Tính số trung bình cộng làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất và Tìm mốt của dấu hiệu
|
I. Các kiến thức cần nhớ 1. Biểu đồ * Biểu đồ đoạn thẳng: + Dựng hệ trục tọa độ, trục hoành biểu diễn các giá trị $x,$ trục tung biểu diễn tần số $n$ (độ dài đơn vị trên hai trục có thể khác nhau). + Xác định các điểm có tọa độ là cặp số gồm giá trị và tần số của nó (giá trị viết trước, tần số viết sau). + Nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ. * Biểu đồ hình chữ nhật: + Các đoạn thẳng trong biểu đồ đoạn thẳng được thay bằng hình chữ nhật. * Biểu đồ hình quạt: + Đó là một hình tròn được chia thành các hình quạt mà góc ở tâm của các hình quạt tỉ lệ với tần suất. Chú ý: Tần suất $f$ của một giá trị được tính theo công thức: \(f = \dfrac{n}{N}\) trong đó \(N\) là số các giá trị, \(n\) là tần số của một giá trị , \(f\) là tần số của giá trị đó. Người ta thường biểu diễn tần suất dưới dạng phần trăm. 2. Số trung bình cộng Dựa vào bảng “tần số”, ta có thể tính số trung bình cộng của một dấu hiệu (kí hiệu \(\overline X \)) như sau: + Nhân từng giá trị với tần số tương ứng; + Cộng tất cả các tích vừa tìm được; + Chia tổng đó cho số các giá trị (tức là tổng các tần số). + Công thức tính: \(\overline X = \dfrac{{{x_1}{n_1} + {x_2}{n_2} + {x_3}{n_3} + ... + {x_k}{n_k}}}{k},\) trong đó: \({x_1},{x_2},...,{x_k}\) là k giá trị khác nhau của dấu hiệu X. \({n_1},{n_2},...,{n_k}\) là k tần số tương ứng. $k$ là số các giá trị. 3. Ý nghĩa của số trung bình cộng + Số trung bình cộng thường được dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại. + Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu đó. + Số trung bình cộng có thể không thuộc dãy giá trị của dấu hiệu 4. Mốt của dấu hiệu Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng “tần số”, kí hiệu là \({M_0}.\) Có những dấu hiệu có hai mốt hoặc nhiều hơn. Ví dụ: Số cân nặng (tính tròn đến kg) của $20$ học sinh ghi lại như sau:  Ta có bảng “tần số” là Số trung bình cộng là: \(\overline X \)\(= \dfrac{{28.2 + 29.3 + 30.4 + 35.6 + 37.4 + 42.1}}{{20}} \)\(= 33(kg)\) Mốt của dấu hiệu là: $35.$ II. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Dựng biểu đồ đoạn thẳng Phương pháp: Để dựng biểu đồ đoạn thẳng ta có thể làm như sau: + Lập bảng tần số từ bảng số liệu thống kê ban đầu + Dựng các trục tọa độ: trục hoành biểu diễn các giá trị \(x\), trục tung biểu diễn tần số \(n.\) + Vẽ các điểm có tọa độ đã cho trong bảng + Vẽ các đoạn thẳng nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ. Dạng 2: Đọc đồ thị đơn giản Phương pháp: Khi đọc biểu đồ cần trả lời các câu hỏi sau: + Biểu đồ biểu diễn cái gì? + Từng trục biểu diễn cho đại lượng nào? + Sự biến thiên của giá trị như thế nào? Đối với biểu đồ biểu diễn trực tiếp mối quan hệ giữa giá trị của dấu hiệu và tần số thì tập trung nhận xét về giá trị lướn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, nhóm giá trị có tần số tương đối lớn… Đối với biểu đồ biểu diễn sự thay đổi giá trị theo thời gian thì nhận xét thêm về sự tăng giảm trên toàn bộ thời gian hoặc trên từng giai đoạn… Dạng 3: Tính số trung bình cộng của dấu hiệu Phương pháp: + Căn cứ vào bảng tần số, sử dụng công thức tính \(\overline X .\) + Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu đó. Dạng 4: Tìm mốt của dấu hiệu Phương pháp: + Lập bảng tần số. + Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng “tần số”.
