Đề bài - bài 4.61 trang 175 sbt đại số và giải tích 11
|
\(\eqalign{& g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr& = f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr& g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 1 \right) \cr& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right) \cr} \) Đề bài Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\)luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) Phương pháp giải - Xem chi tiết Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\). Lời giải chi tiết Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) Ta có \(\eqalign{ (vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)). Do đó, \(\eqalign{ - Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\)thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\)là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\) - Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\) (1) Vì \(y = f\left( x \right)\)và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\)cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\) Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\)hay \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\)luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\).
|
