Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 2 2 16 5 4 0 xxx là
|
SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNGCHUYÊN ĐỀ DẠY THÊMTRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNGGV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠNCHUYÊN ĐỀPHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ- Các phương pháp giải PT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.2) Phương pháp đặt ẩn phụ.3) Phương pháp biến đổi thành tích.4) Phương pháp nhân liên hợp5) Phương pháp đánh giá.6) Phương pháp hàm số.- Các phương pháp giải BPT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.2) Phương pháp đặt ẩn phụ3) Phương pháp nhân liên hợp4) Phương pháp đánh giá.Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường SơnSố điện thoại : 0988.503.138Gmail : ÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈI. Phương pháp lũy thừa.- Nêu các dạng phương trình cơ bản.Bài 1 Giải các phương trìnha)23 2 1x x x− + = +b)23 9 1 2x x x− + = −c)22 3 4x x x− = −d)2 2( 3) 4 9x x x− − = −e)3 7 2 8x x x+ − − = −f)2 3 5 2x x x+ − − = −g)2 2( 3) 3 2 8 15x x x x x− − + = − +h)2 2( 4) 10 2 8x x x x+ − = + −i)23 2 13 2xx xx− − = −−j)24 3 14 3xx xx− − = −−Bài 2 Giải phương trình a)2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +b)2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +c)2 2 23 2 4 3 5 4x x x x x x− + + − + = − +Bài 3 Giải phương trìnha)3 3 35 6 2 11x x x+ + + = +b)3 3 31 1 5x x x+ + − =c)3 3 32 1 1 3 1x x x− + − = + 76x =(Phải thử , loại nghiệm) Bài 4 Giải phương trình a)1 4 9 0x x x x− + − + + + =. Bình phương 2 lần. nghiệm 0x=b)1 16 4 9x x x x+ + + = + + + Bình phương 2 lần. nghiệm 0x=c)3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +II. Phương pháp đặt ẩn phụ.1) Dạng 1 : Phương trình có chứa ( ) à ( )f x v f xBài 1 Giải phương trình.a)2( 1)( 4) 5 5 28x x x x+ + = + +Nghiệm 4; 9−b)2 25 10 1 7 2x x x x+ + = − −c)2(4 )(6 ) 2 12x x x x− + = − −d)23( 5) 2 5 2 2x x x x+ = + − −Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệma)22 4 (3 )(1 ) 2x x x x m− + + − + = −[ 1;11]m∈ −b)22 5 4 (3 )(1 2 ) 2x x x x m− + + − + = −41 56 2[ 1; ]8m+∈ −Bài 3 Giải phương trình : a)5 15 2 422x xxx+ = + +b)3 13 2 722x xxx+ = + −2) Dạng 2 : Phương trình có chứa àA B v AB+Bài 4 Giải phương trìnha)22 3 1 3 2 2 5 3 2x x x x x+ + + = + + + −Nghiệm 25 6 17−b)27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − = −c)24 4 2 12 2 16x x x x+ + − = − + −d)23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +Bài 5 (B – 2011) Giải phương trình : 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x+ − − + − = −- Đặt 2 2 2t x x= + − −. Nghiệm 65x =Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệma)21 8 7 8x x x x m+ + − = − + + +[ ]6 2 9;32m ∈−b)3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =c)23( 1 2 1 ) 2 1 2x x m x x x+ + − = + + + −3) Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.Bài 7 Giải phương trình a)2 2 23 2 1 2 2x x x x x+ − + = + +Đặt 22t x= +nghiệm 3;1t x= −b)2 2( 1) 2 3 1x x x x+ − + = +c)2 21 2 . 2x x x x− = −Nghiệm 1 2x = ±d)2 23 48 (3 10) 15x x x x− + = − +e)2 22( 1). 2 1 2 1x x x x x− + − = − −f)2 24 ( 2). 