Vấn đề 1 cho phương trình đường tròn, tìm tâm và bán kính

Ví dụ 3: Cho (C): x2 + y2-2xcos α -2y sin α + cos 2 α = 0a) CMR: (C) là đường tròn.b) Xác định α để (C) có bán kính Maxc) Tìm quỹ tích tâm I khi α thay đổi.Giải:a) a2 + b2 – c = 1 – cos2 α ≥0 với mọi αKhi a2 + b2 – c = 0 thì coi là đường tròn có bán kính bằng 0.c) Có R2 = 2 sin2 α ≤ 2. Rmax =2 ⇔ anpha = π /2 + k π x = cosαd) Toạ độ tâm I: Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương y = sin αtrình đường tròn: x2 + y2 = 1.VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒNDạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.Cách 1:- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)- Tìm bán kính R của đường tròn (C)- Viết phương trình của (C) theo dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2.Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0.-Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.-Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).Chú ý: :*) Đường tròn (C) đi qua các điểm A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2*) Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường trònngoại tiếp tam giác ABC", bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường trònđi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước. Giải bài này ta làm theo cách 2.Ví dụ 4 : Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0).b) Có đường kính AB: A( 1; 1), B( 7; 5).c) Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)Giải: 12 + 52 = 26a) Đường tròn này có bán kính là OI = 12 + 52 =26phương trình đường tròn có dạng (x-1)2 + (y+5)2 = 262 b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =2 13= 132 Phương trình đường tròn: (x-4)2 + (y-3)2 = 13d) Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0.a = −24 + 16 + 4a − 8b + c = 01Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình: 25 + 25 − 10a − 10b + c = 0 ⇔ b = −236 + 4 − 12a + 4b + c = 0c = −20Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.Chú ý:- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d(I, ∆ ).= R- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆: tại A ⇔ d(I, ∆ ) = IA.= R- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d(I, ∆1 ) = d(I, ∆2 ) = R.Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:a) (C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.b) (C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0.Giải:a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (∆ )Ta có: R = d(I;;∆ ) =31=3Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x-2)2 + (y – 3)2 = 9b) Ta có: R = d(I;;∆ ) =−1 − 4 − 71+ 4=25Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x+1)2 + (y – 2)2 = 4/5Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox vàOyGiải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần tìm cũng ở góc phần tư thứtư. Do đó tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn.R = 1R = IA ⇒ (2 – R)2 + (-1+ R)2 = R2 ⇔ R2 – 6R + 5 = 0 ⇒ R = 5Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)2 + (y+1)2 = 1(x-5)2 + (y+5)2 = 253 Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d 2 : 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trìnhđường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳngd1 và d2.Giải:Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d⇒ toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)- Vì đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng nàybằng nhau và bằng bán kính R.a = 03(6a + 10) + 4a + 5 4(6a + 10) − 3a − 5⇒=⇔ 22a + 35 = 21a + 35 ⇔  a = −705533*) Với a = 0 ⇒ I(10;0) và R = 7 ⇒ ptđt: (x-10)2 + y2 = 49*) Với a = -70/33 ⇒ I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33⇒ phương trình đường tròn: (x+ 30/11)2 + (y+70/33)2 = (97/33)2Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y +13 = 0 và với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2).Giải:Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đườngthẳng đã cho và đến tiếp điểm M bằng nhau: 7 x − 7 − 5 x + y + 13(1)= 5 22⇒ x + y + 13 = (1 − x) 2 + (2 − y ) 2 (2)2 x = 3 y + 35 y = −3x − 15Từ (1) ⇒ 7 x − y − 5 = 5 x + 5 y + 65 ⇔ *) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y2 + 4y + 4 = 0 ⇔ y = -2 ⇒ x = 29; R = 20 2Phương trình đường tròn có dạng: (x-29)2 + (y+2)2 = 800*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x2 + 12x + 36 = 0 ⇔ x = -6 ⇒ y = 3 ; R = 5 2Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)2 + (y-3)2 = 50Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y –35; x – 1 = 0Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đườngthẳng đã cho bằng nhau:4  3 x + 4 y − 35 3 x − 4 y − 35(1)=55⇒ 3 x − 4 y − 35 = x − 1(2)1535x=3 Thay vào (2) ta đượcTừ (1) ⇒y = 0354032x=,y=±,R=333 x = −25, R = 16y=0⇒ x = 5, R = 4Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:(x+25)2 + y2 = 256(x-5)2 + y2 = 16(x-35/3)2 + (y+40/3)2 =(32/3)2(x-35/3)2 + (y-b=40/3)2 = (32/3)2Ví dụ 