Tìm giao điểm của đường tròn và đường trăn
ví dụ 1Tìm giao điểm của đường tròn với đường thẳng cho bởi phương trình của chúng(x - 2)2 + (y + 3)2 = 4 2x + 2y = -1
Hình bên dưới là đồ thị của đường tròn, đường thẳng và hai giao điểm Show
Phương pháp chính xác tương tự sẽ hợp lệ để xác định vị trí của một đường thẳng trong trường hợp các phần hình nón khác i. e. Parabola, Ellipse và Hyperbola cũng vậy Nhưng trong trường hợp hình tròn, các thuộc tính hình học sẽ giúp mọi thứ dễ dàng hơn một chút. Đây là cách Phương pháp 2Để xác định vị trí của một đoạn thẳng đối với một đường tròn, chúng ta sẽ tìm khoảng cách từ tâm của đường tròn đó. Gọi d là khoảng cách này và r là bán kính của hình tròn. Sau đó, Đường thẳng cắt đường tròn và cắt nó tại hai điểm; Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại một điểm 𝑃, thì tọa độ của 𝑃 đồng thời giải phương trình của cả đường thẳng và đường tròn . Điều này có nghĩa là chúng ta có thể thay “𝑚𝑥+𝑏” cho 𝑦 trong phương trình đường tròn để tính tọa độ giao điểm 𝑃. Kết quả của phép thế này là loại bỏ 𝑦 khỏi phương trình đường tròn, để lại cho chúng ta phương trình bậc hai trong 𝑥. 𝐴𝑥+𝐵𝑥+𝐶=0. Nghiệm của phương trình bậc hai này chính xác là tọa độ 𝑥 của các giao điểm của đường thẳng với đường tròn. Số nghiệm của một phương trình bậc hai trên các số thực được kiểm soát bởi biệt thức Δ=𝐵−4𝐴𝐶 của nó. Do đó, số lần một đường thẳng đã cho cắt một đường tròn có thể được đọc từ biệt thức của căn bậc hai liên quan. Khi Δ>0, đường thẳng cắt đường tròn hai lần; . e. , nó là tiếp tuyến của đường tròn); . Δ=0, the line intersects the circle once (i.e., it is tangent to the circle); and when Δ<0, the line and the circle are disjoint. ví dụ 1. Xác định số lần một đường cắt một đường trònXét đường tròn (𝑥−5)+(𝑦+2)=8 và các đường thẳng 𝐿∶𝑦=−𝑥−1 và 𝐿∶𝑦=𝑥 . Làm thế nào, nếu có, để 𝐿 và 𝐿 cắt đường tròn? Câu trả lờiĐể tìm cách đường thẳng 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 cắt đường tròn (𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟, we proceed as follows:
Chúng ta sẽ xử lý từng dòng một. Đầu tiên, chúng ta thay 𝐿∶𝑦=−𝑥−1 thành (𝑥−5)+(𝑦+2)=8. (𝑥−5)+(𝑦+2)=8(𝑥−5)+(−𝑥−1+2)=8𝑥−10𝑥+25+𝑥−2𝑥+1=82𝑥 . Bây giờ, đối với 𝐿∶𝑦=𝑥−7, chúng ta thực hiện chính xác quy trình tương tự. Đầu tiên, chúng tôi thay thế. (𝑥−5)+(𝑦+2)=8(𝑥−5)+(𝑥−7+2)=8𝑥−10𝑥+25+𝑥−10𝑥+25=82𝑥−20𝑥+42=0. Sau đó, chúng tôi kiểm tra phân biệt. Δ=𝐵−4𝐴𝐶=(−20)−4×2×42=400−336=64. Phân biệt dương cho chúng ta biết rằng phương trình bậc hai có hai nghiệm thực và đường thẳng 𝐿 cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Vì vậy, để trả lời câu hỏi, 𝐿 là tiếp tuyến của đường tròn, trong khi 𝐿 cắt nó tại hai điểm Bây giờ chúng