Quy tắc cộng của tam giác Pascals là gì?

Xác suất là xương sống của toán học. Nó cho biết một sự kiện có khả năng xảy ra như thế nào. Nó liên quan đến sự biện minh bằng số của việc đưa ra các quyết định có thể xảy ra hơn. Xác suất càng cao, càng có nhiều cơ hội xảy ra sự kiện và ngược lại. Tam giác Pascal là một khái niệm tuyệt vời về xác suất được phát triển bởi nhà toán học nổi tiếng Blaise Pascal, được sử dụng để tìm các hệ số trong việc khai triển bất kỳ biểu thức nhị thức nào

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal là một phương pháp để biết các hệ số nhị thức của các số hạng của biểu thức nhị thức (x + y)n, trong đó n có thể là một số nguyên dương bất kỳ và x, y là các số thực. Tam giác Pascal được biểu diễn dưới dạng tam giác, nó là một dạng số ở dạng sắp xếp tam giác. Nó bắt đầu với 1 ở trên cùng và với 1 chạy xuống ở hai bên của tam giác. Trong tam giác pascal, mỗi số mới nằm giữa hai số trở xuống rồi và giá trị của nó bằng tổng của hai số trên. Tam giác này được sử dụng trong các loại điều kiện xác suất khác nhau. Ở đây mỗi hàng đại diện cho hệ số khai triển của (x + y)n

Hàng không n = 0, (x + y)0

Hàng đầu tiên n = 1 , (x + y)1

Hàng thứ hai n = 2, (x + y)2

Hàng thứ ba n = 3, (x + y)3

Hàng thứ tư n = 4, (x + y)4

Ở đây lũy thừa của y trong bất kỳ khai triển nào của (x + y)n đại diện cho cột của Tam giác Pascal. n đại diện cho hàng của tam giác Pascal. Hàng và cột được lập chỉ mục 0 trong Tam giác Pascal

Xây dựng tam giác Pascal

Cách tạo tam giác pascal khá đơn giản. Bắt đầu từ hàng trên cùng (hàng thứ 0) bằng cách chỉ viết số 1. Trong các hàng tương ứng, hình vuông mới trong tam giác pascal sẽ là tổng các bình phương ngay phía trên hình vuông này và chạm vào nó. Ví dụ: tìm tổng bình phương hàng 4 và cột 2 bằng tổng bình phương hàng 3 cột 1 và hàng 3 cột 2. Vậy bình phương hàng 4 cột 2 có giá trị 1 + 2 = 3

Tính chất của Tam giác Pascal

1. Mỗi số trong Tam giác Pascal là tổng của hai số trên nó
2. Các số liên tiếp có tính chất đối xứng
3. Mỗi số đại diện cho một hệ số nhị thức
4. Các số ở bên trái và bên phải của tam giác luôn là 1
5. hàng thứ n chứa (n+1) số trong đó

Công thức tam giác Pascal

Công thức tam giác pascal để tìm các phần tử ở hàng thứ n và cột thứ k của tam giác là

=  {p-1} \choose {q-1} {p-1} \choose {q-1}

 + 

Ở đây 0 ≤ q ≤ p, p là số không âm

Hoặc công thức tìm số ở hàng thứ n và cột thứ r được cho bởi pCq = p. /(p – q). q

pCq = pCq-1 + p-1Cq-1

Khai triển nhị thức Pascal

Như chúng ta đã biết tam giác pascal xác định các hệ số nhị thức của các số hạng của biểu thức nhị thức (x + y)n, Vậy khai triển của (x + y)n là

(x + y)n = a0xn + a1xn-1 + ……an-1xyn-1 + anyn

Những câu hỏi ví dụ

Câu hỏi 1. Tìm hệ số của số hạng x2y trong khai triển của (x + y)3

Giải pháp

Phương pháp 1

Chúng ta nhìn vào hàng thứ 3 của Tam giác Pascal vì n là 3 và cột đầu tiên của Tam giác Pascal vì lũy thừa của y là 1 trong số hạng x2y. Vậy hệ số là 3

Phương pháp 2

Chúng tôi chỉ cần áp dụng nCr trong đó n = 3, r = 1

Vậy hệ số của x2y trong khai triển của (x + y)3 là 3C1 = 3

Câu hỏi 2. Tìm hệ số của số hạng x2y2 trong khai triển của (4x + 3y)4

Giải pháp

Phương pháp 1

Chúng ta nhìn vào hàng thứ 4 của Tam giác Pascal vì n là 4 và cột thứ 2 của Tam giác Pascal vì lũy thừa của y là 2 trong số hạng x2y2. Vậy số trong Tam giác Pascal là 6.  