2 15 39x x x x x+ = + − − +g)2 2(1 4 ) 4 1 8 2 1x x x x− + = + +h)3 3(4 1) 1 2 2 1x x x x− + = + +i)3 33 2 ( 2) 2 1x x x x x+ + = + + +4) Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ.Bài 8 Giải phương trình.a)2( 2) 4 2x x x x− − + = bình phương, chia 2xĐặt 4t xx= +0;5t⇒ = thử lại 4x⇒ =b)2 23 2 2 2 2x x x x x+ − + − − =chia cho x ⇒Nghiệm 2x =c)21 4 1 3x x x x+ + − + =Chia 2 vế cho xvà đặt 1 14;4t x xx= + ⇒ =Bài 9 Giải phương trìnha)2 32( 2) 5 1x x+ = +b) (Thi thử ninh giang 2013) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 22 5 2 5 ( 20)( 1)x x x x x− + = − − +-2 22 22( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5)4 5 4 5 5 612 3 5 8;4 4 2x x x x x xx x x xxx x⇔ − − + + = + − −− − − − +⇔ + = ⇔ =+ +c)2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = +- Chuyển vế, bình phương ta được : 2 23( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x− − + + = − − +- Chia 2 vế cho ( 5)x + ⇒Nghiệm 61 111373 2 7;18++5) Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.• Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.Bài 10a)2 32( 2) 5 1x x+ = + Đặt 2 2 21; 1 2 2 5a x b x x PT a b ab= + = − + ⇔ + =5 372x±⇒ =b)2 32 5 1 7 1x x x+ − = − Đặt 2 2 21; 1 3 2 7u x v x x PT u v uv= − = + + ⇔ + =4 6x⇒ = ±- Phương trình đã cho có dạng 2 2. . .a u b v c uv+ =trong đó căn thường uv=c)2 2 4 23 1 1x x x x+ − = − + - Cách 1 : Đặt 2 2; 1a x b x= = −. PT2 23a b a b⇔ + = − nghiệm : 1x= ±- Cách 2 : Đặt 2a x=, thay vào PT ta được 3 236 136 200 100 0 1a a a a− + − = ⇔ =d)2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = + (Thi thử NG 2013)- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 22 5 2 5 ( 20)( 1)x x x x x− + = − − +2 25 612( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5) 8;2x x x x x x x+⇔ − − + + = + − − ⇔ =e)2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = + Nghiệm : 61 111373 2 7;18++- Chuyển vế, bình phương ta được : 2 23( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x− − + + = − − +Bài 11. Giải phương trình : 2 22 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +- Điều kiện : 12x ≥. Bình phương 2 vế ta có :( )( )( )( )( )( )2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − −- Ta có thể đặt : 222 1u x xv x= += − khi đó ta có hệ : 2 21 521 52u vuv u vu v−== − ⇔+=- Do , 0u v ≥. nên ( )21 5 1 52 2 12 2u v x x x+ += ⇔ + = −( ) ( )22 2 1 5 5 1 0x x⇔ + − + + =.-( ) ( ) ( )2'1 5 2 5 1 4 1 5 0∆ = − − + = − <.Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .Bài 12. Giải phương trình : 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −.- Đặt ( )224 5 1, 02 1x x aa bx x b+ + =>− + = . ta có : ( ) ( )2 21 01a ba b a b a b a ba b=− = − ⇔ − + − = ⇔+ =.-2 22 22 2114 5 1 4 4 43344 5 1 2 1 14 5 1 1 2 19xxx x x xx x x xxx x x x==+ + = − +⇔ ⇔ ⇔+ + + − + ==+ + = − − +Bài 13 Giải phương trình : 3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − =- Đặt 2y x= + ta được phương trình : 3 2 3 3 33 2 6 0 2 3 ( 2) 0x x y x x y x x− + − = ⇔ + − + = 3 2 33 2 0 êm 2; 2-2 32x yx xy y nghi xx y=⇔ − + = ⇔ ⇒ == −- Chú ý có thể sửa lại đề bài thành : 3( 2)(3 2 2) 0x x x x− + − + =- Bài tập tương tự : 3 2 33 2 ( 1) 3 0x x x x− + + − =- Bài tập tương tự : 3 2(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + =6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trìnhBài 14 Giải phương trình 3 2 1 6 4 (2 1)( 4) 7 0x x x x+ − + + + + + =- Đặt 2 22 12 7 (1)4u xv uv x= +⇔ − == +- Thay vào phương trình có : 3 6 7 0 (2)u v uv− + + =- Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2 )( 3) 0 0v u u v x− + − = ⇔ =Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)a)32 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − = (A – 2009) Nghiệm 2x= −b)32 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + =Nghiệm 2x= −c)2 217 17 9x x x x+ − + − =Nghiệm 1; 4x =d)3 33 3. 35 .( 35 ) 30x x x x− + − =Nghiệm 2 ; 3x =e)21 122xx+ =−Nghiệm 1 31;2x− ±=f)331 2. 