\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{1^3}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{n^3}}} < 1 + 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}\\ = 2 - \dfrac{1}{n} < 2.\end{array}\]
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
- LG a
- LG b
LG a
Cho k > 0, chứng minh \[\dfrac{1}{{{k^3}}} < \dfrac{1}{{k - 1}} - \dfrac{1}{k}.\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k > 1\] ta có : \[\dfrac{1}{{{k^3}}} < \dfrac{1}{{{k^2}}} < \dfrac{1}{{\left[ {k - 1} \right]k}} = \dfrac{1}{{k - 1}} - \dfrac{1}{k}\]
LG b
Từ kết quả trên, hãy suy ra
\[\dfrac{1}{{{1^3}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{n^3}}} < 2\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{1^3}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{n^3}}} < 1 + 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}\\ = 2 - \dfrac{1}{n} < 2.\end{array}\]