Nhưng chúng ta thấy rằng hệ số của x là 2 và y bây giờ là 1 vì lũy thừa của x là 2 và y là 1 trong số hạng xy^2 nên số của Tam giác Pascal sẽ được nhân với 21 và 12 để tìm ra hệ số

Allison Abels đã dạy toán trung học được 6 năm. Cô có bằng Thạc sĩ Toán học với chuyên ngành Giáo dục Toán học tại Đại học Bắc Illinois. Cô cũng có Giấy phép Nhà giáo dục Chuyên nghiệp ở bang Illinois

Xem tiểu sử

Người hướng dẫnMaria Airth

Maria đã giảng dạy các khóa tâm lý học và toán học cấp Đại học trong hơn 20 năm. Họ có bằng Tiến sĩ Giáo dục của Đại học Nova Đông Nam, bằng Thạc sĩ Tâm lý Nhân tố Con người của Đại học George Mason và bằng Cử nhân Tâm lý học của Cao đẳng Flagler.

Xem tiểu sử

Tìm hiểu tam giác Pascal là gì. Khám phá công thức tam giác Pascal và cách khai triển nhị thức liên quan đến tam giác Pascal. Xem ví dụ tam giác Pascal. Đã cập nhật. 01/04/2022

Mục lục

Trình diễn

Tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal là một dãy số được sắp xếp theo mảng đối xứng tạo thành hình tam giác. Tên của nó xuất phát từ nhà toán học người Pháp Blaise Pascal và hình dạng của nó gợi nhớ đến một kim tự tháp. Mặc dù Pascal không phải là người đầu tiên xác định mô hình này, nhưng ông có thể là người đầu tiên xuất bản nó trong tác phẩm của mình có tựa đề Chuyên luận về Tam giác số học

Hình 1. Một hình ảnh của tam giác Pascals. Nó hiển thị 9 hàng đầu tiên, trong đó hàng đầu tiên được gắn nhãn là 0

Lưu ý rằng hàng đầu tiên thực sự được gọi là hàng thứ 0 trong tam giác Pascal

Tam giác Pascal có nhiều đặc điểm và ứng dụng thú vị trong các môn học như xác suất, tổ hợp và đại số. Ví dụ: nó có thể được sử dụng để tính toán các kết hợp như có bao nhiêu cách để chọn một nhóm gồm 3 trong tổng số 5 ứng viên. Một ứng dụng quan trọng khác là nó có thể được sử dụng để xác định các hệ số của khai triển nhị thức đại số, chẳng hạn như {eq}(a + b)^x {/eq}. Còn nhiều mẫu nữa để tìm trong tam giác Pascal và có thể một số mẫu vẫn chưa được khám phá

Tam giác Pascal

Bạn đã bao giờ đến Ai Cập chưa? . Nghĩ đến Ai Cập luôn nghĩ đến những kim tự tháp. Kim tự tháp gợi lên trong tôi cảm giác bí ẩn và kinh ngạc

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về Tam giác Pascal bí ẩn và kỳ thú. Tam giác Pascal là một mẫu số tuyệt vời tạo ra hình dạng kim tự tháp hoặc hình tam giác từ các hệ số nhị thức. Nó được đặt tên theo nhà toán học người Pháp

Hình tam giác bắt đầu bằng số 1 ở trên cùng, đỉnh cao của kim tự tháp. Dòng tiếp theo trong tam giác có hai số 1. như thế này

Dòng thứ ba của tam giác là 1, 2, 1. Đây là nơi nó bắt đầu trở nên thực sự thú vị. Hãy vẽ thêm hai đường của tam giác để thực sự thấy điều gì đang xảy ra

Bạn có nhận thấy rằng các cạnh bên ngoài luôn là 1 không?

Nếu bạn không nhận thấy khía cạnh bổ sung, hãy xem lại. Trên dòng thứ hai, chúng ta có 1 và 1. Ngay dưới hai cái đó là số 2. 1 + 1 = 2. Ở dòng tiếp theo, chúng ta có 1 và 2 cạnh nhau. Dưới họ là 3. Dưới hai số 3 là số 6. bây giờ bạn có nhìn thấy nó không? . Sử dụng quy trình thêm này, bạn có thể tự tạo Tam giác Pascal cho mình với bao nhiêu dòng tùy thích.

