Nghịch đảo của ma trận không vuông excel

Hàm MINVERSE trả về ma trận nghịch đảo cho một ma trận được lưu trữ trong một mảng

Ghi chú. Nếu bạn có phiên bản Microsoft 365 hiện tại, thì bạn chỉ cần nhập công thức vào ô trên cùng bên trái của phạm vi đầu ra, rồi nhấn ENTER để xác nhận công thức là công thức mảng động. Nếu không, công thức phải được nhập dưới dạng công thức mảng kế thừa bằng cách trước tiên chọn phạm vi đầu ra, nhập công thức vào ô trên cùng bên trái của phạm vi đầu ra, sau đó nhấn CTRL+SHIFT+ENTER để xác nhận. Excel chèn dấu ngoặc nhọn vào đầu và cuối công thức cho bạn. Để biết thêm thông tin về công thức mảng, hãy xem Nguyên tắc và ví dụ về công thức mảng

cú pháp

MINVERSE(mảng)

Cú pháp hàm MINVERSE có các đối số sau

• mảng    Bắt buộc. Một mảng số có số hàng và số cột bằng nhau

Nhận xét

• Mảng có thể được cung cấp dưới dạng một phạm vi ô, chẳng hạn như A1. C3;

• Nếu bất kỳ ô nào trong mảng trống hoặc chứa văn bản, MINVERSE trả về #VALUE. lỗi

• MINVERSE cũng trả về #VALUE. lỗi nếu mảng không có số lượng hàng và cột bằng nhau

• Ma trận nghịch đảo, giống như định thức, thường được sử dụng để giải các hệ phương trình toán học liên quan đến một số biến. Tích của một ma trận và nghịch đảo của nó là ma trận đơn vị — mảng vuông trong đó các giá trị đường chéo bằng 1 và tất cả các giá trị khác bằng 0

• Như một ví dụ về cách tính ma trận hai hàng, hai cột, giả sử rằng phạm vi A1. B2 chứa các chữ cái a, b, c và d đại diện cho bốn số bất kỳ. Sau đây là bảng nghịch đảo của ma trận A1. B2

Cột A

Cột B

Hàng 1

d/(a*d-b*c)

b/(b*c-a*d)

hàng 2

c/(b*c-a*d)

a/(a*d-b*c)

• MINVERSE được tính toán với độ chính xác xấp xỉ 16 chữ số, điều này có thể dẫn đến một lỗi số nhỏ khi quá trình hủy không hoàn tất

• Một số ma trận vuông không thể đảo ngược và sẽ trả về #NUM. giá trị lỗi với MINVERSE. Định thức của ma trận không khả nghịch là 0

ví dụ

Bạn phải nhập các công thức trên dưới dạng công thức mảng để nó hoạt động chính xác. Sau khi bạn nhập công thức, hãy nhấn Enter nếu bạn có đăng ký Microsoft 365 hiện tại; . Nếu công thức không được nhập dưới dạng công thức mảng, một kết quả duy nhất sẽ được trả về

Giả nghịch đảo A+ (hay còn gọi là nghịch đảo Moore-Penrose) của ma trận m × n A là phần mở rộng của nghịch đảo của ma trận vuông đối với ma trận không vuông và đối với ma trận số ít (i. e. không khả nghịch) ma trận vuông

Trường hợp hạng đầy đủ

Đầu tiên chúng ta xét trường hợp ma trận A có hạng đầy đủ, do đó hạng của A = min(m,n)

Ma trận giả nghịch đảo A+ là ma trận n × m với các tính chất sau

• Nếu m ≥ n thì ATA khả nghịch và A+ = (ATA)-1AT và do đó A+A = I, i. e. A+ là nghịch đảo trái của A
• Nếu m ≤ n, thì AAT khả nghịch và A+ = AT(AAT)–1 và do đó AA+ = I, i. e. A+ là nghịch đảo phải của A
• Nếu A khả nghịch thì A+ = A-1