ta đã biết cách tính xem một đường thẳng có cắt một đường tròn hay không và bao nhiêu lần, chúng ta hãy chú ý đến việc tính toán tọa độ của các giao điểm Cho phương trình đường tròn (𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟 và phương trình đường thẳng 𝑦=𝑚𝑥+𝑏, we proceed as before by substituting 𝑚𝑥+𝑏 in for 𝑦 (or 𝑦−𝑏𝑚 for 𝑥; the result will be the same) in the equation of the circle to obtain a quadratic equation in 𝑥. Tuy nhiên, lần này, thay vì tính biệt thức của căn bậc hai, chúng ta sẽ giải nó để lấy 𝑥-tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn. Sau đó, chúng ta có thể thay thế các tọa độ 𝑥 này trở lại phương trình của đường thẳng để có được tọa độ 𝑦 của các giao điểm. ví dụ 2. Tìm tọa độ của các điểm mà một đường thẳng cắt một đường tròn đã cho ở dạng chuẩnTìm tọa độ các điểm mà đường tròn (𝑥+2)+(𝑦−4)=5 cắt đường thẳng 𝑦=−2𝑥+4. Câu trả lờiBước đầu tiên là thay thế 𝑦=−2𝑥+4 thành (𝑥+2)+(𝑦−4)=5 để thu được phương trình bậc hai trong 𝑥. (𝑥+2)+(𝑦−4)=5(𝑥+2)+(−2𝑥+4−4)=5𝑥+4𝑥+4+(−2𝑥)=55𝑥+ . Bây giờ chúng ta giải phương trình bậc hai này để tìm toạ độ 𝑥 của các giao điểm của đường thẳng và đường tròn. Trong ví dụ này, biểu thức bậc hai 5𝑥+4𝑥−1 có hệ số ngay lập tức là 5𝑥+4𝑥−1=5𝑥+5𝑥−𝑥−1=5𝑥(𝑥+1)−(𝑥+1)=(5𝑥−1)( . Do đó, (5𝑥−1)(𝑥+1)=0 cho chúng ta 𝑥-tọa độ của 𝑥=15 và 𝑥=−1. Bây giờ chúng ta có thể thay thế các giá trị này trở lại vào phương trình tuyến tính 𝑦=−2𝑥+4 để tìm tọa độ 𝑦 tương ứng 𝑦=−2𝑥+4𝑦=−2×15+4𝑦=185 . Vậy tọa độ giao điểm của đường tròn (𝑥+2)+(𝑦−4)=5 và đường thẳng 𝑦=−2𝑥+4 là 15,185 và (−1,6). Bước cuối cùng của ví dụ trước là thay thế 𝑥-tọa độ của các giao điểm trở lại phương trình tuyến tính 𝑦=−2𝑥+4 để tìm 𝑦-tọa độ tương ứng. Bạn có thể muốn nghĩ về điều gì sẽ xảy ra nếu thay vào đó chúng ta thay vào phương trình của đường tròn (𝑥+2)+(𝑦−4)=5 và tại sao Ví dụ trước xử lý việc tìm các giao điểm của một đường thẳng và một đường tròn được cho ở dạng chuẩn. Bây giờ chúng ta hãy xem một ví dụ khi đường tròn được cho ở dạng tổng quát ví dụ 3. Tìm tọa độ của các điểm mà một đường thẳng cắt một đường tròn đã cho ở dạng tổng quátTìm tọa độ các điểm mà đường tròn 𝑥+𝑦+2𝑥−2𝑦−3=0 cắt đường thẳng 𝑦=12𝑥+32. Câu trả lờiPhương pháp tìm giao điểm của đường thẳng 𝑦=𝑥𝑚+𝑏 và đường tròn cho ở dạng tổng quát như sau
Vì vậy, chúng ta bắt đầu bằng cách thay thế 𝑦=12𝑥+32 vào phương trình đường tròn 𝑥+𝑦+2𝑥−2𝑦−3=0. 𝑥+𝑦+2𝑥−2𝑦−3=0𝑥+12𝑥+32+2𝑥−212𝑥+32−3=0. Bây giờ, chúng tôi mở rộng và đơn giản hóa. 𝑥+12𝑥+32+2𝑥−212𝑥+32−3=0𝑥+14𝑥+2×32×12𝑥+32+2𝑥−2×12𝑥−2×32−3=054𝑥+52𝑥−154 . Ta có thể giải phương trình bậc hai thu được để tìm 𝑥-tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn. Trong ví dụ này, căn bậc hai 54𝑥+2𝑥−3=0 phân tích thành 54(𝑥−1)(𝑥+3)=0, giving us the 𝑥-coordinates of 𝑥=1 and 𝑥=−3. Cuối cùng, chúng ta thay thế các giá trị này trở lại phương trình tuyến tính 𝑦=12𝑥+32 để tìm tọa độ 𝑦 của các giao điểm. 