Điều cuối cùng cần lưu ý, và nó sẽ còn rõ ràng hơn khi bạn xây dựng hình tam giác, đó là hình tam giác đối xứng hoàn toàn. Vì vậy, khi bạn đang xây dựng các dòng, hãy nhớ rằng, khi bạn đến giữa, phần còn lại của các số cho bất kỳ dòng nào sẽ khớp với mặt trái của nửa đầu của dòng

Đã xảy ra lỗi khi tải video này

Hãy thử làm mới trang hoặc liên hệ với bộ phận hỗ trợ khách hàng

Bạn phải cC tạo một tài khoản để tiếp tục xem

Đăng ký để xem bài học này

Bạn là học sinh hay giáo viên?

tôi là học sinh tôi là giáo viên

Tạo tài khoản của bạn để tiếp tục xem

Là thành viên, bạn cũng sẽ có quyền truy cập không giới hạn vào hơn 84.000 bài học về toán, tiếng Anh, khoa học, lịch sử, v.v. Ngoài ra, nhận các bài kiểm tra thực hành, câu đố và huấn luyện được cá nhân hóa để giúp bạn thành công

Nhận quyền truy cập không giới hạn vào hơn 84.000 bài học

Chỉ mất vài phút để thiết lập và bạn có thể hủy bất cứ lúc nào

Đã đăng ký?

Tài nguyên do giáo viên tạo ra cho giáo viên

Hơn 30.000 bài học video & tài nguyên giảng dạy‐tất cả ở một nơi.

bài học video

Câu đố & Bảng tính

Tích hợp lớp học

kế hoạch bài học

Tôi chắc chắn sẽ giới thiệu Study. com đến các đồng nghiệp của tôi. Nó giống như một giáo viên vung cây đũa thần và làm việc cho tôi. Tôi cảm thấy như đó là một cứu cánh

Jennifer B

Giáo viên

Mặt sau

Sắp tới. Định lý nhị thức. Xác định biểu thức

Bạn đang trên đà. Hãy tiếp tục phát huy

Làm bài kiểm tra Xem  Bài học tiếp theo

phát lại

Chỉ cần kiểm tra trong. bạn vẫn đang xem à?

Đúng. Tiếp tục chơi

Bài học tiếp theo của bạn sẽ phát sau 10 giây

• 0. 03 Tam giác Pascal
• 1. 51 Công dụng của đa thức
• 4. 06 Ví dụ
• 6. 32 Tóm tắt bài học

Lưu Dòng thời gian

Tự chạy

Tự chạy

Tốc độ

Tốc độ

8. 6K lượt xem

• Đố
• Khóa học

8. 6K lượt xem

Công thức tam giác Pascal

Công thức tam giác Pascal là {eq}\dbinom{n+1}{r} = \dbinom{n}{r - 1} + \dbinom{n}{r} {/eq}. Ký hiệu trong ngoặc đơn này đại diện cho các kết hợp, do đó, một cách khác để biểu thị {eq}\dbinom{n}{r} {/eq} sẽ là {eq}{}_{n}\text{C}_{r} {/eq} . {r. (n-r). } {/eq}. Lưu ý rằng {eq}r \leq n {/eq}

Mô hình tam giác Pascal

Tam giác Pascal chứa nhiều mẫu. Ví dụ: mẫu số được hiển thị trong hình 2 trông giống như một chiếc tất hoặc một chiếc bít tất, với một phần thẳng dài và sau đó là một phần lệch góc ở cuối. Mô hình hoạt động theo cả hai hướng vì tam giác Pascal đối xứng. Tổng của bất kỳ số hạng nào dọc theo một đường chéo trong tam giác có thể được tìm thấy ở cuối đường chéo đó chỉ bằng cách đổi hướng. Điều này hoạt động miễn là bạn bắt đầu từ số 1 trên cạnh của tam giác

Hình 2. Theo một đường màu đỏ dọc theo một đường chéo trong tam giác Pascals. Cuối cùng, chuyển hướng để tìm tổng của mọi số trong đường chéo đó

Ví dụ, trong hình tam giác đầu tiên trong hình 2, có một đường màu đỏ nối 1, 3, 6, 10 và 15. Đường chéo đổi hướng cho số hạng cuối cùng, là 35, cũng bằng 1 + 3 + 6 + 10 + 15. Một phiên bản ngắn hơn của cùng một đường chéo cũng sẽ hoạt động. Lưu ý rằng 1 + 3 + 6 trên cùng một đường chéo bằng 10 sau khi đường màu đỏ đổi hướng

Để tìm bất kỳ phần tử nào của tam giác Pascal, hãy cộng hai số hạng phía trên nó lại với nhau. Các số hạng trong mảng tam giác phải hơi lệch nhau, sao cho sau hai hàng đầu tiên, mỗi số nằm ở giữa bên dưới hai số khác ngoại trừ số 1 ở các cạnh. Một số ví dụ được minh họa trong hình 3, chẳng hạn như 1 + 2 = 3 và 5 + 10 = 15. Sử dụng phương pháp này, tam giác Pascal có thể tiếp diễn vô tận