Lưu ý rằng với một loạt các phương trình tuyến tính được biểu thị là AX = C, chúng ta có thể thu được nghiệm qua X = A+AX = A+C

ví dụ 1. Tìm giả nghịch đảo cho ma trận trong phạm vi B4. E6 của Hình 1

Kết quả được hiển thị trong phạm vi L12. N15 của Hình 1

Hình 1 – Giả nghịch đảo cho ma trận hạng đầy đủ

Chúng tôi lưu ý rằng A có thứ hạng đầy đủ vì MRANK(B4,E6) = 3. Chúng tôi cũng lưu ý rằng A'A không khả nghịch (det = 0) và vì vậy chúng tôi sử dụng AAT để tính toán giả nghịch đảo (như mong đợi vì m < n). Cuối cùng, chúng ta thấy rằng AA+ = I, như thể hiện trong phạm vi L18. N20. Lưu ý rằng trong khi A+ là phép nghịch đảo bên phải, nó không phải là phép nghịch đảo bên trái (A+A ≠ I)

Chức năng trang tính (Xếp hạng đầy đủ)

Chức năng thống kê thực. Gói tài nguyên thống kê thực cung cấp chức năng sau đây có thể được sử dụng khi R1 chứa ma trận xếp hạng đầy đủ

PseudoInv(R1, 0). xuất ra một mảng là nghịch đảo giả của ma trận trong mảng R1

Chúng ta có thể tính toán giả nghịch đảo của A trong Ví dụ 1 bằng cách sử dụng công thức PseudoInv(B4. E6,0) trong phạm vi L12. N15 của Hình 1

ví dụ 2. Tìm giả nghịch đảo của ma trận trong phạm vi B2. D4 của Hình 2

Hình 2 – Ma trận không xếp hạng đầy đủ

Từ Hình 2, chúng ta thấy rằng hạng của ma trận là 2, có nghĩa là ma trận không có hạng đầy đủ và do đó cách tiếp cận được mô tả ở trên là không phù hợp. Trên thực tế, chúng ta cũng thấy rằng giả nghịch đảo được tạo bởi công thức =PseudoInv(B2. D4,0) không phải là nghịch đảo trái hoặc phải. Vì A là một ma trận vuông, nên nghịch đảo giả của nó sẽ giống như nghịch đảo bình thường của nó, với điều kiện là A khả nghịch. Nhưng A không khả nghịch vì det(A) = 0

Điều này không có nghĩa là A không có ma trận giả. Nó chỉ có nghĩa là chúng ta cần một phương pháp khác để tìm thấy nó

Sử dụng phương pháp SVD

Giả sử A = UDVT là Phân tích giá trị số ít (SVD) của A. Sau đó, giả nghịch đảo A+ = VD+UT trong đó D+ là ma trận đường chéo được hình thành bằng cách lấy nghịch đảo của từng phần tử khác 0 trong D, để nguyên các số không, sau đó hoán vị ma trận kết quả

Lưu ý rằng A+A = (VD+UT)(UDVT) = VD+DVT = VVT = I cung cấp D+D = I, đó sẽ là trường hợp nếu A có thứ hạng đầy đủ

Do đó, phương pháp SVD là một cách tiếp cận khác để tìm giả nghịch đảo cho ma trận hạng đầy đủ. Nó chỉ ra rằng phương pháp SVD hoạt động ngay cả đối với ma trận, không phải hạng đầy đủ, nhưng trước tiên, chúng ta cần sửa đổi định nghĩa của nghịch đảo giả vì trong trường hợp này, ma trận sẽ không có nghịch đảo phải hoặc trái

Ma trận A+ là ma trận giả nghịch đảo của A với điều kiện bốn thuộc tính sau được giữ