10: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc vớihai đường thẳng: d1: 3x – y + 3 = 0, d2 = x – 3y + 9 = 0.Giải: Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng x = 5 nên toạ độ của tâm I có dạng I(5;b).Gọi R là bán kính đường tròn.Khoảng cách từ I đến d1 là: R =Khoảng cách từ I đến d2 là: R =15 − b + 3105 − 3b + 910..b = −2  R = 40⇒⇒ 18 − b = 14 − 3b ⇔ b = 8 R = 10Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:(x-5)2 + (y+2)2 = 40(x-5)2 + (y-8)2 = 10Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.Cách1:-Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường trònnội tiếp tam giác: r =-SpGọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ⇒ Khoảng cách từ tâm I đến bacạnh bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y.-Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn phải tìm.Cách 2:5 -Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.-Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.-Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác ta được bán kínhđường tròn nội tiếp tam giác.Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)Giải:a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác làtrung điểm của cạnh huyền AB ⇒ I(4;3)Bán kính R = IA = 5Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:(x-4)2 + (y-3)2 = 25b)Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24Cạnh huyền AB = 10Nửa chu vi p = 12⇒r=S=2pVì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)2 + (y-2)2 = 4Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:AB: 4x-3y-65 = 0;BC: 7x-24y+55 = 0CA: 3x+ 4y – 5= 0⇒ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.AB = 20; BC = 25; CA = 15Diện tích tam giác là: S = 150Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đếnđường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:5=4 x − 3 y − 65 7 x − 24 y + 5 3 x + 4 y − 5==5255Giải hệ này ta tìm được I(10;0)Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)2 + y2 = 256 VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tìm toạ độ giao điểm.Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 (1) (A2 + B2 ≠ 0)và đường tròn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (2). (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:Phương pháp 1: Xét số giao điểm của ∆ và (C). Số giao điểm của ∆ và (C) là số nghiệmAx + By + C = 0của hệ phương trình:  22 x + y − 2ax − 2by + c = 0- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆ và (C) không có giao điểm nào ⇒ ∆ không cắt đường tròn.- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì ∆ và (C) có một giao điểm ⇒ ∆ tiếp xúc vớiđường tròn.- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường tròntại hai điểm phân biệtNhận xét: ∆ và (C) có điểm chung ⇔ ∆ cắt hoặc tiếp xúc với (C)Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R.Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); RBước 2: Tính khoảng cách từ I đến ∆ ⇒ h =Ax + By + CA2 + B 2TH1: h> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒ ∆ và (C) không có giao điểm nào.TH2: h = R ⇔ ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒ ∆ và (C) có duy nhất một giao điểm.TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và (C) có 2 giao điểm.Nhận xét:Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của ( C) và d mà không cần quan tâmđến toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R = 13a) Viết phương trình đường tròn.b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.Giải:Phương trình đường tròn là: (x+1)2 + (y-2)2 = 13.Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và d ta sủ dụng cách 1.Toạ độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:x − 5y − 2 = 022( x + 1) + ( y − 2) = 137 Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:d: mx – y - 3m - 2=0(C): x2 + y2 -4x-2y = 0Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp2 để giải.Tâm và bán kính của đường tròn này là: I(2;1) và R =Khoảng cách từ tâm I đến d là h =TH1:5m+3m2 + 11

m<−
2

< 5 ⇔ (m+3) <5(m> 0 ⇔m2 + 1m > 2m+3222⇒ h < R ⇒ d và (C) có 2 giao điểm.TH2:1m=−2= 5 ⇔ (m+3)2 =5(m2 + 1) ⇔ 4m2 – 6m-4= 0 ⇔ 2m +1m = 2m+3⇒ h = R ⇒ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C).TH3:m+3m +12> 5 ⇔ (m+3)2 >5(m2 + 1) ⇔ 4m2 – 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào.Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.Ví dụ 15: Cho (C): x2 + y2 -4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1).1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B saocho AB đạt giá trị lớn nhất.1) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B saocho AB đạt giá trị nhỏ nhất.1) Viết phương trình đường thẳng ∆3 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B saocho DA=2DBGiải:Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.Ta có ID =17 < 5 ⇒ D nằm trong đường tròn ⇒ mọi đường thẳng đi qua D đềucắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.8