Hình 3. Cộng hai số liền kề trên tam giác Pascals ta được giá trị bên dưới hai số đó

Tổng các hàng của tam giác Pascal cũng tạo thành một mô hình thú vị. Cộng tất cả các số hạng trong bất kỳ hàng nào của tam giác Pascal bằng một lũy thừa 2. Ví dụ: hàng thứ 3 sẽ là 1 + 3 + 3 + 1 = 8, tức là 2 mũ 3. Nhớ lại rằng hàng đầu tiên thực sự là Hàng 0, vì vậy hàng thứ 3 là 1, 3, 3, 1 chứ không phải 1, 2, 1 sẽ là hàng thứ 2. Hình 4 minh họa thêm ví dụ

hinh 4. Mỗi hàng của tam giác Pascal cộng lại thành lũy thừa 2

Dùng mô hình này, có thể dự đoán tổng của bất kỳ hàng nào trong tam giác Pascal. Tổng tất cả các số hạng ở hàng thứ n của tam giác Pascal sẽ bằng 2 n .

Ví dụ về tam giác Pascal

Phần này có 2 ví dụ về tam giác Pascal

Ví dụ 1 Hàng tiếp theo của tam giác Pascal là gì?

Hình 5. Một hình ảnh của tam giác Pascals. Nó hiển thị 9 hàng đầu tiên, trong đó hàng đầu tiên được gắn nhãn là 0

Số đầu tiên và số cuối cùng luôn là 1, vì vậy hãy bắt đầu bằng 1. Sau đó, thêm các số của hàng cuối cùng theo cặp để xác định các số trong hàng mới

• 1 + 8 = 9
• 8 + 28 = 36
• 28 + 56 = 84
• 56 + 70 = 126

Sau đó, mô hình là đối xứng. Vậy, hàng tiếp theo của tam giác Pascal là 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1

Ví dụ 2 Tổng của hàng thứ 11 của tam giác Pascal là bao nhiêu?

Nhắc lại rằng tổng của hàng thứ n trong Tam giác Pascal bằng 2 n . Vì vậy, tổng của các số hạng ở hàng thứ 11 sẽ là 2 11 là 2,048.

Khai triển nhị thức có liên quan như thế nào đến Tam giác Pascal?

Khai triển nhị thức là khi một biểu thức ở dạng {eq}(a + b) ^ x {/eq} được khai triển hết cỡ. Ví dụ: khai triển nhị thức của {eq}(x + 1)^3 {/eq} là {eq}(x + 1)(x + 1)(x + 1) = x^3 + 3x^2 + 3x

Các hàng của tam giác Pascal chứa các hệ số để khai triển nhị thức. Sử dụng cùng số hàng với số mũ trong bài toán. Ví dụ: {eq}(a + b)^4 {/eq} sẽ có các hệ số ở hàng 4 của tam giác Pascal

Ví dụ 3Mở rộng {eq}(a + b)^5 {/eq}

Đối với lũy thừa của 5, tham khảo hàng 5 của tam giác Pascal, đó là 1, 5, 10, 10, 5, 1. Những con số này đại diện cho các hệ số trên mỗi thuật ngữ, theo thứ tự

Trong mỗi số hạng, lũy thừa trên a sẽ giảm đi 1 và lũy thừa trên b sẽ tăng lên 1. Vì vậy, việc mở rộng sẽ là

{eq}a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5 {/eq}

Tùy thuộc vào giá trị của a và b, số trong tam giác Pascal có thể không chính xác bằng hệ số trong câu trả lời cuối cùng. Vì vậy, đây là cách xác định hệ số của số hạng thứ n trong khai triển nhị thức ở dạng {eq}(a + b)^x {/eq} bằng tam giác Pascal

1. Sử dụng hàng x trong tam giác Pascal
2. Xác định số hạng thứ n trong hàng đó. Gọi số này c
3. Xác định lũy thừa trên a theo x - n + 1
4. Xác định lũy thừa trên b theo x - (x - n + 1)
5. Viết biểu thức {eq}c \cdot a ^{x - n + 1} \cdot b^{x - (x - n + 1)} {/eq} và rút gọn để xác định hệ số cuối cùng của số hạng đó

Ví dụ 4Sử dụng tam giác Pascal để xác định số hạng thứ 4 của khai triển {eq}(2x + 1)^8 {/eq}

Vì lũy thừa là 8 nên tham khảo hàng thứ 8 của tam giác Pascal. 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Thuật ngữ thứ 4 trong hàng này là 20, vì vậy đó sẽ là hệ số của câu trả lời

Sau đó, để tìm số hạng thứ 4, hãy tìm {eq}(2x)^{8 - 3} = (2x)^5 = 2^5 x^5 = 32x^5 {/eq} và {eq}1^{8

Vì vậy, đáp án cuối cùng cho số hạng thứ 4 là {eq}20 \cdot 32x^5 \cdot 1 = 640x^5 {/eq}

Tam giác Pascal được sử dụng để làm gì?

