Tam giác tổng pascal theo chiều ngang

Với tam giác Pascal, chúng ta có thể dễ dàng trả lời các câu hỏi như thế này. Xác suất để có đúng 2 mặt ngửa với 3 lần tung đồng xu là bao nhiêu?

Cộng các mục của hàng thứ ba của tam giác Pascal, chúng ta có 1+3+3+1=8 kết quả có thể xảy ra, trong đó thứ tự quan trọng. (Hoặc, tính 23 và nó cho kết quả tương tự. Đây là thuộc tính chúng tôi sẽ giới thiệu sau trong phần tổng các hàng. ) 3 trong số 8 kết quả có thể xảy ra này có đúng 2 mặt ngửa, do đó xác suất để có đúng 2 mặt ngửa từ 3 lần tung đồng xu là 3/8=37. 5%

Tổng quát hơn, nếu bạn tung đồng xu n lần, xác suất để có m mặt ngửa là

Ví dụ: cơ hội tung đồng xu 8 lần và nhận được 6 mặt ngửa có thể được tính theo cách này

Tìm mục 6 của hàng 8 trong tam giác Pascal, là 28

Chia nó cho tổng của hàng 6

Cách tính xác suất sử dụng tam giác Pascal này không giới hạn trong việc tung đồng xu. Nó có thể được sử dụng trong nhiều tình huống tương tự khi có chính xác hai kết quả có thể xảy ra như nhau cho một sự kiện và bạn cần tính toán cơ hội nhận được một tổ hợp kết quả nhất định. Ví dụ: nếu một người có 50% cơ hội ném bóng rổ vào rổ, chúng ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính xác suất để anh ta ném bóng vào rổ 3 lần trong số 10 lần ném (kiểm tra mục nhập ở vị trí 3 của

Người ta đã phát hiện ra vô số quan hệ và mẫu trong tam giác Pascal. Nhiều khám phá khá gần đây mặc dù thực tế là tam giác Pascal đã được nghiên cứu trong nhiều thế kỷ

Các mẫu và thuộc tính sau đây sẽ được thảo luận trong phần này

Hoạt hình Flash ở bên phải cho phép bạn khám phá một số mẫu có trong tam giác Pascal

Đối xứng và Biên giới

• Mỗi hàng trong tam giác Pascal đều bắt đầu và kết thúc bằng số 1. Điều này là do
  

• Tam giác đối xứng. Các số ở phía bên trái của tam giác có các số giống hệt nhau ở phía bên phải. Ví dụ, nhìn vào hàng 5. Phần tử 10, là mục thứ 3 từ trái sang, cũng là mục thứ 3 từ phải sang trong hàng. Điều này là do
  

Tổng số hàng

Ta có thể chứng minh tính chất này thông qua phép giải tổ hợp của tam giác. Một trong những tính chất của sự kết hợp là

Tại sao điều này đúng?

Vế trái của phương trình đếm các tiểu ban theo số lượng người trong tiểu ban.

Một cách để thành lập các tiểu ban là hỏi từng thành viên trong ủy ban, "bạn có muốn tham gia tiểu ban X không?" . "Có, tôi sẽ tham gia" và "Không, tôi không muốn tham gia". Khi đó tổng số tiểu ban khả thi là 2n, là vế phải của phương trình

Do đó, tổng các phần tử của hàng n trong tam giác Pascal phải bằng 2n

[Bấm vào đây để hiển thị bằng chứng. ]

[Bấm vào đây để ẩn bằng chứng]

Cho

Sau đó tổng các phần tử của dãy

Do đó, tổng các mục của bất kỳ hàng nào gấp đôi tổng các mục trong hàng trước đó

Vì tổng các mục của hàng 0 là 1 nên tổng các mục của hàng n trong tam giác bằng 2n

Mẫu gậy khúc côn cầu

Mẫu gậy khúc côn cầu trong tam giác Pascal

Như minh họa trong hình bên trái, chúng ta có thể tìm thấy các hình trông giống như gậy khúc côn cầu trong tam giác Pascal

Một đầu của gậy khúc côn cầu nằm trên đường viền của tam giác -- nói cách khác, trên bất kỳ mục nào của 1 trong tam giác

Tay cầm của gậy bao gồm các số bên trong ranh giới được tô màu trong hình, nằm ở các hàng khác nhau của tam giác Pascal để gậy khúc côn cầu không nằm ngang

Đầu gậy khúc côn cầu hoặc ô màu không được thẳng hàng cùng hướng với tay cầm

Tổng của tất cả các số trong tay cầm bằng với số trong ô là đầu gậy khúc côn cầu. Ví dụ, hãy nhìn vào cây gậy khúc côn cầu màu xanh. Khi cộng các số nằm trên đường thẳng, ta được 1+3+6=10, là số ở đầu que màu xanh

