ®êng th¼ng (D) kh«ng c¾t ®å thÞ hµm sè. c. Víi hµm sè ta lÇn lît cã: § §¹o hµm: y' = - § TiÖm cËn ®øng x = 1 v× § TiÖm cËn ngang y = 3 v× § To¹ ®é giao ®iÓm I cña hai tiÖm cËn lµ I(1; 3). M lµ ®iÓm tuú ý thuéc ®å thÞ, gi¶ sö M cã hoµnh ®é b»ng a, khi ®ã y - y(a) = y'(a)(x - a) Û y = - Ta lÇn lît cã: § To¹ ®é giao ®iÓm A cña tiÕp tuyÕn t¹i M vµ tiÖm cËn ®øng lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: § To¹ ®é giao ®iÓm B cña tiÕp tuyÕn t¹i M vµ tiÖm cËn ngang lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: Khi ®ã, ta lÇn lît cã: § NhËn xÐt r»ng: xA + xB = 1 + 2a - 1 = 2a = 2xM Û M lµ trung ®iÓm cña AB. § DiÖn tÝch tam gi¸c IAB ®îc x¸c ®Þnh bëi: S = VËy, ta thÊy DIAB cã diÖn tÝch kh«ng ®æi. § Ta cã: d(M, tc®).d(M, tcn) = VËy, ta thÊy tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M tíi hai ®êng tiÖm cËn lµ mét h»ng sè. VÝ dô 5: Cho hµm sè (C): y = 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè . 2. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d): y = x + m c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt mµ hai tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i hai ®iÓm ®ã song song víi nhau. 3. T×m ®iÓm MÎ(C) ®Ó: a. Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn tiÖm cËn ®øng b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn tiÖm cËn ngang. b. Tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai tiÖm cËn nhá nhÊt. c. Tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai trôc to¹ ®é nhá nhÊt. ? Gi¶i 1. §Ò nghÞ b¹n ®äc tù lµm. 2. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) víi ®å thÞ hµm sè lµ: Khi ®ã, ta lÇn lît cã: § §å thÞ hµm sè c¾t ®êng th¼ng (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt khi: Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2 Û Û Khi ®ã, hai giao ®iÓm A, B cã hoµnh ®é tháa m·n: § §Ó hai tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B cña ®å thÞ (C) song song víi nhau ®iÒu kiÖn lµ: y'(xA) = y'(xB) Û VËy, víi m = -1 tháa m·n ®iÓu kiÖn ®Çu bµi. 3. §iÓm M thuéc ®å thÞ hµm sè, ta cã Khi ®ã, ta lÇn lît cã: § §Ó kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn tiÖm cËn ®øng b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn tiÖm cËn ngang ®iÒu kiÖn lµ: VËy, hai ®iÓm M1(1; 0) vµ M2(3; 2) tháa m·n ®iÓu kiÖn ®Çu bµi. § Tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai tiÖm cËn ®îc cho bëi: d = VËy, tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai tiÖm cËn cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2, ®¹t ®îc khi: VËy, hai ®iÓm M1(1; 0) vµ M2(3; 2) tháa m·n ®iÓu kiÖn ®Çu bµi. § Tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai trôc to¹ ®é ®îc cho bëi d = |x| + NhËn xÐt r»ng: víi M0(0; |x| £ Víi d' = -1 - VËy, ta ®îc Mind = VÝ dô 6: Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Lùa chän phÐp tÞnh tiÕn song song víi Ox ®Ó tõ (C) suy ra ®å thÞ hµm sè (C1): y = c. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm A(-6; 5). d. T×m nh÷ng ®iÓm trªn trôc tung mµ tõ ®iÓm ®ã kÎ ®îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ hµm sè. ? Gi¶i a. §Ò nghÞ b¹n ®äc tù lµm. b. Gi¶ sö: VËy, ta ®îc Do ®ã (C1) ®îc suy ra b»ng phÐp tÞnh tiÕn theo Ox ®å thÞ (C) sang ph¶i 2 ®¬n vÞ. c. Ta cã y’ = - C¸ch 1: Gi¶ sö hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x = x0, khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng (d): y = y’(x0)(x - x0) + y(x0) Û (d): y = - §iÓm AÎ(d) khi: 5 = - Khi ®ã: § Víi x0 = 0 thay vµo (1) ®îc tiÕp tuyÕn (d1): y = -x - 1. § Víi x0 = 6 thay vµo (1) ®îc tiÕp tuyÕn (d2): y = - VËy, qua A kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi ®å thÞ. C¸ch 2: §êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A cã ph¬ng tr×nh: (d): y = k(x + 6) + 5. (2) §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè khi hÖ sau cã nghiÖm: Û Khi ®ã: § Víi k1 = -1 thay vµo (2) ®îc tiÕp tuyÕn (d1): y = -x - 1. § Víi k2 = - VËy, qua A kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi ®å thÞ. F Chó ý: Trong lêi gi¶i trªn chóng ta ®· bíc ®Çu lµm quen víi ph¬ng ph¸p lËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm ph©n thøc kh«ng dïng kh¸i niÖm nghiÖm kÐp. C¸ch biÕn ®æi trong ®ã sÏ rÊt cã Ých víi c¸c hµm sè chøa tham sè, cô thÓ: Cho hµm sè (C): y = Ph¬ng ph¸p ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng y = a + §êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi hÖ sau cã nghiÖm: ViÕt l¹i (1) díi d¹ng: a + Thay (2) vµo (3) víi lu ý chØ thay vµo biÓu thøc a + Û a + Û Thay (4) vµo (2), ®îc (k) = Ak2 + Bk + C = 0. (5) Khi ®ã yªu cÇu cô thÓ cña bµi to¸n ®îc ®a vÒ viÖc gi¶i hoÆc biÖn luËn ®iÒu kiÖn cho ph¬ng tr×nh (5). d. C¸c ®iÓm thuéc Oy cã d¹ng M(0; b). §êng th¼ng (d) ®i qua M(0; b) cã ph¬ng tr×nh y = kx + b. §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè khi hÖ sau cã nghiÖm: Thay (4) vµo (3), ta ®îc: Thay (5) vµo (4), ta ®îc: §Ó tõ M kÎ ®îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ hµm sè ®iÒu kiÖn lµ: (1) cã nghiÖm kÐp kh¸c Û VËy, tån t¹i hai ®iÓm VÝ dô 7: Cho hµm sè (Cm): y = 1. Víi m = 1: a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i c¸c giao ®iÓm cña (C) víi c¸c trôc täa ®é. 2. T×m m ®Ó: a. §å thÞ hµm sè cã hai tiÖm cËn. b. Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng [0; +¥). ? Gi¶i 1. Víi m = 1, hµm sè cã d¹ng y = a. §Ò nghÞ b¹n ®äc tù lµm: ë ®©y ta nhËn ®îc c¸c kÕt qu¶: § §¹o hµm y' = § TiÖm cËn ®øng x = -1 Û x + 1 = 0; TiÖm cËn ngang y = 2 Û y - 2 = 0. b. Ta lÇn lît cã: § (dA): y = y’(xA)(x - xA) + y(xA) Û § (C)ÇOy = {B(0; 1)} vµ ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i B cã d¹ng: (dB): y = y’(xB)(x - xB) + y(xB) Û (dB): y = 1.x + 1 Û (dB): y = x + 1. 2. Ta lÇn lît: a. Víi c©u hái "§å thÞ hµm sè cã hai tiÖm cËn" ta viÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: Tõ ®ã, suy ra víi m ¹ 0 ®å thÞ hµm sè cã hai tiÖm cËn. b. Víi c©u hái "Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng [0; +¥)" ta thùc hiÖn: § TËp x¸c ®Þnh -mÏ[0; +¥) Û -m < 0 Û m > 0. § §¹o hµm: VËy, víi m > 0 tháa m·n ®iÓu kiÖn ®Çu bµi. IV. Hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt: TÝch chÊt 1: Hµm sè ®ång biÕn trªn D khi: TÝch chÊt 2: Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi: Ph¬ng tr×nh y' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c - Khi ®ã: § Gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm sè t¹i x0 lµ y(x0) = § Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè cã d¹ng y = TÝch chÊt 3: Hµm sè cã hai cùc trÞ tr¸i dÊu Û Ph¬ng tr×nh y' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c - TÝch chÊt 4: Hµm sè cã hai cùc trÞ cïng dÊu Û y' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c - TÝch chÊt 5: §å thÞ nhËn giao ®iÓm I cña hai ®êng tiÖm cËn lµm t©m ®èi xøng. TÝch chÊt 6: M lµ ®iÓm tuú ý thuéc ®å thÞ hµm sè. Ta cã: a. TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M tíi hai ®êng tiÖm cËn lµ mét h»ng sè. b. NÕu tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A, B th× M lµ trung ®iÓm AB vµ DIAB cã diÖn tÝch kh«ng ®æi. VÝ dô 1: Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ hai trôc to¹ ®é. c. §å thÞ (C) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm A, B. ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i A vµ B, råi t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai tiÕp tuyÕn ®ã. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. DiÖn tÝch S ph¶i t×m ®îc cho bëi: S = c. Hoµnh ®é giao ®iÓm A, B lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: § Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i A cã d¹ng: (dA): y - 0 = y'(-1)(x + 1) Û (dA): y = - § Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i B cã d¹ng: (dB): y - 0 = y'(3)(x - 3) Û (dA): y = -4(x - 3). Hoµnh ®é giao ®iÓm K cña (dA) vµ (dB) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: - VÝ dô 2: (§Ò thi ®¹i häc khèi A - 2005): Cho hµm sè: (Cm): y = mx + a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1/4. b. T×m m ®Ó hµm sè (Cm) cã cùc trÞ vµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cùc tiÓu cña (Cm) ®Õn tiÖm cËn xiªn cña (Cm) b»ng 1/ ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. Hµm sè x¸c ®Þnh trªn D = §¹o hµm: y’ = m - Tríc hÕt, hµm sè cã cùc trÞ khi vµ chØ khi: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 Û Khi ®ã, (1) cã hai nghiÖm x1,2 = ± Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
VËy, hµm sè ®¹t CT t¹i ®iÓm A( §å thÞ (Cm) cã tiÖm cËn xiªn lµ (d): y = mx Û (d): mx - y = 0. §Ó kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cùc tiÓu A cña (Cm) ®Õn tiÖm cËn xiªn cña (Cm) b»ng 1/ VËy, víi m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. VÝ dô 3: Cho hµm sè (Cm): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1. b. X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i trong kho¶ng (0; m) víi m > 0. c. X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù thùc hiÖn. b. TËp x¸c ®Þnh §¹o hµm: y' = y' = 0 Û x2 + 2mx + m2 - 1 = 0 Û x1,2 = -m ± 1. Ta thÊy ngay víi mäi m hµm sè lu«n cã cùc ®¹i vµ b¶ng biÕn thiªn:
Hµm sè cã cùc ®¹i trong kho¶ng (0; m) khi 0 < -m + 1 < m Û VËy, víi c. Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 khi: VËy, víi m = -3 hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2. VÝ dô 8: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2005): Cho hµm sè: (Cm): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1. b. Chøng minh r»ng víi m bÊt kú, ®å thÞ (Cm) lu«n lu«n cã ®iÓm cùc ®¹i, ®iÓm cùc tiÓu vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm ®ã b»ng ? Gi¶i 1. B¹n ®äc tù lµm. 2. MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = VËy, víi mäi m ®å thÞ (Cm) lu«n lu«n cã ®iÓm cùc ®¹i, ®iÓm cùc tiÓu lµ A(-2, m - 3) vµ B(0, m + 1) Þ AB = VÝ dô 9: (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2003): Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (dm): y = mx + 2 - 2m c¾t ®å thÞ hµm sè (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (dm) víi ®å thÞ hµm sè lµ: §Ó ®å thÞ hµm sè (Cm) c¾t (dm) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Û ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 kh¸c 2 Û m - 1 > 0 Û m > 1. VËy, m > 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. VÝ dô 10: (§Ò thi ®¹i häc khèi A - 2003): Cho hµm sè: (Cm): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = - 1. b. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (Cm) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ hai ®iÓm ®ã cã hoµnh ®é d¬ng. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña Ox víi ®å thÞ hµm sè lµ: §Ó ®å thÞ hµm sè (Cm) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ hai ®iÓm ®ã cã hoµnh ®é d¬ng Û ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 kh¸c 1 vµ 0 < x1 < x2 Û VËy, víi - VÝ dô 11: (§Ò thi ®¹i häc khèi A - 2004): Cho hµm sè: (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d): y = m c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm A, B sao cho AB = 1. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù lµm. b. Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (C) lµ: Tríc hÕt, ®Ó (d) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Û (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 1 Û Khi ®ã, ta cã (d)Ç(C) = {A(xA, m), B(xB, m)}, víi xA, xB lµ nghiÖm cña (1) vµ tho¶ m·n: §Ó AB = 1 ®iÒu kiÖn lµ AB2 = 1 Û (xA - xB)2 = 1 Û (xA + xB)2 - 4xA.xB = 1 Û (3 - 2m)2 - 4(3 - 2m) = 1 Û m2 - m - 1 = 0 Û m = VËy, víi m = VÝ dô 4: Cho hµm sè (C): y = a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b. Chøng minh r»ng tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm M bÊt kú trªn ®å thÞ (C) ®Õn c¸c ®êng tiÖm cËn lµ mét h»ng sè kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm M. c. T×m hai ®iÓm A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau cña ®å thÞ ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a chóng lµ nhá nhÊt. ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù thùc hiÖn. b. LÊy ®iÓm M(x0; §å thÞ hµm sè cã hai ®êng tiÖm cËn: - TiÖm cËn ®øng x = 2 v× - TiÖm cËn xiªn y = x + 3 v× Ta lÇn lît cã: § Kho¶ng c¸ch tõ M tíi tiÖm cËn ®øng, ®îc cho bëi d1 = |x0 - 2|. § Kho¶ng c¸ch tõ M tíi tiÖm cËn xiªn, ®îc cho bëi d2 = Suy ra: d1.d2 = |x0 - 2|. c. XÐt hai ®iÓm A, B thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ, ta cã: A(2 - x1; f(2 - x1)), B(2 + x2; f(2 + x2)) víi x1, x2 > 0. Suy ra: AB2 = [(2 - x1) - (2 + x2)]2 + [ f(2 - x1) - f(2 + x2)]2 = (x2 + x1)2 + = (x2 + x1)2 ³ 4x2x1 VËy, ta ®îc (AB)Min = 2 VËy, hai ®iÓm A, B cÇn t×m cã hoµnh ®é t¬ng øng lµ 2 - VÝ dô 5: Cho hµm sè a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi a = 1. b. (§Ò 85 - Bé ®Ò 1996): T×m a ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn (1; +¥). ? Gi¶i a. B¹n ®äc tù thùc hiÖn. b. MiÒn x¸c ®Þnh D = Tríc hÕt lµ hµm sè cÇn x¸c ®Þnh víi mäi xÎ(1; +¥) Û 2a £ 1 Û a £ §¹o hµm: y' = Hµm sè ®ång biÕn víi "xÎ(1; +¥) Û y' ³ 0, "xÎ(1; + ¥) Û f(x) = x2 - 4ax + a2 ³ 0, "xÎ(1; +¥). (2) §Ó gi¶i (2) ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai): Ta cã D' = 3a2 ³ 0 (do (1)), vËy ®iÒu kiÖn (2) lµ ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm tho¶ x1 £ x2 £ 1 Û KÕt hîp (1) vµ (3), ta ®îc a £ 2 - VËy, hµm sè ®ång biÕn trong (1; + ¥) khi a £ 2 - C¸ch 2: (Ph¬ng ph¸p hµm sè): Ta cã: (2) Û IV. c¸c bµi to¸n kh¸c VÝ dô 1: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2003): T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x + ? Gi¶i §iÒu kiÖn x Î [-2, 2]. XÐt hµm sè y = x + y' = 1 - y' = 0 Û 1 - Do ®ã, gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè trªn [-2, 2] ®îc cho bëi: ymax = Max{y(-2), y(2), y( ®¹t ®îc t¹i x = ymin = -2, ®¹t ®îc t¹i x = -2. VÝ dô 2: (§Ò thi ®¹i häc khèi D - 2004): Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã ®óng 1 nghiÖm: x5 - x2 - 2x - 1 = 0. ? Gi¶i BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x5 = (x + 1)2 tøc lµ, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x > 1. XÐt hµm sè: y = x5 - x2 - 2x - 1 trªn miÒn D = (1, +¥). §¹o hµm: y' = 5x4 - 2x - 2 = 2x(x3 - 1) + 2(x4 - 1) + x4 > 0, "x Î D Þ hµm sè ®ång biÕn trªn D. Ta cã: y(1) = -3 vµ tøc lµ, ®å thÞ hµm sè c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm duy nhÊt Û ph¬ng tr×nh cã ®óng 1 nghiÖm. VÝ dô 3: (§Ò thi ®¹i häc khèi B - 2004): X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: m( ? Gi¶i §iÒu kiÖn |x| £ 1. §Æt t = Ta cã: § t = § t2 = 2 - 2 Suy ra ®iÒu kiÖn cña Èn t lµ 0 £ t £ Khi ®ã, ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn vÒ d¹ng: m(t + 2) = 2 - t2 + t Khi ®ã, ph¬ng tr×nh ban ®Çu cã nghiÖm Û (1) cã nghiÖm tho¶ m·n (*) Û §êng th¼ng y = m c¾t phÇn ®å thÞ hµm sè y = XÐt hµm sè y = §¹o hµm: y' = VËy, ®iÒu kiÖn lµ: y( |