Tam giác Pascal được sử dụng trong xác suất cho bất kỳ sự kiện nào có chính xác hai kết quả có thể xảy ra mà cả hai đều có khả năng xảy ra như nhau, chẳng hạn như tung đồng xu. Loại biến cố này được gọi là biến cố nhị thức. Cộng số hạng ở hàng thứ n của tam giác Pascal sẽ ra số kết quả có thể xảy ra khi tung n đồng xu, hoặc tìm 2 n . Điều này là do tổng của các hàng bằng lũy ​​thừa của 2.

Xác suất thành công của r trong tổng số n lần thử cũng có thể được xác định bằng cách sử dụng tam giác Pascal. Tổng số kết quả có thể xảy ra là tổng của hàng thứ n của tam giác Pascal. Số cách có thể đạt được 'r thành công là {eq}{}_{n}\text{C}_{r} {/eq}. Số này xuất hiện trong tam giác Pascal là số hạng thứ (r + 1) ở hàng n. Xác suất của r thành công trong tổng số n lần thử trong một thí nghiệm nhị thức khi đó sẽ là thương của hai số đó, với tổng số kết quả có thể xảy ra là mẫu số

Ví dụ 5Xác suất để được mặt ngửa 6 lần khi tung đồng xu 8 lần là bao nhiêu?

Đầu tiên, hãy xác định tổng của hàng 8 là tổng số kết quả có thể xảy ra. 2 8 = 256.

Tiếp theo, xác định thuật ngữ thứ 7 trong hàng 8, đó là 28

Hình 6. Một hình ảnh của tam giác Pascals. Nó hiển thị 9 hàng đầu tiên, trong đó hàng đầu tiên được gắn nhãn là 0

Vì vậy, xác suất là {eq}\frac{28}{256} {/eq}, xấp xỉ bằng 11%

Tam giác Pascal cũng có thể được sử dụng cho các tổ hợp, đó là các bài toán đếm mà thứ tự không quan trọng. Để đếm số cách mà một nhóm r có thể được chọn từ tổng dân số n, chỉ cần xác định thuật ngữ thứ (r + 1) trong hàng thứ n, giống như {eq}{}_{n}

Ví dụ 6A công ty đang tìm cách thành lập một ủy ban gồm 3 người trong tổng số 6 ứng viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm này?

Bài toán này tương đương với {eq}{}_{6}\text{C}_{3} {/eq}, vậy hãy xác định số thứ 4 ở hàng 6 của tam giác Pascal. Con số này là 20. Vì vậy, có 20 cách có thể để công ty thành lập ủy ban này

Đây là cách sử dụng tam giác Pascal cho các ứng dụng khác nhau trong thống kê và xác suất

Tom tăt bai học

Tam giác Pascal là một mô hình số được sắp xếp thành một hình tam giác đối xứng. Nó được gán cho Blaise Pascal, một nhà toán học người Pháp. Các cạnh ngoài của tam giác đều là số 1. Để có được các số còn lại bên trong tam giác, hãy cộng hai số trên một khoảng trắng với nhau để có số tiếp theo. Nó có thể được sử dụng để đếm các kết hợp, đó là các bài toán đếm mà thứ tự không quan trọng và để tìm xác suất của các sự kiện nhị thức, là các sự kiện có chính xác hai kết quả có khả năng xảy ra như nhau

Tam giác Pascal cũng có thể được sử dụng để khai triển nhị thức và để xác định bất kỳ số hạng nào trong khai triển nhị thức. Để xác định số hạng thứ n trong khai triển nhị thức {eq}(a + b)^x {/eq}, hãy sử dụng hàng thứ x của tam giác và xác định số hạng thứ n trong hàng đó. Nhân số đó với {eq}a^{x - n + 1} \cdot b^{x - (x - n + 1)} {/eq} để được số hạng thứ n. Thực hiện quy trình này cho tất cả các thuật ngữ để viết ra toàn bộ khai triển

Sử Dụng Đa Thức Cho Tam Giác Pascal

Được rồi, vậy Tam giác Pascal là một mẫu số khá thú vị, nhưng điều đó có ích gì với đa thức?