• AA+A = A
• A+AA+ = A+
• (AA+)+ = AA+
• (A+A)+ = A+A

Lưu ý rằng nếu A là hạng đầy đủ, thì AA+ = I hoặc A+A = I, và do đó, dễ dàng thấy rằng cả bốn thuộc tính đều đúng

Nó chỉ ra rằng bất kỳ ma trận nào cũng có một giả nghịch đảo như được định nghĩa ở trên và giả nghịch đảo này là duy nhất. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp SVD được mô tả ở trên để tìm nghịch đảo giả này

ví dụ 3. Tìm giả nghịch đảo của ma trận trong phạm vi B2. D4 của Hình 2 sử dụng phương pháp SVD

Kết quả được hiển thị trong phạm vi J15. L17 của Hình 3

Hình 3 – Phương pháp SVD

Chức năng trang tính (SVD)

Chức năng thống kê thực. Gói tài nguyên thống kê thực cung cấp chức năng trang tính sau

PseudoInv(R1, lần lặp, tiền tố). xuất ra một mảng là nghịch đảo giả của ma trận trong mảng R1 bằng cách sử dụng phương pháp SVD

iter (mặc định 200) và prec (mặc định 0. 00001)

Chúng ta có thể lấy giả nghịch đảo trong Ví dụ 3 bằng cách sử dụng công thức mảng =PseudoInv(B2. D4) trong phạm vi J15. L17 của Hình 3

Phương pháp loại bỏ Gaussian

Khi một ma trận không có thứ hạng đầy đủ, chúng ta có thể sử dụng cách tiếp cận sau thay vì cách tiếp cận SVD. Tính toán ma trận AAT và sử dụng loại bỏ Gaussian để giảm ma trận này thành dạng cấp bậc hàng thông qua công thức trang tính =ELIM(AAT). Cuối cùng, loại bỏ mọi hàng cuối cùng chứa tất cả các số 0 để thu được ma trận mà chúng ta sẽ gọi là P

1. Lặp lại bước 1 trên ma trận ATA để lấy ma trận R
2. Tính Q = RT
3. Tính ma trận M = (PAQ)-1
4. Cuối cùng, tính giả nghịch đảo A+ = QMP

Ví dụ 4. Lặp lại Ví dụ 3 bằng quy trình trên

Điều này được thể hiện trong Hình 4. Kết quả hiển thị trong phạm vi N9. P11 giống với P11 thu được khi sử dụng phương pháp SVD, như trong Hình 3

Hình 4 – Giả nghịch đảo sử dụng loại bỏ Gaussian

Hàm bảng tính (Loại bỏ Gaussian)

Chức năng thống kê thực. Gói tài nguyên thống kê thực cung cấp chức năng trang tính sau

PseudoInv(R1, -1, prec). xuất ra một mảng là nghịch đảo giả của ma trận trong mảng R1 bằng cách sử dụng phương pháp SVD

Phương pháp loại bỏ Gaussian được sử dụng khi đối số thứ hai trong PseudoInv là phủ định. Ở đây prec là một giá trị số dương nhỏ (mặc định. 00001). Trong quá trình loại bỏ Gaussian, bất kỳ giá trị nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng prec đều được coi là 0

Chúng ta có thể lấy giả nghịch đảo trong Ví dụ 4 bằng cách sử dụng công thức mảng =PseudoInv(B2. D4) trong phạm vi N9. P11 của Hình 4

Ví dụ 5. Kiểm tra xem các tiêu chí cho giả nghịch đảo được đáp ứng cho Ví dụ 4 (cũng như Ví dụ 3)

Chúng ta có thể thấy từ Hình 5 rằng bốn tiêu chí này đều được đáp ứng. Ta cũng thấy rằng giả nghịch đảo không phải là nghịch đảo phải cũng không phải nghịch đảo trái

Bạn có thể nghịch đảo một ma trận không vuông?

Ma trận 2x3 có nghịch đảo được không?

Nghịch đảo của ma trận 1x1 là gì?