2 1x x+ = −Nghiệm 1 51;2x− ±=g)332 3. 3 2x x+ = −7) Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt.Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt)a)21 4 5x x x+ = + +PT vô nghiệm.b)24 97 728xx x+= +Đặt 4 9 128 2xy+= +c)22 6 10x x x+ = + +Đặt 2 3x y+ = +d)22 1 4 12 5x x x+ = − +Đặt 2 1 2 3x y+ = −III. Phương pháp biến đổi thành tích.Bài 1 Giải phương trìnha)23 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +- Phương trình ( 3 2 )( 1 1) 0 0; 1x x x x⇔ + − + − = ⇔ =b)43 43xx xx+ + =+ HD 2( 2 2 ) 0 1x x x⇔ + − = ⇔ =c)2 2 25 972 3 9 4 : (1 3) 9 1;18x x x HD x x x− −+ = − − ⇔ + + = ⇔ =Bài 2 Giải phương trìnha)210 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + −b)28 15 3 3 2 5 6x x x x+ + = + + + −c)22 1 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − =d)27 442x xxx+ +=+IV. Phương pháp nhân liên hợp.1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm 0xhữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành 0( ) ( ) 0x x P x− =và ( ) 0P x =có thể vô nghiệm hoặc giải được.2) Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị 0x để trong căn là bình phương hoặc lập phương.Bài 1 a) (Khối B 2010) Giải phương trình :23 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =- PT 3 1( 5)( 3 1) 03 1 4 6 1x xx x⇔ − + + + =+ + − +. Nghiệm duy nhất 5x =b) Giải phương trình : 32 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + = Nghiệm duy nhất 2x = −- PT 23 36 15( 2)[ + ]=0 2( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4x xx x x⇔ + ⇔ = −− − − + − +c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình : ( )234 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x− − − = − −- ĐK: 5x ≤. Pt ( ) ( )234 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x⇔ + − + − − + − − =0,25-( )( )23 34 27 98(6 2 )( 3)(4 27) 04 10 216 4 9 37 9 37xxx xxx x++⇔ + + + − =+ −− − + −0,25- TH 1. 3 0 3x x+ = ⇔ = − (TMPT)0,25- TH 2. 3x ≠ −- pt ( )23 336 164 27 04 10 216 4 9 37 9 37xxx x⇔ + + − =+ −− − + −-( )2336 164 27 04 10 212 9 37 2xxx⇔ + + − =+ −+ − −- Do 5x ≤ nên 36 164.5 27 012 4VT ≤ + + − =. Đẳng thức xảy ra 5x⇔ =- Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3− và 50,25Bài 2 Giải phương trình a)21 4 1 3x x x+ + = +Nghiệm 10;2x =b)21 9 1 4x x x+ + = +c)2 212 5 3 5x x x+ + = + +. Nghiệm duy nhất 2x =- Nhận xét 2 2512 5 3 53x x x x⇔ + − + = − ⇔ > để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm.d)2 215 3 2 8x x x+ = − + +e)2 2 2 23 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + - Nghiệm 2, ( ) 0x P x= = vô nghiệm.Bài 3 Giải phương trình :a)2 22 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +. - Ta có 2 20 ( 4) 0 2 9 2 1VT x x x x x> ⇒ + > ⇒ + + ≠ − + - Nhân với biểu thức liên hợp ta được : - 2 222 22 9 2 1 282 2 9 6 0;72 9 2 1 4x x x xx x x xx x x x x+ + − − + =⇔ + + = + ⇔ =+ + + − + = +b)2 22 1 1 3x x x x x+ + + − + =. Từ phương trình 0x⇒ >-2 22 22 1 1( 2 1 2 ) ( 1 ) 0 ( 1)[ ]=0 12 1 2 1xx x x x x x x xx x x x x x++ + − + − + − = ⇔ − + ⇔ =+ + + − + +. Bài 4. Giải phương trình :2 331 2x x x− + = −- Điều kiện : 32x ≥.- Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình -( )( )( )( )22 332 32 2333 3 931 2 3 2 5 3 12 51 2 1 4x x xxx x x xxx x − + ++ − − + − = − − ⇔ − + = − +− + − + - Ta chứng minh : ( )()222 2 23 333 31 1 21 2 1 4 1 1 3x xx x x+ ++ = + <− + − + − + +233 92 5x xx+ +<− +- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài 7 Giải phương trìnha)2 23 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +.b)4 3 10 3 2x x− − = −c)2 (2 )(5 ) (2 )(10 )x x x x x− − = + − −d)2 22 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = +e)2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − + = + + + − +f)2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +Bài 8 Giải phương trình : a)3 24 1 2 3x x x+ = − + −b)3 2 31 3 2 3 2x x x− + − = −c)232 11 21 3 4 4 0x x x− + − − =d)2 331 1x x x− + = −V. Phương pháp đánh giá.Bài 1 Giải các PT sau : a)22 4 6 11x x x x− + − = − +Nghiệm 3x =b)22 10 12 52x x x x− + − = − +c)22 5 1 2x x x− + + − =Nghiệm 1x =d)2 2 23 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −Nghiệm 1x = −e)62 1 19 2210 24x xx x− + − =− + −Bài 2 Giải PT sau : a)3 2 22 7 11 25 12 6 1x x x x x− + − = + −- VT : 22 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i= − − + ≤ VP. Nghiệm 1;7x =b)3 2 22 5 3 3 2 6 1x x x x x+ + − = + −Nghiệm 1; 3x =c)1 122 2 4 ( )2x xxx− + − = − +1 12( 2 ) ( 2 ) 42PT x xxx⇔ − + + − + ≤Bài 4. Giải phương trình:2226 156 186 11x xx xx x− += − +− + (1) ( )( )224(1) 1 3 93 2xx⇔ + = − +− + Mà : ( )24 41 1 323 2x+ ≤ + =− + và ( )23 9 3x − + ≥ . Do đó ta có: ( )23 0 3x x− = ⇔ =.Bài 5 Giải phương trình 2 4 2 413 9 16x x x x− + + =- Bình phương 2 vế ta được : 2 2 2 2(13 1 9 1 ) 256x x x− + + =.- Áp dụng bđt bunhia : 2 2 2 2 2 2 2(13 1 9 1 ) ( 13. 13 13 3 3. 3 3 ) 40(16 10 )x x x x x− + + = − + + ≤ −-⇒ VT 2 240(16 10 )x x≤ −. Áp dụng cosi VT VP≤. Nghiệm 25x = ±.VI. Phương pháp hàm số.1) Cơ sở phương pháp : - Để giải phương trình : ( )f x m= ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến.- Xét hàm số ( )f x luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà có ( ) ( )f a f b a b= ⇒ =.2) Bài tập.Bài 1 Giải các phương trình.a)5 7 16 14 9x x x x x+ − + + + + = ⇒ =.b)31 4 5x x x− = − − +. Chuyển vế, nghiệm duy nhất 1x=.c)22 1 3 4x x x− + + = −. Chuyển vế, nghiệm duy nhất 1x=.Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình 34 ( 1) 2 1 0x x x x+ − + + =- Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình 3(2 ) 2 (2 1) 2 1 2 1x x x x x⇔ + = + + + +- Xét hàm số 3 2( ) '( ) 3 1 0f t t t f t t= + ⇒ = + > ⇒Hàm số luôn đồng biến.- Từ phương trình có 1 5(2 ) ( 2 1) 2 2 14f x f x x x x+= + ⇒ = + ⇔ =Bài tập tương tự :a)2 2 2342 (4 1) ( 3 1) 3 0;x x x x x x x+ = + + + ⇒ =b)34 ( 2) 2 3 0x x x x+ − + + =Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm : 2 22 4 2 4m x x x x= + + + − +-' 0 0y x= ⇔ =, vẽ bảng biến thiên [4; )m⇒ ∈ +∞Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm : 24 2x mx m− = − +- Cô lập tham số, 8' 0 0;5y x= ⇔ =Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm : 1 1 5 18 3 2 1x x x x m+ + − − − − − = +Bài 6 (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : 243 1 1 2 1x m x x− + + = −- Cô lập tham số 41 12 31 1x xmx x− −= −+ +Bài 7 (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm : 2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −- Đặt ẩn phụ : 2 21 1t x x= + − −Bài 8 (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi 0m >phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : 22 8 ( 2)x x m x+ − = −- Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba.Bài 9 Tìm m để phương trình có nghiệmBài 10 Tìm m để phương trình có nghiệmBÀI 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈI) Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản : - Dạng 1 : 2( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) [ ( )]f xf x g x g xf x g x≥< ⇔ ≥<- Dạng 2 : 2( ) 0( ) 0( ) ( )( ) 0( ) [ ( )]f xg xf x g xg xf x g x≥<> ⇔≥>- Dạng 3 : A B C+ |