Trước khi chúng tôi trả lời điều đó, hãy xem xét một khai triển đa thức. (x + 1)^3. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta phải nhân lên. (x + 1)(x + 1)(x + 1). Cuối cùng, chúng tôi sẽ kết thúc với. x^3 + 3x^2 + 3x + 1

Nếu bạn không chắc chắn làm thế nào tôi có câu trả lời đó, vui lòng xem lại một số bài học đại số khác

Những gì tôi nhận thấy về kết quả này là

• Bắt đầu với lũy thừa ban đầu, lũy thừa giảm đi một trong mỗi số hạng
• Các hệ số cho mỗi số hạng là 1, 3, 3, 1

Đợi đã, 1, 3, 3, 1. Đó là một trong các đường của tam giác

Bạn đã sẵn sàng cho việc này chưa?

Nhìn lại tam giác của chúng ta, hãy chú ý cách các hệ số khai triển đa thức khớp hoàn hảo với các số của tam giác

• (x + 1)^0 = 1
• (x + 1)^1 = 1x + 1
• (x + 1)^2 = 1x^2 + 2x + 1
• (x + 1)^3 = 1x^3 + 3x^2 + 3x + 1
• (x + 1)^4 = 1x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1

Hình minh họa này làm cho mẫu khá dễ nhìn. Nếu bạn muốn mở rộng (x + 1)^5, bạn chỉ cần thêm một dòng khác vào tam giác. 1, 5, 10, 10, 5, 1. Do đó khai triển là x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1

Tất cả những gì bạn phải nhớ là giảm số mũ cho mỗi số hạng và phần còn lại được thực hiện cho bạn trong tam giác

ví dụ

Bây giờ hãy làm một số ví dụ. Đối với ví dụ đầu tiên, hãy xem liệu bạn có thể sử dụng Tam giác Pascal để mở rộng (x + 1)^7. Viết tam giác đến lũy thừa 7 (nhớ dòng đầu tiên là n^0)

Các dòng là

1
1, 1
1, 2, 1
1, 3, 3, 1
1, 4, 6, 4, 1
1, 5, 10, 10, 5, 1
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

Sử dụng hàng cuối cùng làm hệ số của chúng tôi. (x + 1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1

Đây là một mẹo - đừng quên giảm số mũ mỗi lần

Hãy thử một ví dụ khác. mở rộng (3x + 1)^3

Đừng để bị ném bởi 3x ở đây. Nó hoạt động như cũ, nhưng bây giờ, thay vì chỉ là x, bạn sử dụng 3x. Như thế này. 1(3x)^3 + 3(3x)^2 + 3(3x) + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1

Mẹo ở đây - đừng quên tăng 3 của 3x cho mỗi lũy thừa

Đối với ví dụ cuối cùng của chúng ta, một loại câu hỏi khác mà bạn có thể gặp khi làm việc với đa thức là, 'Hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển của (2x + 1)^5 sẽ là bao nhiêu?'

Ở đây, một lần nữa, bạn có thể tham khảo Tam giác Pascal. Bắt đầu với 0 cho đầu, đếm ngược cho đến khi bạn đạt 5. Sau đó, bạn đếm trên 4 địa điểm. Bạn nên vào ngày 10 thứ hai. Điều này có nghĩa là đối với khai triển của (2x + 1)^5, số hạng thứ tư = 10(2x)^2 = 40x^2. Vì vậy, thuật ngữ thứ tư chỉ có một hệ số 40

Tom tăt bai học

Ồ, được. Chúng ta đã biết rằng Tam giác Pascal là một mẫu số tuyệt vời xác định các hệ số cho khai triển đa thức

Những điều thực sự thú vị cần lưu ý về tam giác là

• Các số ngoài cùng đều là 1
• Bên trong tam giác, mỗi số mới được tìm thấy bằng cách thêm hai số ở trên nó
• Tam giác là đối xứng hoàn toàn
• Mỗi dòng của Tam giác Pascal thể hiện các hệ số khai triển của lũy thừa đa thức tương ứng

Đây là một lời giải thích rất nhanh về tam giác Pascal, tập trung hoàn toàn vào việc sử dụng nó để mở rộng đa thức. Tôi hy vọng bạn thích bài học này và học được nhiều điều về công cụ tuyệt vời và dễ sử dụng này

Kết quả học tập

Khi bạn đã hoàn thành bài học này, bạn sẽ có thể

• Mô tả Tam giác Pascal là gì
• Nhận biết các đặc điểm chính của Tam giác Pascal
• Giải thích cách dùng Tam giác Pascal để khai triển đa thức

