Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\] Các tia phân giác của các góc \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[I.\] Chứng minh rằng \[AI\] là tia phân giác của góc \[A.\]
Hướng dẫn: Từ \[I\] kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
-Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Kẻ: \[I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\]
Xét hai tam giác vuông \[IDB\] và \[IEB\] có:
\[\widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \]
\[ \widehat {DBI} = \widehat {EBI} \] [vì \[BI\] là phân giác góc \[B\]]
\[BI\] cạnh chung
\[ \Rightarrow IDB = IEB\] [cạnh huyền - góc nhọn]
\[ \RightarrowID = IE\] [hai cạnh tương ứng] [1]
Xét hai tam giác vuông \[IEC\] và \[IFC\] có :
\[\widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \]
\[ \widehat {ECI} = \widehat {FCI} \][vì \[CI\] là phân giác góc \[C\]]
\[CI\] cạnh chung
\[ \Rightarrow IEC = IFC\] [cạnh huyền - góc nhọn]
\[ \RightarrowIE = IF\] [hai cạnh tương ứng] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[ID = IF\].
Xét hai tam giác vuông \[IDA\] và \[IFA\] có:
\[\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \]
\[ID = IF\] [chứng minh trên]
\[AI\] cạnh chung
\[ \RightarrowIDA = IFA\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông]
\[ \Rightarrow\widehat {DAI} = \widehat {FAI}\][hai góc tương ứng]
Vậy \[AI\] là tia phân giác của \[\widehat A\].