Số Lượng Các Số Đáp Ứng Yêu Cầu

Trên hành tinh toán học, việc đếm số lượng các số thỏa mãn một số điều kiện nhất định có thể trở nên rắc rối. Trong bài toán này, chúng ta sẽ khám phá và giải quyết một loạt các câu hỏi liên quan đến việc đếm số lượng các số tự nhiên dựa trên các điều kiện cụ thể. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách tính toán để giải quyết những bài toán đếm này.

Một số câu hỏi khác

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 3.

Gọi số thỏa mãn đề bài là $ABCDE$. Có hai cách để sắp xếp các chữ số $1, 2, 3$ trong các vị trí $A, B, C$:

• Cách 1: Ba chữ số $1, 2, 3$ đứng liền nhau. Trong trường hợp này, ta có 4 cách chọn vị trí cho ba chữ số $1, 2, 3$ (tức là chọn 2 trong 5 vị trí $A, B, C, D, E$). Sau khi chọn vị trí, ta có 3! cách sắp xếp ba chữ số $1, 2, 3$.

  | Số cách chọn vị trí | Số cách sắp xếp ba chữ số $1, 2, 3$ | Tổng |
  |-----|----|--|
  | 4                   | 6                                  | 24   |

• Cách 2: Ba chữ số $1, 2, 3$ không đứng liền nhau. Trong trường hợp này, ta có 3! cách sắp xếp ba chữ số $1, 2, 3$ trong 3 vị trí bất kỳ. Sau đó, ta có 4! cách sắp xếp các chữ số còn lại.

Vậy tổng số số thỏa mãn đề bài là:

$$4 \cdot 3! + 3! \cdot 4! = 4 \cdot 6 + 24 = \boxed{384}$$

Giải thích chi tiết:

Cách 1: Ta có 5 vị trí để đặt ba chữ số $1, 2, 3$. Ta có thể chọn 2 trong 5 vị trí này bằng cách sử dụng hoán vị chập 2, tức là $C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10$. Sau khi chọn vị trí, ta có 3! cách sắp xếp ba chữ số $1, 2, 3$. Vậy, trong trường hợp này, có $10 \cdot 3! = 60$ cách sắp xếp các chữ số $1, 2, 3$.

Cách 2: Ta có 3! cách sắp xếp ba chữ số $1, 2, 3$ trong 3 vị trí bất kỳ. Sau đó, ta có 4! cách sắp xếp các chữ số còn lại. Vậy, trong trường hợp này, có $3! \cdot 4! = 24$ cách sắp xếp các chữ số $1, 2, 3$. Tổng số số thỏa mãn đề bài là $60 + 24 = \boxed{384}$.

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biết trong đó có mặt hai chữ số 2 và 3.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng cách tiếp cận tương tự như với bài toán trên. Số các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt, trong đó có mặt hai chữ số 2 và 3 là:

$$4 \cdot 3! = 4 \cdot 6 = 24$$

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính số hoán vị của 10 chữ số từ 0 đến 9 khi chỉ lấy 3 chữ số. Số cách chọn 3 chữ số khác nhau từ 10 chữ số là $P_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = 720$. Vậy có 720 số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt trong đó có mặt chữ số 2 và 3.

Tương tự như bài toán trên, chúng ta sẽ áp dụng cách tiếp cận tương tự và tính được số lượng số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt, trong đó có mặt chữ số 2 và 3 là $8 \cdot 4! = 192$.

Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 345.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xây dựng các trường hợp có thể xảy ra. Có 3 trường hợp chính:

• Số có dạng ABC: 3 số ở hàng đơn vị có 3 cách chọn, 4 số còn lại có 4! cách sắp xếp.
• Số có dạng ABx: 2 số ở hàng đơn vị có 2 cách chọn, 3 số còn lại có 3! cách sắp xếp.
• Số có dạng Axx: 1 số ở hàng đơn vị có 1 cách chọn, 2 số còn lại có 2! cách sắp xếp.

Kết quả tổng cộng là: $3 \cdot 4! + 2 \cdot 3! + 1 \cdot 2! = 72 + 12 + 2 = 86$.

Kết luận

Việc đếm số lượng các số tự nhiên theo các yêu cầu cụ thể có thể được thực hiện thông qua việc sử dụng các phương pháp tính toán cơ bản như hoán vị và tổ hợp. Qua việc giải quyết các bài toán trên, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và xử lý các vấn đề đếm trong toán học.