- LG a
- LG b
- LG c
Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
LG a
Đi qua điểmM0[2;1;-1]và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0.
Lời giải chi tiết:
GọiM[x;y;z]là điểm thuộc giao tuyến \[\Delta \] của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểmMlà nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{ x - y + z = 4 \hfill \cr 3x - y + z = 1. \hfill \cr} \right.\]
Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ.
Cho z=0, ta có \[\left\{ \matrix{ x - y = 4 \hfill \cr 3x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = - {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[{M_1}[ - {3 \over 2}; - {{11} \over 2};0] \in \Delta .\]
Cho y=0, ta có \[\left\{ \matrix{ x + z = 4 \hfill \cr 3x + z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[{M_2}\left[ { - {3 \over 2};0;{{11} \over 2}} \right] \in \Delta .\]
Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua \[{M_0},{M_1},{M_2}.\]
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được:
\[15x-7y+7z-16=0.\]
LG b
Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0.
Lời giải chi tiết:
Cách 1 :Ta thấy hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{ y + 2z - 4 = 0 \hfill \cr x + y - z + 3 = 0 \hfill \cr x + y + z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Có một nghiệm duy nhất là\[\left[ {{1 \over 2}; - 1;{5 \over 2}} \right].\]
Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng
\[y+2z-4=0\] và \[x+y-z+3=0\]
Cắt mặt phẳng \[x+y+z-2=0.\]
Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2 :Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho z = 0, ta được \[{M_1}[ - 7;4;0],\] Cho y = 0, ta được \[{M_2}[ - 1;0;2].\]
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng song song với mặt phẳng \[x+y+z-2=0\] thì \[\left[ \alpha \right]\] có dạng :
\[x + y + z + D = 0,D \ne - 2.\]
Ta xác địnhDđể \[{M_1},{M_2} \in \left[ \alpha \right].\]Dlà nghiệm của hệ :
\[\left\{ \matrix{ - 7 + 4 + D = 0 \hfill \cr - 1 + 2 + D = 0. \hfill \cr} \right.\]
Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
LG c
Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0.
Lời giải chi tiết:
Ta tìm hai điểm \[{M_1},{M_2}\] thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Gọi \[\overrightarrow {n'} = [2;0; - 1]\] là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[2x-z+7=0\].
Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi quaM1và có vec tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {n'} } \right].\]
Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :
\[x-22y+2z+21=0.\]