Ta dùng quy nạp toán học để chứng minh tính chất này

Nhắc lại rằng chúng ta có thể sử dụng

Đầu tiên, chúng tôi muốn chứng minh trường hợp màu xanh lam, khi thanh nghiêng sang phải, thì

Vế trái (LHS) của phương trình trên là phần đầu của gậy khúc côn cầu và tất cả các phần tử ở vế phải (RHS) của phương trình đều thuộc phần cán. Phần tử đầu tiên,

Ta có thể dùng quy nạp trên n, hàng của đầu gậy khúc côn cầu, để chứng minh tính chất này

Trường hợp cơ sở là khi n = 1. (Nếu n = 0, không thể có cán gậy khúc côn cầu). Trong trường hợp này, m = 1. Tại vì

chúng tôi biết khẳng định của mình là đúng đối với trường hợp cơ bản.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu khẳng định đúng với n = k, thì nó cũng đúng với n = k + 1. Vì danh tính của Pascal, chúng ta biết rằng

Theo giả thuyết quy nạp, chúng ta biết rằng

Thay biểu thức này của

Do đó, khẳng định về cây gậy khúc côn cầu đúng với m = k + 1 khi nó đúng với m = k. cảm ứng đã hoàn tất

Bây giờ, chúng tôi đã chứng minh tài sản cho trường hợp thanh màu xanh. Trường hợp que đỏ có thể được chứng minh theo cách tương tự vì tam giác Pascal là tam giác đối xứng

Hình vuông lục giác ẩn

Nếu chúng ta xét sáu phần tử gần nhất xung quanh

Tài sản này được phát hiện bởi V. E. Hoggatt, Jr. và W. Hansell vào năm 1971 và được gọi là bản sắc Hoggatt-Hansell. Sau đó, Gould gọi nó là tài sản của Ngôi sao David. [3]

Hình bên trái chứa các phần tử được chọn ở hàng 5, 6, 7 của tam giác Pascal. Chúng có thể là sáu đỉnh của một hình lục giác và 5 × 20 × 21 = 6 × 10 × 35 = 2100

[Nhấp để xem bằng chứng toán học]

[Nhấp chuột để ẩn bằng chứng toán học]

Vế trái của phương trình. 4 là,

Sử dụng công thức cho các kết hợp, phía bên tay trái trở thành

Thay đổi vị trí của các mẫu số, điều này bằng

Sử dụng ký hiệu của các kết hợp, điều này có thể được viết lại thành

đó là phía bên tay phải của phương trình. 4

Đồng nhất thức này cũng ngụ ý rằng tích của tất cả các số tại các đỉnh của hình lục giác là một hình vuông

Tam giác Sierpinki

Sự phân bố số chẵn và số lẻ trong tam giác Pascal

Chúng tôi xem xét càng nhiều hàng, sự giống nhau càng chính xác

Tổng quát hơn, các số trong tam giác Pascal có thể được tô màu khác nhau tùy theo chúng có chia hết cho 3[4], 4[5],5[6] hay không, v.v. ;

Số mũ của 11

Mẫu này rõ ràng ở 4 hàng đầu tiên, nhưng bắt đầu từ hàng 5, nó trở nên khó nhìn hơn. Lý do là

Để giữ định dạng một chữ số, chúng ta chuyển số 1 trong số 10 thứ hai sang bên trái để ra số 11 và chuyển số 1 trong số 11 sang trái của nó để ra số 6

Nói chung hơn, nhìn vào các ô theo chiều ngang từ phải sang trái. Nếu số trong ô có hai chữ số, hãy cộng chữ số ở hàng chục của số này với số ở bên trái nó

[Nhấp để tiết lộ toán học đằng sau này]

[Nhấp chuột để ẩn phép toán đằng sau này]

Mẫu này đúng với mọi n ≥ 0 vì

Do đó, vị trí hàng đơn vị của 11n là giá trị của

Nếu giá trị của

Tương tự, tam giác Pascal có thể được sử dụng để tính lũy thừa của 101, 1001, 10001 và các số thông thường có dạng

Ví dụ, xét các số mũ của 101

Các lũy thừa khác nhau của 101 tương ứng với các hàng trong tam giác Pascal cho đến 1019. Vì

Chứng minh toán học hoạt động theo cách tương tự như chứng minh cho số mũ của 11

Dãy Fibonacci

đường chéo

Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào các đường chéo dưới bên trái (các đường chéo nằm giữa phía dưới bên trái và phía trên bên phải). Tuy nhiên, các đường chéo phía dưới bên phải có cùng kiểu và tính chất vì tam giác Pascal đối xứng

Ghi chú. Hãy nhớ rằng hàng trên cùng được gọi là hàng 0 và mục nhập bên trái của mỗi hàng là mục nhập 0 hoặc vị trí 0

• Mục nhập 0 trong mỗi hàng luôn là 1 vì
  
  , do đó, đường chéo từ trên xuống dưới bên trái ngoài cùng bên trái đều là 1.