1. Số trung bình cộng của dấu hiệu Số trung bình cộng của một dấu hiệu \(X\), kí hiệu \(\overline{X}\) là số dùng làm đại diện cho một dấu hiệu khi phân tích hoặc so sánh nó với các biến lượng cùng loại. 2. Quy tắc tìm số trung bình cộng Số trung bình cộng của một dấu hiệu được tính từ bảng tần số theo cách sau: - Nhân từng giá trị với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các tích vừa tìm được. - Chia tổng đó cho các giá trị (tức tổng các tần số). Ta có công thức: \(\overline{X} = \dfrac{x_{1}n_{1}+ x_{2}n_{2}+ x_{3}n_{3}+ ... + x_{k}n_{k}}{N}\) Trong đó: \({x_1},{\text{ }}{x_2},{\text{ }} \ldots ,{\text{ }}{x_k}\) là \(k\) giá trị khác nhau của dấu hiệu \(X\). \({n_1},{\text{ }}{n_2},{\text{ }} \ldots ,{\text{ }}{n_k}\) là tần số tương ứng. \(N\) là số các giá trị. \(\overline{X}\) là số trung bình của dấu hiệu \(X\). 3. Ý nghĩa Số trung bình cộng thường được dùng làm "đại diện" cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại. 4. Mốt của dấu hiệu Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số. Kí hiệu là \({M_o}\)
Có những dấu hiệu có hai mốt hoặc nhiều hơn. Ví dụ: Số cân nặng (tính tròn đến kg) của $20$ học sinh ghi lại như sau: Ta có bảng “tần số” là Số trung bình cộng là: \(\overline X \)\(= \dfrac{{28.2 + 29.3 + 30.4 + 35.6 + 37.4 + 42.1}}{{20}} \)\(= 33(kg)\) Mốt của dấu hiệu là: $35.$
Quy ước làm tròn số 1. Nếu chữ số đầu tiên của phần bị bỏ đi nhỏ hơn \(5\) thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trong trường hợp làm tròn số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số \(0.\) Ví dụ: + Làm tròn số \(12, 348\) đến chữ số thập phân thứ nhất, được kết quả \(12,3\) (vì chữ số đầu tiên bỏ đi khi làm tròn là 4 + Làm tròn số \(395236\) đến chữ số hàng trăm, được kết quả \(395200\) 2. Nếu chữ số đầu tiên của phần bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng \(5\) thì ta cộng thêm \(1\) vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường hợp làm tròn số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số \(0.\) Ví dụ: + Làm tròn số \(0,26541\) đến chữ số thập phân thứ hai, được kết quả \(0,27\) (vì chữ số đầu tiên bỏ đi khi làm tròn là 5 nên ta cộng 1 vào chữ số cuối cùng của phần còn lại) + Làm tròn số \(744631\) đến chữ số hàng nghìn, được kết quả \(745000\) Loigiaihay.com Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây
Sách giải toán 7 Bài 4: Số trung bình cộng giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 4 trang 17: Có tất cả bao nhiêu bạn làm bài kiểm tra ?Lời giải Có 40 bạn làm bài kiểm tra Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 4 trang 17: Hãy nhớ lại quy tắc tính số trung bình cộng để tính điểm trung bình của lớp.Lời giải Tổng số điểm của 40 bạn là: 3 + 4 + 7 + 8 + 5 + 6 + 7 + 7 + 8 + 6 + 6 + 5 + 6 + 2 + 6 + 7 + 8 + 6 + 4 + 3 + 7 + 10 + 5 + 7 + 8 + 2 + 9 + 8 + 7 + 8 + 9 + 8 + 2 + 6 + 4 + 6 + 7 + 8 + 8 + 7 = 250 Điểm trung bình của lớp là: 250 : 40 = 6,25 Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 4 trang 18: Kết quả kiểm tra của lớp 7A (với cùng đề kiểm tra của lớp 7C) được cho qua bảng “tần số” sau đây. Hãy dùng công thức trên để tính điểm trung bình của lớp 7A (bảng 21):Lời giải
