Hàng thứ 16 của tam giác pascal

Tam giác Pascal có nhiều mẫu và tính chất đáng ngạc nhiên. Ví dụ, chúng ta có thể hỏi. “Có bao nhiêu số lẻ ở hàng N của Tam giác Pascal?”

hàng N. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
số lẻ. 1 2 2 4 2 4 4 8 2 4 04 08 04 08 08 16 02 04 04 08 04

Có vẻ như câu trả lời luôn là lũy thừa của 2. Trên thực tế, điều sau đây là đúng

• ĐỊNH LÝ. Số mục lẻ trong hàng N của Tam giác Pascal là 2 được nâng lên thành số 1 trong khai triển nhị phân của N

Thí dụ. Vì 83 = 64 + 16 + 2 + 1 có khai triển nhị phân (1010011) nên hàng 83 có 24 = 16 số lẻ

Đề xuất bản trình bày
Trước khi đến lớp, yêu cầu học sinh cố gắng tự khám phá mô hình, trong HW hoặc điều tra theo nhóm

Toán học đằng sau sự thật
Bằng chứng của chúng tôi sử dụng định lý nhị thức và số học mô đun. Định lý nhị thức nói rằng

(1+x)N = SUMk=0 to N (N CHỌN k) xk

Nếu chúng ta giảm các hệ số mod 2, thì dễ dàng chỉ ra bằng quy nạp trên N rằng với N >= 0,

(1+x)2^N = (1+x2^N) [mod 2]

Như vậy

(1+x)10 = (1+x)8 (1+x)2 = (1+x8)(1+x2) = 1 + x2 + x8 + x10 [mod 2]

Vì hệ số của các đa thức này bằng nhau [mod 2] nên sử dụng định lý nhị thức ta thấy rằng (10 CHỌN k) là số lẻ với k = 0, 2, 8, và 10; . Tương tự, sản phẩm

(1+x)11 = (1+x8)(1+x2)(1+x1) [mod 2]

là một đa thức chứa 8=23 số hạng, là tích của 3 thừa số, mỗi thừa số có 2 cách chọn

Nói chung, nếu N có thể được biểu thị dưới dạng tổng của p luỹ thừa phân biệt của 2, thì (N CHỌN k) sẽ là số lẻ đối với 2p giá trị của k. Nhưng p chỉ là số 1 trong khai triển nhị phân của N, và (N CHỌN k) là các số ở hàng thứ N của tam giác Pascal. QED

Để biết cách chứng minh khác không sử dụng định lý nhị thức hoặc số học mô-đun, hãy xem tài liệu tham khảo. Để biết kết quả tổng quát hơn, hãy xem Định lý Lucas

Xác suất là xương sống của toán học. Nó cho biết một sự kiện có khả năng xảy ra như thế nào. Nó liên quan đến sự biện minh bằng số của việc đưa ra các quyết định có thể xảy ra hơn. Xác suất càng cao, càng có nhiều cơ hội xảy ra sự kiện và ngược lại. Tam giác Pascal là một khái niệm tuyệt vời về xác suất được phát triển bởi nhà toán học nổi tiếng Blaise Pascal, được sử dụng để tìm các hệ số trong việc khai triển bất kỳ biểu thức nhị thức nào

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal là một phương pháp để biết các hệ số nhị thức của các số hạng của biểu thức nhị thức (x + y)n, trong đó n có thể là một số nguyên dương bất kỳ và x, y là các số thực. Tam giác Pascal được biểu diễn dưới dạng tam giác, nó là một dạng số ở dạng sắp xếp tam giác. Nó bắt đầu với 1 ở trên cùng và với 1 chạy xuống ở hai bên của tam giác. Trong tam giác pascal, mỗi số mới nằm giữa hai số trở xuống rồi và giá trị của nó bằng tổng của hai số trên. Tam giác này được sử dụng trong các loại điều kiện xác suất khác nhau. Ở đây mỗi hàng đại diện cho hệ số khai triển của (x + y)n