• Sau các số ở cạnh, hàng chéo tiếp theo của các số (được tạo bởi các số ở vị trí thứ 1 của mỗi hàng) là các số tự nhiên. 1, 2, 3, 4, 5,

• Tập hợp các số chéo tiếp theo sau các số tự nhiên (được tạo bởi các mục ở 2 vị trí của mỗi hàng) là các số tam giác Số tam giác thứ n là số chấm cần thiết để tạo và tô một tam giác đều có n chấm trên mỗi cạnh.
  

• Sau các số tam giác, ta có các số tứ diện Số tứ diện thứ n bằng tổng của n số tam giác đầu tiên. Trực quan, đó là số viên bi cần thiết để xây dựng một kim tự tháp được xếp chồng lên nhau bởi n hình tam giác đầu tiên ở trên.
  
  , được hình thành bởi các mục ở vị trí 3 của mỗi hàng.

• Đường chéo d tiếp theo chứa các số "d-siplex" có chiều cao nhất tiếp theo

• Tổng các mục ở 2 vị trí từ hai hàng liền kề là một hình vuông. Ví dụ: 1 + 3 = 22, 3 + 6 = 32, 6 + 10 = 42. Kết quả này được phát hiện bởi Theon of Smyrna xung quanh A. D. 100, nhưng ông đã phát biểu dưới dạng các số tam giác, rằng tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số bình phương. [3] Thuộc tính đúng vì

• Sự khác biệt giữa bình phương của các mục ở 2 vị trí từ các hàng liền kề là lập phương của sự khác biệt của chính các mục. Ví dụ: 32 - 12 = (3 - 1)3, 62 - 32 = (6 - 3)3, 102 - 62 = (10 - 6)3. Tài sản này được phát hiện bởi V. F. Ivanoff ở San Francisco, Califormia, năm 1933. [3]

Mẫu này tồn tại vì đối với các số tam giác, chúng ta có

• Xem xét sự khác biệt tích cực giữa các mục 3 từ các hàng cách nhau hai. Sự khác biệt luôn luôn là một hình vuông. Ví dụ: 10 - 1 = 32, 20 - 4 = 42, 35 - 10 = 52

Các mẫu về số nguyên tố

• Cho một hàng, nếu mục 1, hãy gọi nó là p, là số nguyên tố, thì tất cả các mục bên trong (không bao gồm các mục 1) trong hàng đó đều chia hết cho p. Ví dụ: mục 1 trong hàng 7 là 7, là số nguyên tố và tất cả các số trong hàng, cụ thể là 7 , 21 và 35, đều chia hết cho 7

[Click để xem chứng minh toán học]

[Nhấp chuột để ẩn bằng chứng toán học]

Từ tổ hợp, chúng ta biết rằng

Vì (p – k). có thể được viết là [(p – 1) – (k – 1)]. , chúng ta có

Vì vậy,

Bây giờ, giả sử p là số nguyên tố và 0 ≤ k ≤ p. Sau đó, mục 1 trong hàng p là p và các mục bên trong là

Vì k < p (bây giờ chúng ta chỉ xem xét các mục nội bộ) và p là số nguyên tố nên p và k không có thừa số chung ngoại trừ 1. phương trình. 5 cho thấy rằng p là một yếu tố của

• Nếu p là số nguyên tố, thì mọi mục trong hàng pn đều chia hết cho p, trong đó n là số nguyên dương bất kỳ. Ví dụ: p = 2 và n = 3. Hàng 8 của tam giác Pascal là 1 8 28 56 70 56 28 8 1. Chúng ta có thể thấy rằng tất cả các mục bên trong đều chia hết cho 2. Tương tự, nếu p = 5 và n = 3, chúng ta sẽ thấy rằng tất cả các mục trong hàng 125 đều chia hết cho 5

[Click để xem chứng minh toán học]

[Nhấp chuột để ẩn bằng chứng toán học]

Ta cần chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thì

Thay đổi p trong Eq. 5 đến pn, ta có

Phương trình này vẫn đúng vì phương trình. 5 là thuộc tính chung của các tổ hợp bất kể giá trị p, n và k được chọn là gì