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 4 trang 19: Hãy so sánh kết quả làm bài kiểm tra Toán trên của hai lớp 7C và 7A ?Lời giải Điểm trung bình lớp 7C là: 6,25 Điểm trung bình lớp 7A là: 6,675 Mà 6,25 < 6,675 Vậy lớp 7A có kết quả làm bài kiểm tra Toán tốt hơn lớp 7C Bài 4: Số trung bình cộng Bài 14 (trang 20 SGK Toán 7 tập 2): Hãy tính số trung bình cộng của dấu hiệu ở bài tập 9.Bài 9 (trang 12 sgk Toán 7 tập 2).Lời giải: Bảng “tần số” ở bài tập 9 viết theo cột: Bài 4: Số trung bình cộng Bài 15 (trang 20 SGK Toán 7 tập 2): Nghiên cứu “tuổi thọ” của một loại bóng đèn, người ta đã chọn tùy ý 50 bóng và bật sáng liên tục cho tới lúc chúng tự tắt. “Tuổi thọ” của các bóng (tính theo giờ) được ghi lại ở bảng 23 (làm tròn đến hàng chục):
Bảng 23
a) Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là gì và số các giá trị là bao nhiêu? b) Tính số trung bình cộng. c) Tìm mốt của dấu hiệu. Lời giải: a) – Dấu hiệu: Thời gian cháy sáng liên tục cho tới lúc tự tắt của bóng đèn tức “tuổi thọ” của một loại bóng đèn. – Số các giá trị N = 50 b) Số trung bình cộng của tuổi thọ các bóng đèn đó là: c) Tìm mốt của dấu hiệu: Ta biết mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng. Mà tần số lớn nhất trong bảng là 18. Vậy mốt của dấu hiệu bằng 1180 hay Mo = 1180. Bài 4: Số trung bình cộng Luyện tập (trang 20-21-22 sgk Toán 7 Tập 2) Bài 16 (trang 20 SGK Toán 7 tập 2): Quan sát bảng “tần số” (bảng 24) và cho biết có nên dùng số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu không? Vì sao?
Lời giải: Ta có số trung bình cộng của các giá trị trong bảng là: Trong trường hợp này không nên dùng số trung bình cộng làm đại diện cho dấu hiệu vì các giá trị của dấu hiệu chênh lệch đối với nhau quá lớn. Bài 4: Số trung bình cộng Luyện tập (trang 20-21-22 sgk Toán 7 Tập 2) Bài 17 (trang 20 SGK Toán 7 tập 2): Theo dõi thời gian làm một bài toán (tính bằng phút) của 50 học sinh, thầy giáo lập được bảng 25:
Bảng 25 a) Tính số trung bình cộng. b) Tìm mốt của dấu hiệu. Lời giải: a) Số trung bình cộng về thời gian làm một bài toán của 50 học sinh.
b) Tần số lớn nhất là 9, giá trị ứng với tần số 9 là 8. Vậy Mốt của dấu hiệu: Mo = 8 (phút). Bài 4: Số trung bình cộng Luyện tập (trang 20-21-22 sgk Toán 7 Tập 2) Bài 18 (trang 21 SGK Toán 7 tập 2): Đo chiều cao của 100 học sinh (đơn vị đo: cm) và được kết quả theo bảng 26:a) Bảng này có gì khác so với những bảng “tần số” đã biết? b) Ước tính số trung bình cộng trong trường hợp này. (Hướng dẫn: – Tính số trung bình cộng của từng khoảng. Số đó chính là trung bình cộng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của khoảng. Ví dụ: trung bình cộng của khoảng 110 – 120 là 115. – Nhân các số trung bình cộng vừa tìm được với các tần số tương ứng. – Thực hiện tiếp các bước theo quy tắc đã học.) Lời giải: a) Bảng này có khác so với bảng tần số đã học. Các giá trị khác nhau của biến lượng được “phân lớp” trong các lớp đều nhau (10 đơn vị) mà không tính riêng từng giá trị khác nhau. b) Số trung bình cộng Để tiện việc tính toán ta kẻ thêm vào sau cột chiều cao là cột số trung bình cộng của từng lớp: sau cột tần số là cột tích giữa trung bình cộng. (Nếu có bạn thắc mắc là tại sao lại có được số liệu ở cột Trung bình cộng ở mỗi lớp. Đó là vì ta lấy tổng chiều cao đầu + chiều cao cuối của mỗi lớp, sau đó chia cho 2. Ví dụ: (110 + 120)/2 = 115) Bài 4: Số trung bình cộng Luyện tập (trang 20-21-22 sgk Toán 7 Tập 2) Bài 19 (trang 22 SGK Toán 7 tập 2): Số cân nặng (tính bằng kilôgam) của 120 em của một trường mẫu giáo ở thành phố A được ghi lại trong bảng 27:
Hãy tính số trung bình cộng (có thể sử dụng máy tính bỏ túi). Lời giải: Bảng tần số về số cân nặng của 120 em của 1 trường mẫu giáo:
|