𝑦=12𝑥+32𝑦=12×1+32𝑦=2 và 𝑦=12𝑥+32𝑦=12×(−3)+32𝑦=0. Vậy tọa độ giao điểm của đường tròn 𝑥+𝑦+2𝑥−2𝑦−3=0 và đường thẳng 𝑦=12𝑥+32 là (1,2) và (−3,0). Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng những gì đã học về giao điểm của đường thẳng và đường tròn để giải các bài toán liên quan đến các hằng số chưa biết trong phương trình đường tròn và đường thẳng Ví dụ 4. Tìm các ẩn số có thể có trong phương trình của một đường tròn cho một đường thẳng tiếp xúc với nó tại một điểm cho trướcĐường thẳng 𝑦+2𝑥=5 là tiếp tuyến của đường tròn (𝑥−𝑝)+(𝑦−2)=5, where 𝑝 is a constant. Work out the two possible values of 𝑝. Câu trả lờiVì ta có đường thẳng 𝑦+2𝑥=5 là tiếp tuyến của đường tròn (𝑥−𝑝)+(𝑦−2)=5, we know that there exists a point at which the line and the circle meet; in particular, at this point, the value of 𝑦 in the equation of the line will be equal to the value of 𝑦 in the equation of the circle. That is to say, it is valid to substitute an expression for 𝑦 derived from the equation of the line into the equation of the circle. In order to do this, we first make 𝑦 the subject of 𝑦+2𝑥=5. 𝑦+2𝑥=5𝑦=−2𝑥+5. Bây giờ, chúng ta có thể thay thế và đơn giản hóa. (𝑥−𝑝)+(𝑦−2)=5(𝑥−𝑝)+(−2𝑥+5−2)=5𝑥−2𝑝𝑥+𝑝+4𝑥−12𝑥+9=55𝑥−(12+2𝑝)𝑥+ . Các nghiệm của phương trình bậc hai 5𝑥−(12+2𝑝)𝑥+𝑝+4=0 là 𝑥-tọa độ giao điểm của đường thẳng 𝑦+2𝑥=5 và đường tròn < . (𝑥−𝑝)+(𝑦−2)=5. Tuy nhiên, chúng ta được biết rằng đường thẳng này tiếp tuyến với đường tròn; . Do đó, bậc hai 5𝑥−(12+2𝑝)𝑥+𝑝+4=0 phải có đúng một nghiệm thực. Điều này cho chúng ta biết rằng biệt thức Δ=𝐵−4𝐴𝐶 phải bằng không. Hãy để chúng tôi viết điều này xuống. Δ=𝐵−4𝐴𝐶=0(−(12+2𝑝))−4×5×𝑝+4=0144+48𝑝+4𝑝−20𝑝−80=0−16𝑝+48𝑝+64=0−16𝑝− . Các nghiệm của bậc hai này −16𝑝−3𝑝−4=0 sẽ cho chúng ta các giá trị của 𝑝 mà chúng ta đang tìm kiếm. Phân tích thừa số, chúng ta có −16𝑝−3𝑝−4=−16(𝑝+1)(𝑝−4)=0, và do đó . 𝑝=4. Hai giá trị này là tọa độ 𝑥 của tâm hai đường tròn bán kính √5 có tâm nằm trên đường thẳng 𝑦=2 và tiếp tuyến với đường thẳng 𝑦+2𝑥=5. Chúng ta sẽ kết thúc bằng một ví dụ giải toán khác liên quan đến đường tròn, đường thẳng và giao điểm của chúng Giao điểm của đường tròn và đường thẳng là gì?Trong hình học, đường thẳng cắt đường tròn tại đúng một điểm được gọi là tiếp tuyến, trong khi đường thẳng cắt đường tròn tại đúng hai điểm được gọi là đường tiếp tuyến< . (Rhoad et al.
Đường tròn cắt đường tròn tại hai điểm nào?Theo định nghĩa, đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm gọi là đường cát tuyến |