Để mở khóa bài học này, bạn phải là một Nghiên cứu. comThành viên

Bản ghi video

Tam giác Pascal

Bạn đã bao giờ đến Ai Cập chưa? . Nghĩ đến Ai Cập luôn nghĩ đến những kim tự tháp. Kim tự tháp gợi lên trong tôi cảm giác bí ẩn và kinh ngạc

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về Tam giác Pascal bí ẩn và kỳ thú. Tam giác Pascal là một mẫu số tuyệt vời tạo ra hình dạng kim tự tháp hoặc hình tam giác từ các hệ số nhị thức. Nó được đặt tên theo nhà toán học người Pháp

Hình tam giác bắt đầu bằng số 1 ở trên cùng, đỉnh cao của kim tự tháp. Dòng tiếp theo trong tam giác có hai số 1. như thế này

Dòng thứ ba của tam giác là 1, 2, 1. Đây là nơi nó bắt đầu trở nên thực sự thú vị. Hãy vẽ thêm hai đường của tam giác để thực sự thấy điều gì đang xảy ra

Bạn có nhận thấy rằng các cạnh bên ngoài luôn là 1 không?

Nếu bạn không nhận thấy khía cạnh bổ sung, hãy xem lại. Trên dòng thứ hai, chúng ta có 1 và 1. Ngay dưới hai cái đó là số 2. 1 + 1 = 2. Ở dòng tiếp theo, chúng ta có 1 và 2 cạnh nhau. Dưới họ là 3. Dưới hai số 3 là số 6. bây giờ bạn có nhìn thấy nó không? . Sử dụng quy trình thêm này, bạn có thể tự tạo Tam giác Pascal cho mình với bao nhiêu dòng tùy thích.

Điều cuối cùng cần lưu ý, và nó sẽ còn rõ ràng hơn khi bạn xây dựng hình tam giác, đó là hình tam giác đối xứng hoàn toàn. Vì vậy, khi bạn đang xây dựng các dòng, hãy nhớ rằng, khi bạn đến giữa, phần còn lại của các số cho bất kỳ dòng nào sẽ khớp với mặt trái của nửa đầu của dòng

Sử Dụng Đa Thức Cho Tam Giác Pascal

Được rồi, vậy Tam giác Pascal là một mẫu số khá thú vị, nhưng điều đó có ích gì với đa thức?

Trước khi chúng tôi trả lời điều đó, hãy xem xét một khai triển đa thức. (x + 1)^3. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta phải nhân lên. (x + 1)(x + 1)(x + 1). Cuối cùng, chúng tôi sẽ kết thúc với. x^3 + 3x^2 + 3x + 1

Nếu bạn không chắc chắn làm thế nào tôi có câu trả lời đó, vui lòng xem lại một số bài học đại số khác

Những gì tôi nhận thấy về kết quả này là

• Bắt đầu với lũy thừa ban đầu, lũy thừa giảm đi một trong mỗi số hạng
• Các hệ số cho mỗi số hạng là 1, 3, 3, 1

Đợi đã, 1, 3, 3, 1. Đó là một trong các đường của tam giác

Bạn đã sẵn sàng cho việc này chưa?

Nhìn lại tam giác của chúng ta, hãy chú ý cách các hệ số khai triển đa thức khớp hoàn hảo với các số của tam giác

• (x + 1)^0 = 1
• (x + 1)^1 = 1x + 1
• (x + 1)^2 = 1x^2 + 2x + 1
• (x + 1)^3 = 1x^3 + 3x^2 + 3x + 1
• (x + 1)^4 = 1x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1

Hình minh họa này làm cho mẫu khá dễ nhìn. Nếu bạn muốn mở rộng (x + 1)^5, bạn chỉ cần thêm một dòng khác vào tam giác. 1, 5, 10, 10, 5, 1. Do đó khai triển là x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1

Tất cả những gì bạn phải nhớ là giảm số mũ cho mỗi số hạng và phần còn lại được thực hiện cho bạn trong tam giác

ví dụ

Bây giờ hãy làm một số ví dụ. Đối với ví dụ đầu tiên, hãy xem liệu bạn có thể sử dụng Tam giác Pascal để mở rộng (x + 1)^7. Viết tam giác đến lũy thừa 7 (nhớ dòng đầu tiên là n^0)

Các dòng là

1
1, 1
1, 2, 1
1, 3, 3, 1
1, 4, 6, 4, 1
1, 5, 10, 10, 5, 1
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

Sử dụng hàng cuối cùng làm hệ số của chúng tôi. (x + 1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1