Hàng không n = 0, (x + y)0

Hàng đầu tiên n = 1 , (x + y)1

Hàng thứ hai n = 2, (x + y)2

Hàng thứ ba n = 3, (x + y)3

Hàng thứ tư n = 4, (x + y)4

Ở đây lũy thừa của y trong bất kỳ khai triển nào của (x + y)n đại diện cho cột của Tam giác Pascal. n đại diện cho hàng của tam giác Pascal. Hàng và cột được lập chỉ mục 0 trong Tam giác Pascal

Xây dựng tam giác Pascal

Cách tạo tam giác pascal khá đơn giản. Bắt đầu từ hàng trên cùng (hàng thứ 0) bằng cách chỉ viết số 1. Trong các hàng tương ứng, hình vuông mới trong tam giác pascal sẽ là tổng các bình phương ngay phía trên hình vuông này và chạm vào nó. Ví dụ: tìm tổng bình phương hàng 4 và cột 2 bằng tổng bình phương hàng 3 cột 1 và hàng 3 cột 2. Vậy bình phương hàng 4 cột 2 có giá trị 1 + 2 = 3

Tính chất của Tam giác Pascal

1. Mỗi số trong Tam giác Pascal là tổng của hai số trên nó
2. Các số liên tiếp có tính chất đối xứng
3. Mỗi số đại diện cho một hệ số nhị thức
4. Các số ở bên trái và bên phải của tam giác luôn là 1
5. hàng thứ n chứa (n+1) số trong đó

Công thức tam giác Pascal

Công thức tam giác pascal để tìm các phần tử ở hàng thứ n và cột thứ k của tam giác là

=  {p-1} \choose {q-1} {p-1} \choose {q-1}

 + 

Ở đây 0 ≤ q ≤ p, p là số không âm

Hoặc công thức tìm số ở hàng thứ n và cột thứ r được cho bởi pCq = p. /(p – q). q

pCq = pCq-1 + p-1Cq-1

Khai triển nhị thức Pascal

Như chúng ta đã biết tam giác pascal xác định các hệ số nhị thức của các số hạng của biểu thức nhị thức (x + y)n, Vậy khai triển của (x + y)n là

(x + y)n = a0xn + a1xn-1 + ……an-1xyn-1 + anyn

Những câu hỏi ví dụ

Câu hỏi 1. Tìm hệ số của số hạng x2y trong khai triển của (x + y)3

Giải pháp

Phương pháp 1

Chúng ta nhìn vào hàng thứ 3 của Tam giác Pascal vì n là 3 và cột đầu tiên của Tam giác Pascal vì lũy thừa của y là 1 trong số hạng x2y. Vậy hệ số là 3

Phương pháp 2

Chúng tôi chỉ cần áp dụng nCr trong đó n = 3, r = 1

Vậy hệ số của x2y trong khai triển của (x + y)3 là 3C1 = 3

Câu hỏi 2. Tìm hệ số của số hạng x2y2 trong khai triển của (4x + 3y)4

Giải pháp

Phương pháp 1

Chúng ta nhìn vào hàng thứ 4 của Tam giác Pascal vì n là 4 và cột thứ 2 của Tam giác Pascal vì lũy thừa của y là 2 trong số hạng x2y2. Vậy số trong Tam giác Pascal là 6.  

Nhưng chúng ta thấy rằng hệ số của x là 2 và y bây giờ là 1 vì lũy thừa của x là 2 và y là 1 trong số hạng xy^2 nên số của Tam giác Pascal sẽ được nhân với 21 và 12 để tìm hệ số

20 hàng đầu tiên của tam giác Pascals là gì?

Tính tổng các hàng trong tam giác của Pascal. { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, . }

Có bao nhiêu số hạng ở hàng thứ 100 của tam giác Pascal?

Phương pháp số học. Có tám số lẻ ở hàng thứ 100 của tam giác Pascal, 89 số chia hết cho 3 và 96 số chia hết cho 5.

Hàng thứ 11 của tam giác Pascal là gì?

Và các mẫu của nó

30 hàng của tam giác Pascal là gì?

Do đó, tổng các số hạng ở hàng thứ 30 của tam giác Pascal là 2   . Thuộc tính mà ví dụ cuối cùng đã khám phá không phải là duy nhất đối với hàng thứ 30. Thật vậy, tổng các hàng liên tiếp của tam giác Pascal là lũy thừa liên tiếp của hai.