Đề bài - đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - đề số 1 - chương 3 - hình học 9

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AC là dây cung ( C khác B). Tia phân giác của \(\widehat {xAC}\) cắt đường tròn (O) tại D, AD và BC cắt nhau tại E. Gọi K và F lần lượt là giao điểm của BD với AC và Ax.

a) Chứng minh ABE cân.

b) Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi và EK vuông gócAB.

c) Cho \(\widehat {xAC} = 60^\circ \).

• Chứng minh DB.DK = R2và ba điểm O, K, E thẳng hàng.
• Tính diện tích tứ giác ACEF phần nằm ngoài đường tròn.

LG ý a

Phương pháp giải:

Chứng minhBD đồng thời là đường cao của ABE

Lời giải chi tiết:

a) Ta có AD là phân giác của \(\widehat {xAC}\) (gt)

\( \Rightarrow \overparen{DA }= \overparen{DC}\)

Do đó \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) hay BD là phân giác của \(\widehat {ABC}.\)

Lại có BD vuông góc AD ( AB là đường kính)

ABE có phân giác BD đồng thời là đường cao nên ABE cân tại B.

LG ý b

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác EKAF là hình thoi

Sử dụng tính chất từ vuông góc đến song song

Lời giải chi tiết:

b) Xét AFK có AD là phân giác đồng thời là đường cao nên AFK cân tại A. Do đó AD cũng là đường trung tuyến hay \(DF = DK.\)

Lại có \(DA = DE\) ( ABE cân).

Do đó tứ giác EKAF là hình bình hành, có hai đường chéo FK vuông góc AE nên EKAF là hình thoi.

\( \Rightarrow \)EK // FA mà FA vuông góc AB (gt)\( \Rightarrow \)EK vuông góc AB.

LG ý c

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức :Diện tích hình quạt \(\dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}}\)

\({S_\text{viên phân}} = {S_q} - {S_{AOC}} \)

Diện tích hình cần tính là S:

\(S = {S_{ACEF}}-{S_{vp}}\)

Lời giải chi tiết:

c) Ta có : \(\widehat {xAC} = 60^\circ \) (gt) \(\Rightarrow \widehat {CAB} = \widehat {xAD} = \widehat {DAK} = 30^\circ \)

Do đó ADK và BDA (gg)

\( \Rightarrow \dfrac{{DA} }{ {DB}} =\dfrac {{DK}}{ {DA}} \Rightarrow D{A^2} = DB.DK\)

ABD vuông có \(\widehat {DAB} = 60^\circ \) nên \(\widehat {ABD} = 30^\circ \Rightarrow DA = R\).

Vậy DB.DK = R2.

Dễ thấy K, E thuộc trung trực của AB nên O, K, E thẳng hàng.

Ta có ABC vuông ( AB là đường kính) có \(\widehat {BAC} = 30^\circ \Rightarrow CB = R.\)

Do đó \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} \)\(\,= \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}} = \sqrt {3{R^2}} = R\sqrt 3 \)

Lại có AOK và ACB đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AK} }{ {AB}} =\dfrac {{AO}}{{AC}}\)

\( \Rightarrow AK =\dfrac {{AB.AO} }{ {AC}} = \dfrac{{2R.R}}{ {R\sqrt 3 }} =\dfrac {{2R\sqrt 3 }}{ 3}\)

Mặt khác AFK đều ( cân có \(\widehat {AFK} = 60^\circ \)) : \({\rm{AF}} = AK = \dfrac{{2R\sqrt 3 } }{3}.\)

Kẻ \(FH \bot AC\) có \(FH = AF.{{\sqrt 3 } \over 2} = \dfrac{{2R\sqrt 3 .\sqrt 3 } }{ 6} = R\)

Dễ thấy tứ giác ACEF là hình thang ( AC // EF) nên

\({S_{ACEF}} = \dfrac{{\left( {AC + {\rm{EF}}} \right).FH} }{ 2} \)\(\,= \dfrac{{\left( {R\sqrt 3 + {{2R\sqrt 3 } \over 3}} \right)R} }{ 2} = \dfrac{{5{R^2}\sqrt 3 } }{6}\)

Ta có \(\widehat {BAC} = 30^\circ\)

\( \Rightarrow \widehat {BOC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {COA} = 120^\circ \)

Khi đó hình quạt OAC có diện tích là : \(\dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} =\dfrac {{\pi {R^2}} }{3}\).

Kẻ đường cao OI của tam giác AOC, ta có :

\(OI = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{R }{2}\) ( vì AOI là nửa tam giác đều)

Do đó : \({S_{AOC}} = \dfrac{1 }{ 2}AC.OI =\dfrac {1 }{ 2}R\sqrt 3 .\dfrac{R }{ 2} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 } }{ 4}\)

Vậy \({S_\text{viên phân}} = {S_q} - {S_{AOC}} \)\(\,= \dfrac{{\pi {R^2}} }{ 3} - \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{ 4} = \dfrac{{{R^2}\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}\)

\(\,=\dfrac{{5{R^2}\sqrt 3 } }{6} - \dfrac{{{R^2}\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)} }{ {12}} \)\(\,=\dfrac {{{R^2}\left( {13\sqrt 3 - 4\pi } \right)}}{{12}}.\)