Đề bài - bài 2 trang 54 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho hai đường tròn(O;R)và(O;R)nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q) sao choOOvuông góc với(P).ĐặtOO = h. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua hai đường tròn trên, tính diện tích mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(R \le R'\). Vì \(OO' \bot (P)\) nên mọi điểm thuộcOOcách đều các điểm của đường tròn(O;R),đồng thời cách đều các điểm của đường tròn(O;R),

Xétmp(R)quaOOvà hai mặt phẳng(P), (Q)theo hai giao tuyếnOA, OA',\(A \in (O;R),A' \in (O';R').\)

Trongmp(R), đường trung trựcAAcắtOOtạiJ.Khi đó, mặt cầu tâmJ, bán kínhJAđi qua cả hai đường tròn(O;R)và (O;R).

GọiSlà diện tích mặt cầu đó thì

\(S = 4\pi .J{A^2} = 4\pi (O{A^2} + J{O^2}) \)\(= 4\pi ({R^2} + J{O^2}).\)

KẻIHsong song với \(AO(H \in OO')\) thì \(OH = {h \over 2}\).

TừOH+JH=JO, suy ra \({h \over 2} + JH = JO.\)

KẻAKsong song vớiOO(\((K \in O'A')\) thì có \({{HJ} \over {A'K}} = {{IH} \over {AK}},\) từ đó

\(HJ = {{{{R' + R} \over 2}.(R' - R)} \over h} = {{R{'^2} - {R^2}} \over {2h}}.\)

Vậy \(JO = {h \over 2} + {{R{'^2} - {R^2}} \over {2h}} = {{{h^2} + R{'^2} - {R^2}} \over {2h}}\) và diện tích mặt cầu phải tìm là

\(\eqalign{ & S = 4\pi \left[ {{R^2} + {{{{\left( {{h^2} + R{'^2} - {R^2}} \right)}^2}} \over {4{h^2}}}} \right] \cr & = \pi .{{4{R^2}{h^2} + ({h^2} + R{'^2} - {R^2})^2} \over {{h^2}}}. \cr} \)