Phương pháp tìm quỹ tích trong không gian
Bài toán. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và một điểm M trên cạnh AB. Gọi N là giao điểm của mặt phẳng A’MC với đường thẳng C’D’. Show
a. Tứ giác A’MCN là hình gì? b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên MN. Tìm quỹ tích của H khi M di động trên AB. Bài toán về hình lập phươngThông tin về sản phẩm:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1). a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).. Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận Bài 10. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(M{A^2} – M{B^2} = 2.\)b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\) c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy). a) Giả sử M(x, y, z) ta có: \(M{A^2} – M{B^2} = 2.\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {1 – x} \right)^2} + {\left( { – 1 – y} \right)^2} + {\left( {2 – z} \right)^2} – {\left( {2 – x} \right)^2} – {y^2} – {\left( {1 – z} \right)^2} = 2 \cr & \Leftrightarrow 2x + 2y – 2z – 1 = 0. \cr} \) Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình \(2x + 2y – 2z – 1 = 0.\) b) Giả sử N(x, y, z) ta có: \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {1 – x} \right)^2} + {\left( { – 1 – y} \right)^2} + {\left( {2 – z} \right)^2} + {\left( {2 – x} \right)^2} + {y^2} + {\left( {1 – z} \right)^2} = 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 3x + y – 3z + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x – {3 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z – {3 \over 2}} \right)^2} = {3 \over 4}. \cr} \) Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm \(I\left( {{3 \over 2}; – {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\), bán kính \({{\sqrt 3 } \over 2}.\)c) Mặt phẳng (OAB) đi qua O, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { – 1;3;2} \right)\) nên có phương trình: \( – x + 3y + 2z = 0.\)Mp(Oxy) có phương trình z = 0. Điểm M(x, y, z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & {{\left| { – x + 3y + 2z} \right|} \over {\sqrt {1 + 9 + 4} }} = \left| z \right| \Leftrightarrow – x + 3y + 2z = \pm \sqrt {14} z \cr & \Leftrightarrow x – 3y + \left( { \pm \sqrt {14} – 2} \right)z = 0. \cr} \) Phương pháp giải một bài toán quỹ tích – Toán lớp 9Tìm quỹ tích các điểm là một dạng Toán khó trong chương trình Hình học 9. Tuy nhiên nếu có phương pháp giải rồi thì cũng không khó lắm đâu.Trước tiên các em cần phải nhớ lại lý thuyết quỹ tích tại link này:https://truongquochoc.com/bai-toan-quy-tich-cung-chua-goc/ 1. Định nghĩa quỹ tíchMột hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất α 2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tíchViệc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v…. như thế nào? Dưới đây là những thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất. 2.1 Tìm hiểu kĩ bài toánTìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng: 2.2 Đoán nhận quỹ tíchThao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. – Khi M → A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích. Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường tròn đường kính AB’. 3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?Giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo. 3.1 Chứng minh phần thuậnMột trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau: 3.2 Chứng minh phần đảoThông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất α . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất α . 3. Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích các điểmVí dụ 4: Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy, hai điểm A, B cố định trên cạnh Ox và một điểm M di động trên cạnh Oy. Đường thẳng vuông góc với MA kẻ từ A cắt đường thẳng vuông góc với MB kẻ từ B tại điểm N. Tìm tập hợp các điểm N. Giải: Phần thuận Bồi dưỡng Toán 9, Hình học 9 - Tags: bài toán quỹ tích, quỹ tích
|