Một số mô hình trong tam giác Pascals là gì?

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

28

8

1

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

1

10

45

120

210

210

120

45

10

1

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

1

12

66

495

792

924

792

495

66

12

1

Sơ đồ này chỉ hiển thị mười hai hàng đầu tiên, nhưng chúng ta có thể tiếp tục mãi mãi, thêm các hàng mới ở dưới cùng. Lưu ý rằng tam giác là đối xứng-góc cạnh, có thể giúp bạn tính toán một số ô.

Tam giác được gọi là Tam giác Pascal, được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Blaise Pascal. Ông là một trong những nhà toán học châu Âu đầu tiên nghiên cứu các dạng và tính chất của nó, nhưng nó đã được các nền văn minh khác biết đến từ nhiều thế kỷ trước.

Năm 450 trước Công nguyên, nhà toán học Ấn Độ Pingala gọi tam giác này là “Cầu thang của Núi Tu Di”, được đặt tên theo một ngọn núi linh thiêng của đạo Hindu.

Ở Iran, nó được gọi là “tam giác Khayyam” (مثلث خیام), được đặt tên theo nhà thơ và nhà toán học Ba Tư Omar Khayyám.

Ở Trung Quốc, nhà toán học Jia Xian cũng đã phát hiện ra tam giác. It was named after his successor, “Yang Hui’s triangle” (杨辉三角)

Có thể tạo tam giác Pascal bằng cách sử dụng một mẫu rất đơn giản, nhưng nó chứa đầy các mẫu và thuộc tính đáng ngạc nhiên. Đó là lý do tại sao nó đã mê hoặc các nhà toán học trên khắp thế giới trong hàng trăm năm.

Tiếp tục

tìm trình tự

Trong các phần trước bạn đã thấy vô số dãy số toán học khác nhau. Hóa ra nhiều trong số chúng cũng có thể được tìm thấy trong tam giác Pascal.

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

78

13

1

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

364

91

14

1

1

15

105

455

1365

3003

5005

6435

6435

5005

3003

1365

455

105

15

1

1

16

120

560

1820

4368

8008

11440

12870

11440

8008

4368

1820

560

120

16

1

Các số ở đường chéo đầu tiên ở hai bên đều là đơn tăng chẵn.

Các số ở hai bên đường chéo thứ hai là số nguyên tố vuông.

Các số trong đường chéo thứ ba ở hai bên là số tam giácsố vuôngsố Fibonacci.

Các số ở đường chéo thứ tư là số tứ diện các số lập phương lũy ​​thừa của 2.

Nếu bạn cộng tất cả các số thành một hàng, tổng của chúng sẽ tạo thành một dãy khác. các lũy thừa của hai số hoàn hảo số nguyên tố.

Trong mỗi hàng có một số nguyên tố trong ô thứ hai của nó, tất cả các số sau đây là bội số nghịch đảo của số nguyên tố đó

Sơ đồ trên làm nổi bật các đường chéo “nông” bằng các màu khác nhau. Nếu chúng ta cộng các số trong mỗi đường chéo, chúng ta sẽ có Các số Fibonacci Dãy số đá hoa cươngdãy hình học.

Tất nhiên, mỗi mẫu này đều có lý do toán học giải thích tại sao nó xuất hiện. Có lẽ bạn có thể tìm thấy một số trong số họ.

Một câu hỏi khác bạn có thể hỏi là tần suất một số xuất hiện trong tam giác Pascal. Rõ ràng có vô số số 1, một số 2 và mọi số khác xuất hiện ít nhất hai lần ít nhất một lần chính xác hai lần, trong .

Một số số ở giữa tam giác cũng xuất hiện ba hoặc bốn lần. Thậm chí có một số xuất hiện 6 lần. bạn có thể nhìn thấy cả 120 và 3003bốn lần trong tam giác ở trên và chúng sẽ xuất hiện thêm hai lần nữa mỗi lần trong các hàng 120 và 3003.