Đây là một mẹo - đừng quên giảm số mũ mỗi lần

Hãy thử một ví dụ khác. mở rộng (3x + 1)^3

Đừng để bị ném bởi 3x ở đây. Nó hoạt động như cũ, nhưng bây giờ, thay vì chỉ là x, bạn sử dụng 3x. Như thế này. 1(3x)^3 + 3(3x)^2 + 3(3x) + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1

Mẹo ở đây - đừng quên tăng 3 của 3x cho mỗi lũy thừa

Đối với ví dụ cuối cùng của chúng ta, một loại câu hỏi khác mà bạn có thể gặp khi làm việc với đa thức là, 'Hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển của (2x + 1)^5 sẽ là bao nhiêu?'

Ở đây, một lần nữa, bạn có thể tham khảo Tam giác Pascal. Bắt đầu với 0 cho đầu, đếm ngược cho đến khi bạn đạt 5. Sau đó, bạn đếm trên 4 địa điểm. Bạn nên vào ngày 10 thứ hai. Điều này có nghĩa là đối với khai triển của (2x + 1)^5, số hạng thứ tư = 10(2x)^2 = 40x^2. Vì vậy, thuật ngữ thứ tư chỉ có một hệ số 40

Tom tăt bai học

Ồ, được. Chúng ta đã biết rằng Tam giác Pascal là một mẫu số tuyệt vời xác định các hệ số cho khai triển đa thức

Những điều thực sự thú vị cần lưu ý về tam giác là

• Các số ngoài cùng đều là 1
• Bên trong tam giác, mỗi số mới được tìm thấy bằng cách thêm hai số ở trên nó
• Tam giác là đối xứng hoàn toàn
• Mỗi dòng của Tam giác Pascal thể hiện các hệ số khai triển của lũy thừa đa thức tương ứng

Đây là một lời giải thích rất nhanh về tam giác Pascal, tập trung hoàn toàn vào việc sử dụng nó để mở rộng đa thức. Tôi hy vọng bạn thích bài học này và học được nhiều điều về công cụ tuyệt vời và dễ sử dụng này

Kết quả học tập

Khi bạn đã hoàn thành bài học này, bạn sẽ có thể

• Mô tả Tam giác Pascal là gì
• Nhận biết các đặc điểm chính của Tam giác Pascal
• Giải thích cách dùng Tam giác Pascal để khai triển đa thức

Để mở khóa bài học này, bạn phải là một Nghiên cứu. comThành viên

Các câu hỏi thường gặp

Tam giác Pascal được sử dụng như thế nào trong xác suất?

Tam giác Pascal được sử dụng để tính xác suất nhị thức, xảy ra khi một kịch bản có chính xác 2 kết quả có thể xảy ra và cả hai đều có khả năng xảy ra như nhau. Nó cũng có thể được sử dụng để xác định sự kết hợp của hai số bất kỳ

Nói một cách đơn giản tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal là một mẫu các số được sắp xếp trong một mảng trông giống như một hình tam giác. Hàng tiếp theo của tam giác Pascal được tạo bằng cách sử dụng 1 cho đầu và cuối, sau đó cộng hai số ở trên để có số tiếp theo ở bên dưới

Công thức tam giác Pascal là gì?

Công thức tam giác Pascal là (n+1)C(r) = (n)C(r - 1) + (n)C(r). Có nghĩa là số cách chọn r mục trong tổng số n + 1 mục bằng cách thêm số cách chọn r - 1 mục trong tổng số n mục và số cách chọn r

Công thức quy tắc Pascal là gì?

Giải pháp. Theo công thức Pascal, n +2C r = n + 1Cr - 1 + n + 1Cr.

Công thức cho tam giác Pascals là gì?

Công thức tam giác Pascal. Công thức tam giác Pascal là (n+1r)=(nr−1)+(nr) ( n + 1 r ) = ( n r − 1 ) + .

Quy tắc tính tổng của hàng thứ n trong tam giác Pascal là gì?

Tổng các phần tử ở hàng thứ n của tam giác Pascal là 2n. Chúng tôi đưa ra hai bằng chứng của định lý này. một dựa trực tiếp vào các quy tắc tạo ra tam giác Pascal và một sử dụng định lý nhị thức .

Tổng của hàng thứ 30 trong Tam giác Pascal là bao nhiêu?

Do đó, tổng các số hạng ở hàng thứ 30 của tam giác Pascal là 2   . Thuộc tính mà ví dụ cuối cùng đã khám phá không phải là duy nhất đối với hàng thứ 30. Thật vậy, tổng các hàng liên tiếp của tam giác Pascal là lũy thừa liên tiếp của hai.