Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ BD, CE lần lượt vuông góc với AC và AB. Gọi I là giao điểm cả BD và CE.
a] Chứng minh rằng \[\Delta AEI = \Delta ADI.\]
b] Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Chứng minh\[\Delta AEC = \Delta ADB\] từ đó ta chứng minh được\[\Delta AEI = \Delta ADI\]
b. Chứng minhhai điểm M và I cùng thuộc tia phân giác của góc BAC
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác AEC và ADB có:
+] \[\widehat {AEC} = \widehat {ADB} = {90^o}\] [giả thiết]
+] AB = AC [giả thiết];
+] \[\widehat A\] chung
Vậy \[\Delta AEC = \Delta ADB\] [g.c.g]
\[ \Rightarrow AE = AD\] [cạnh tương ứng].
Xét \[\Delta AEI\] và \[\Delta ADI\] có:
+] \[\widehat {AEI} = \widehat {ADI} = {90^O}\] [giả thiết]
+] \[AE = AD\] [chứng minh trên]
+] AI cạnh chung
Do đó \[\Delta AEI = \Delta ADI\] [ch.cgv].
b] M là trung điểm của BC [giả thiết] \[ \Rightarrow MB = MC\]
Xét\[\Delta AMB \] và \[ \Delta AMC\] có:
+] AM cạnh chung
+] \[AB = AC\] [giả thiết]
+] \[MB = MC\] [giả thiết]
Do đó \[\Delta AMB = \Delta AMC\] [c.c.c] \[ \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {CAM}\] [góc tương ứng] hay AM là phân giác của \[\widehat {BAC}\]
lại có \[\Delta AEI = \Delta ADI\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {EAI} = \widehat {DAI}\] hay AI là phân giác của \[\widehat {BAC}\]
Hai điểm M và I cùng thuộc tia phân giác của góc BAC nên A, I, M thẳng hàng.