Bài 2 trang 188 sbt hình học 10 nâng cao

LG a

\(a=b\cos C+c \cos B ;\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \).

Bằng cách nhân hai vế với \(\overrightarrow {BC} \), ta được:

\(\begin{array}{l}{\overrightarrow {BC} ^2} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow {a^2} = ca\cos B + ba\cos C\\ \Leftrightarrow a = b\cos C + c\cos B.\end{array}\)

LG b

\( \sin A= \sin B \cos C+ \sin C \cos B ;\)

Lời giải chi tiết:

Thay \(a=2R \sin A,\) \( b=2R \sin B,\) \( c=2R \sin C\) vào công thức cuối câu a), ta được điều cần chứng minh.

LG c

\({h_a} = 2R\sin B\sin C\) ;

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a.{h_a} = 2S = \dfrac{{ab}}{{2R}} \)

\(= \dfrac{{a.2R\sin B.2R\sin C}}{{2R}} \)

\( \Leftrightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\).

LG d

\(bc({b^2} - {c^2})\cos A + ca({c^2} - {a^2})\cos B\) \( + ab({a^2} - {b^2})\cos C = 0\)

Lời giải chi tiết:

Chú ý rằng \(2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}\) và từ các công thức tương tự, ta có:

\(\begin{array}{l}bc({b^2} - {c^2})\cos A + ca({c^2} - {a^2})\cos B + ab({a^2} - {b^2})\cos C\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {({b^2} - {c^2})({b^2} + {c^2} - {a^2}) + ({c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2} - {b^2}) + ({a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} - {c^2})} \right] = 0.\end{array}\)

LG e

Nếu \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) thì:

\(B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}\) \( = A{B^2} + H{C^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2} \\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {BC} ^2} - {\overrightarrow {CA} ^2} = {\overrightarrow {BH} ^2} - {\overrightarrow {HA} ^2}\\\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HA} } \right)\left( {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {HA} } \right)\\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} } \right) \\= \overrightarrow {BA} \left( {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {HA} } \right). (*)\end{array}\)

Nếu ta gọi \(C\) là chân đường cao hạ từ \(C\) của tam giác \(ABC\) thì vec tơ \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} \) và vec tơ \(\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {HA} \) có hình chiếu trên đường thẳng \(BA\) đều là \(\overrightarrow {BC'} - \overrightarrow {C'A} \). Vậy đẳng thức (*) được chứng minh và do đó

\(B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}\).

Đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.