Vì 3003 là một số tam giác, nên nó thực sự xuất hiện thêm hai lần nữa trong các đường chéo thứ ba của tam giác – tổng cộng có tám lần xuất hiện

Không biết có số nào khác xuất hiện 8 lần trong tam giác không, hoặc có số nào xuất hiện nhiều hơn 8 lần không. Nhà toán học người Mỹ David Singmaster đã đưa ra giả thuyết rằng có một giới hạn cố định về tần suất các số có thể xuất hiện trong tam giác Pascal – nhưng điều này vẫn chưa được chứng minh.

chia hết

Một số mẫu trong tam giác Pascal không dễ phát hiện. Trong sơ đồ bên dưới, hãy đánh dấu tất cả các ô chẵn.

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

Có vẻ như số chẵn trong tam giác Pascal tạo thành một số khác nhỏ hơn ma trận tam giác vuông.

Việc tô màu từng ô theo cách thủ công mất nhiều thời gian, nhưng ở đây bạn có thể thấy điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thực hiện việc này cho nhiều hàng khác. Còn các ô chia hết cho các số khác thì sao?

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

78

13

1

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

364

91

14

1

1

15

105

455

1365

3003

5005

6435

6435

5005

3003

1365

455

105

15

1

1

16

120

560

1820

4368

8008

11440

12870

11440

8008

4368

1820

560

120

16

1

1

17

136

680

2380

6188

12376

19448

24310

24310

19448

12376

6188

2380

680

136

17

1

1

18

153

816

3060

8568

18564

31824

43758

48620

43758

31824

18564

8568

3060

816

153

18

1

1

19

171

969

3876

11628

27132

50388

75582

92378

92378

75582

50388

27132

11628

3876

969

171

19

1

1

20

190

1140

4845

15504

38760

77520

125970

167960

184756

167960

125970

77520

38760

15504

4845

1140

190

20

1

1

21

210

1330

5985

20349

54264

116280

203490

293930

352716

352716

293930

203490

116280

54264

20349

5985

1330

210

21

1

1

22

231

1540

7315

26334

74613

170544

319770

497420

646646

705432

646646

497420

319770

170544

74613

26334

7315

1540

231

22

1

1

23

253

1771

8855

33649

100947

245157

490314

817190

1144066

1352078

1352078

1144066

817190

490314

245157

100947

33649

8855

1771

253

23

1

1

24

276

2024

10626

42504

134596

346104

735471

1307504

1961256

2496144

2704156

2496144

1961256

1307504

735471

346104

134596

42504

10626

2024

276

24

1

Chia hết cho 2 Chia hết cho 3 Chia hết cho 4 Chia hết cho 5

Ồ. Các ô được tô màu luôn xuất hiện các cặp hình vuông hình tam giác (ngoại trừ một vài ô đơn lẻ, có thể được coi là hình tam giác có kích thước 1).

Nếu chúng ta tiếp tục mô hình các ô chia hết cho 2, chúng ta sẽ nhận được một ô rất giống với tam giác Sierpinki ở bên phải. Những hình dạng như thế này, bao gồm một mô hình đơn giản dường như tiếp tục mãi mãi trong khi ngày càng nhỏ hơn, được gọi là Fractals. Bạn sẽ tìm hiểu thêm về chúng trong tương lai…

Tam giác Sierpinki

hệ số nhị thức

Còn một tính chất quan trọng nữa của tam giác Pascal mà chúng ta cần nói đến. Để hiểu nó, chúng ta sẽ cố gắng giải cùng một vấn đề bằng hai phương pháp hoàn toàn khác nhau, sau đó xem chúng có liên quan như thế nào.

2 mẫu trong tam giác Pascal là gì?

Một mô hình từ tam giác Pascal của Yang Hui là gì?

Loại đối xứng nào có thể nhìn thấy trong tam giác Pascal?